人教新课标A版 必修一 1.3.1单调性与最大（小）值

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人教新课标A版 必修一 1.3.1单调性与最大（小）值
一、单选题
1．（2020高二下·阳春月考）下列四个函数中，在 上是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对于A选项，函数 ，其在 上递增，符合题意.
对于B选项，函数 的对称轴为 ，其在 上递减，不符合题意.
对于C选项，函数 在 上递减，不符合题意.
对于D选项，函数 在 上递减，不符合题意.
故答案为：A
【分析】对选项逐一分析函数的单调性，由此判断出正确选项.
2．（2020高二下·温州期中）若函数 的单调递减区间是 ，则a的值为（　　）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】当 时， ， 单调递减区间为 ，
，解得： .
故答案为：C.
【分析】去绝对值符号可知 单调递减区间为 ，由此构造方程求得结果.
3．（2019高一上·新丰期中）函数 （　　）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递增
C．在 上单调递减 D．在 上单调递减
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】函数 的图象是由 的图象向右平移一个单位，再向上一个单位而得到，
所以函数 在 上单调递减，
故答案为：D
【分析】根据分式函数的性质即可得到结论.
4．（2019高一上·沭阳期中）函数 在区间 上的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】函数 是单调递减函数，
所以其在区间 上的最小值是在 时得到，
故答案为： .
【分析】判断出函数的单调性，再得到其在区间 上的最小值.
5．（2019高一上·周口期中）已知 是定义在 上的增函数，且 ，则 的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】根据函数的定义域和单调性，有 ，解得 .
【分析】由已知利用函数的定义域和单调性列式，即可求出 的取值范围 .
6．（2019高一上·大庆期中）函数 的递增区间是 ，则函数 的递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：函数 是函数 向左平移5个单位得到的，
∵函数 在区间 上是增函数，
∴ 增区间为 向左平移5个单位，即增区间为 ，
故选B．
【分析】函数 是函数 向左平移5个单位得到的，利用函数 在区间 是增函，即可得到结论．
7．（2019高一上·玉溪期中）已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】根据题意，函数 ，
当 时， ，在区间 ， 上是减函数，不符合题意；
当 时， ，若 在区间 ， 上不单调，
必有对称轴 或
解可得： ，
即 的取值范围为 .
故答案为：C．
【分析】根据题意，分两种情况讨论：当 时， ，易得此时不符合题意；当 时， ，结合二次函数的性质分析求出 的取值范围，综合即可得答案．
8．（2019高一上·嘉兴期中）已知函数 ，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】（1）当 时， ，任取 ，
则 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，函数 单调递减；
所以 ；
⑵当 时， 单调递减，所以 ；
而 ，所以 ，
故答案为：B
【分析】根据函数单调性，分别求出 和 时的最大值，比较大小，即可得出结果.
9．（2019高一上·中山月考）函数 的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由题可知，函数可看作 ，外层函数为增函数，根据同增异减的性质，则内层函数需先满足 ，即 或 ，当 时，内层函数为增函数，则复合函数在 时为增函数；
故答案为：D
【分析】根据复合函数同增异减的性质即可求解.
10．（2019高一上·上饶期中）已知函数 ，其定义域是 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 有最大值 ，无最小值 B． 有最大值 ，最小值
C． 有最大值 ，无最小值 D． 无最大值，最小值
【答案】A
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】因为函数 ，所以 在 上单调递减，则 在 处取得最大值，最大值为 ， 取不到函数值，即最小值取不到.
故答案为：A.
【分析】先化简函数 ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法
11．（2020·赤峰模拟）已知 ， 在 上单调递减， ，则 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 ,
的图象关于直线 对称,
,
,
在 上单调递减,
在 上单调递增,
,可得 或 ,解得: 或 .
故选:D.
【分析】由 可知 的图象关于直线 对称, 由 可知 ,则 可转化为 或 ,即可求得结果.
