初中数学人教版七年级下学期 第八章 8.4 三元一次方程组的解法
一、单选题
1．（2019·宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
2．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（三））已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
3．（2019七上·江宁期末）如图，“ 、 、 ”分别表示三种不同的物体 已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡 如果在“？”处只放“ ”，那么应放“ ”
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）如图，在某张桌子上放相同的木块，R=34，S=92，则桌子的高度是（ ）
A．63 B．58 C．60 D．55
二、填空题
5．（2019八上·武汉月考）已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为 .
6．（2019七下·港南期中）有甲，乙，丙三种笔，已知买甲种笔2支和乙种1支，丙种3支共12.5元，买甲种笔1支，乙种，4支，丙种5支，共18.5元，那么买甲种笔1支和乙种2支，丙种3支共需 元.
7．（2019七下·长春月考）若 ，那么代数式 .
8．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册第7章一次方程组 单元检测提高卷）已知a、b、c满足 ，则a= ，b= ，c= ．
三、计算题
9．（2019七下·马龙月考）解方程组
四、解答题
10．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）
一个三位数的各位数字的和等于18，百位数字与个位数字,的和比十位数字大14，如果把百位数字与个位数字对调，所得新数比原数大198，求原数!
11．（2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练： 8.4《三元一次方程组的解法》）为迎接“第一届全国青年运动会”，学校组织了飞镖比赛游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是多少分？
12．（2017七下·大同期末）一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，由题意，
得 ，
将两方程相减得y-x=7，
∴y=x+7，
将y=x+7代入5x+3y=a-10
得8x=a-31，
∴若只买8支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。
故答案为：A
【分析】设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，根据若买5支玫瑰花和3支百合花所带的钱还剩10元，若买3支玫瑰花和5支百合花所带的钱还差4元，列出方程组，根据等式的性质，将两个等式相减即可得出y-x=7，即y=x+7，将y=x+7代入其中的一个方程，即可得出8x=a-31.从而得出答案。
2．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；（1）
，即 ；（2）
，即 ．（3）
（ 2 ）﹣（3）得到： （4）
（ 1 ）﹣（4）得到： = 解得：x= ．
故答案为：B．
【分析】根据等式的性质，分别求出各式的倒数，然后利用乘法分配律即可得出方程 =1；（1）， ；（2） ．（3），再用加减消元法，用（ 2 ）﹣（3）得出（4）方程，再（ 1 ）﹣（4）即可消去未知数求出x的值。
3．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据图示可得，
，
，
由 、 可得，
， ，
，
故答案为：C.
【分析】首先根据图示可知， ， ，据此判断出 、 与 的关系，然后判断出结果.
4．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设木块的长为x，宽为y，桌子的高度为z，
由题意得： ，
由①得：y-x=34-z，
由②得：x-y=92-z，
即34-z+92-z=0，
解得z=63；
即桌子的高度是63．
故答案为：A．
【分析】由第一个图形可知：桌子的高度+木块的宽=木块的长+R；由第二个图形可知：桌子的高度+木块的长=木块的宽+S；设未知数，列方程组，求解即可得出桌子的高度。
5．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，
解得a＝7c﹣3，b＝7﹣11c，
∵a≥0、b≥0，
∴7c﹣3≥0，7﹣11c≥0，
∴ ≤c≤ .
∵m＝3a+b﹣7c＝3（7c﹣3）+（7﹣11c）﹣7c＝3c﹣2，
∴m的最大值为s＝3× ﹣2＝﹣ .
故答案为﹣ .
【分析】将c作为常数，解3a+2b+c＝5与2a+b﹣3c＝1，组成的方程组，即可用含c的式子表示出a,b的值，根据a,b都是非负数，列出关于c的不等式组，求解得出c的取值范围，然后将a,b的值代入 m＝3a+b﹣7c， 即可用含c的式子表示出m的值，从而根据c的取值范围即可求出答案.
6．【答案】11.5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设买1支甲，乙，丙三种笔各a，b，c元.由题意得：
由②×2-①得：b+c=3.5 ③，
由③代入①得：a+c=4.5 ④，
由④+2×③得：a+2b+3c=11.5.
故答案是：11.5.
【分析】设买1支甲，乙，丙三种笔各a，b，c元. 根据
买甲种笔2支和乙种1支，丙种3支共12.5元列出方程2a+3c+b=12.5；根据买种笔1支，乙种，4支，丙种5支，共18.5元列出方程a+4b+5c=18.5.利用加减消元求出a+c,b+c的值，将其变形再相加即可求出a+2b+3c的值.
7．【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】根据题意,得
由 (2)- (1)，得
故答案为：3.
【分析】观察所给方程，两个方程相减即可求解.
8．【答案】2；2；-4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ①﹣②，得：3a﹣3b=0④
①﹣③，得：﹣4b=﹣8，解得：b=2，
把b=2代入④，得：3a﹣3×2=0，解得：a=2，
把a=2，b=2代入②，得2+2+c=0，解得：c=﹣4，
∴原方程组的解