12．（2019高一上·昌吉期中） 是定义在 上的减函数，则 的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：要使得 在 上是单调减函数
需满足 ，解得
故答案为：B.
【分析】由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到 的范围.
二、填空题
13．（2019高一上·临渭月考）函数 在实数集上是减函数，则k的范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解： 函数 在实数集上是减函数，
当 时， 是常函数，不满足题意，
，
故答案为：
【分析】先验证当 时函数 为常函数不满足条件，然后根据一次函数是减函数时斜率必为小于0的数从而可求出 的值，确定答案．
14．（2019高一上·林芝期中）函数 的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】 ，因此，函数 的最小值是 .
故答案为： .
【分析】将二次函数 的解析式进行配方，可得出该函数的最小值.
15．（2019高一上·屯溪月考）函数 的单调递减区间是　 　.
【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】因为函数 有意义，则满足 ，而二次函数 开口向上，对称轴为 ，那么根据复合函数的单调性可知当 时，函数是递减的，
因此答案为 .
【分析】首先求出函数的定义域，结合二次函数的图象求出其单调区间，再利用符合函数的单调性：单调性一致为增不一致为减，即可求出结果。
16．（2020·河南模拟）函数 的最小值为　 　.
【答案】9
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】∵ 的定义域为 ，且 在定义域上单调递增，∴ .
故答案为：
【分析】结合 的定义域，判断出 的单调性，由此求得 的最小值.
17．（2019高一上·玉溪期中）已知函数 在 是增函数，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】当 时， ，显然在 不是增函数，所以舍去；
当 时，由题得 ，所以 .
所以实数a的取值范围为 .
故答案为：
【分析】对 分 和 两种情况结合复合函数的单调性讨论得解.
18．（2019高一上·武功月考）已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，则实数 的取值范围是　 　
【答案】(－ )
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由 得 ，由于函数 在 上递减，故 ，解得 .
故填： .
【分析】利用转化法由 得 ，再利用函数的单调性结合函数的定义域求出m的取值范围。
三、解答题
19．（2019高一上·柳江期中）已知函数 ， .
（1）求 、 的单调区间；
（2）求 、 的最小值.
【答案】（1）解： 函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，函数 的增区间为 ；
（2）解：由（1）知，函数 在 处取得最小值 ，
由于函数 在定义域 上单调递增，则函数 在 处取得最小值 .
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）分析二次函数 图象的开口方向和对称轴，可得出函数 的减区间和增区间，以及函数 的增区间；（2）由函数 和函数 的单调性可得出这两个函数的最小值.
20．（2019高一上·太原月考）已知函数 .
（1）判断 在区间 上的单调性并证明；
（2）求 的最大值和最小值.
【答案】（1）解：函数 在 上为增函数，证明如下：
设 是 上的任意两个实数，且 ，则
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴函数 在 上为增函数．
（2）解：由（1）知函数 在 单调递增，所以
函数 的最小值为 ，
函数 的最大值为 。
故得解.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用函数的单调性的定义, 设 ，判断 的正负，证明出函数 在 上的单调性为增函数; （2）由（1）得出的函数的单调性为单调递增,从而得出函数 在区间 上的最大值为 与最小值为 ，求出其函数值得最值.
21．（2020高一下·泸县月考）定义在R上的函数 ，当 时， ，且对任意的 都有 .
（Ⅰ）求证： 是R上的增函数；
（Ⅱ）求不等式 的解集.
【答案】（Ⅰ）证明：任取 ，且设 ，
则
，
为 上的增函数.
（Ⅱ）解：不等式 可化为： ，
即 ，
，
故不等式化为 ，
为 上的增函数， ，解得
不等式的解集为 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）任取 ，且设 ，结合当 时， ，以及 ，都有 ，可以证明 ，即可证明 是R上的增函数；（Ⅱ）利用抽象函数的性质及 的单调性，可以得到 ，求解即可．
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人教新课标A版 必修一 1.3.1单调性与最大（小）值
一、单选题
1．（2020高二下·阳春月考）下列四个函数中，在 上是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高二下·温州期中）若函数 的单调递减区间是 ，则a的值为（　　）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
3．（2019高一上·新丰期中）函数 （　　）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递增
C．在 上单调递减 D．在 上单调递减
4．（2019高一上·沭阳期中）函数 在区间 上的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
5．（2019高一上·周口期中）已知 是定义在 上的增函数，且 ，则 的取值范围（　　）
A． B． C． D．
6．（2019高一上·大庆期中）函数 的递增区间是 ，则函数 的递增区间是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高一上·玉溪期中）已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2019高一上·嘉兴期中）已知函数 ，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2019高一上·中山月考）函数 的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
10．（2019高一上·上饶期中）已知函数 ，其定义域是 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 有最大值 ，无最小值 B． 有最大值 ，最小值
C． 有最大值 ，无最小值 D． 无最大值，最小值
11．（2020·赤峰模拟）已知 ， 在 上单调递减， ，则 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2019高一上·昌吉期中） 是定义在 上的减函数，则 的范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019高一上·临渭月考）函数 在实数集上是减函数，则k的范围是　 　.
14．（2019高一上·林芝期中）函数 的最小值是　 　.
15．（2019高一上·屯溪月考）函数 的单调递减区间是　 　.
16．（2020·河南模拟）函数 的最小值为　 　.
17．（2019高一上·玉溪期中）已知函数 在 是增函数，则实数 的取值范围是　 　.
18．（2019高一上·武功月考）已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，则实数 的取值范围是　 　
三、解答题
19．（2019高一上·柳江期中）已知函数 ， .
（1）求 、 的单调区间；
（2）求 、 的最小值.
20．（2019高一上·太原月考）已知函数 .
（1）判断 在区间 上的单调性并证明；
（2）求 的最大值和最小值.
21．（2020高一下·泸县月考）定义在R上的函数 ，当 时， ，且对任意的 都有 .
（Ⅰ）求证： 是R上的增函数；
（Ⅱ）求不等式 的解集.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对于A选项，函数 ，其在 上递增，符合题意.
对于B选项，函数 的对称轴为 ，其在 上递减，不符合题意.
对于C选项，函数 在 上递减，不符合题意.
对于D选项，函数 在 上递减，不符合题意.
故答案为：A
【分析】对选项逐一分析函数的单调性，由此判断出正确选项.
2．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】当 时， ， 单调递减区间为 ，
，解得： .
故答案为：C.
【分析】去绝对值符号可知 单调递减区间为 ，由此构造方程求得结果.
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】函数 的图象是由 的图象向右平移一个单位，再向上一个单位而得到，
所以函数 在 上单调递减，
故答案为：D
【分析】根据分式函数的性质即可得到结论.
4．【答案】D
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】函数 是单调递减函数，
所以其在区间 上的最小值是在 时得到，
故答案为： .
【分析】判断出函数的单调性，再得到其在区间 上的最小值.
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】根据函数的定义域和单调性，有 ，解得 .
【分析】由已知利用函数的定义域和单调性列式，即可求出 的取值范围 .
6．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：函数 是函数 向左平移5个单位得到的，
∵函数 在区间 上是增函数，
∴ 增区间为 向左平移5个单位，即增区间为 ，
故选B．
【分析】函数 是函数 向左平移5个单位得到的，利用函数 在区间 是增函，即可得到结论．
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】根据题意，函数 ，
当 时， ，在区间 ， 上是减函数，不符合题意；
当 时， ，若 在区间 ， 上不单调，
必有对称轴 或
解可得： ，
即 的取值范围为 .
故答案为：C．
【分析】根据题意，分两种情况讨论：当 时， ，易得此时不符合题意；当 时， ，结合二次函数的性质分析求出 的取值范围，综合即可得答案．
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】（1）当 时， ，任取 ，
则 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，函数 单调递减；
所以 ；
⑵当 时， 单调递减，所以 ；
而 ，所以 ，
故答案为：B
【分析】根据函数单调性，分别求出 和 时的最大值，比较大小，即可得出结果.
9．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由题可知，函数可看作 ，外层函数为增函数，根据同增异减的性质，则内层函数需先满足 ，即 或 ，当 时，内层函数为增函数，则复合函数在 时为增函数；
故答案为：D
【分析】根据复合函数同增异减的性质即可求解.
10．【答案】A
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】因为函数 ，所以 在 上单调递减，则 在 处取得最大值，最大值为 ， 取不到函数值，即最小值取不到.
故答案为：A.
【分析】先化简函数 ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法
11．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 ,
的图象关于直线 对称,
,
,
在 上单调递减,
在 上单调递增,
,可得 或 ,解得: 或 .
故选:D.
【分析】由 可知 的图象关于直线 对称, 由 可知 ,则 可转化为 或 ,即可求得结果.
12．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：要使得 在 上是单调减函数
需满足 ，解得
故答案为：B.
【分析】由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到 的范围.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解： 函数 在实数集上是减函数，
当 时， 是常函数，不满足题意，
，
故答案为：
【分析】先验证当 时函数 为常函数不满足条件，然后根据一次函数是减函数时斜率必为小于0的数从而可求出 的值，确定答案．
14．【答案】
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】 ，因此，函数 的最小值是 .
故答案为： .
【分析】将二次函数 的解析式进行配方，可得出该函数的最小值.
15．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】因为函数 有意义，则满足 ，而二次函数 开口向上，对称轴为 ，那么根据复合函数的单调性可知当 时，函数是递减的，
因此答案为 .
【分析】首先求出函数的定义域，结合二次函数的图象求出其单调区间，再利用符合函数的单调性：单调性一致为增不一致为减，即可求出结果。
16．【答案】9
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】∵ 的定义域为 ，且 在定义域上单调递增，∴ .
故答案为：
【分析】结合 的定义域，判断出 的单调性，由此求得 的最小值.
17．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】当 时， ，显然在 不是增函数，所以舍去；
当 时，由题得 ，所以 .
所以实数a的取值范围为 .
故答案为：
【分析】对 分 和 两种情况结合复合函数的单调性讨论得解.
18．【答案】(－ )
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由 得 ，由于函数 在 上递减，故 ，解得 .
故填： .
【分析】利用转化法由 得 ，再利用函数的单调性结合函数的定义域求出m的取值范围。
19．【答案】（1）解： 函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，函数 的增区间为 ；
（2）解：由（1）知，函数 在 处取得最小值 ，
由于函数 在定义域 上单调递增，则函数 在 处取得最小值 .
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）分析二次函数 图象的开口方向和对称轴，可得出函数 的减区间和增区间，以及函数 的增区间；（2）由函数 和函数 的单调性可得出这两个函数的最小值.
20．【答案】（1）解：函数 在 上为增函数，证明如下：
设 是 上的任意两个实数，且 ，则
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴函数 在 上为增函数．
（2）解：由（1）知函数 在 单调递增，所以
函数 的最小值为 ，
函数 的最大值为 。
故得解.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用函数的单调性的定义, 设 ，判断 的正负，证明出函数 在 上的单调性为增函数; （2）由（1）得出的函数的单调性为单调递增,从而得出函数 在区间 上的最大值为 与最小值为 ，求出其函数值得最值.
21．【答案】（Ⅰ）证明：任取 ，且设 ，
则
，
为 上的增函数.
（Ⅱ）解：不等式 可化为： ，
即 ，
，
故不等式化为 ，
为 上的增函数， ，解得
不等式的解集为 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）任取 ，且设 ，结合当 时， ，以及 ，都有 ，可以证明 ，即可证明 是R上的增函数；（Ⅱ）利用抽象函数的性质及 的单调性，可以得到 ，求解即可．
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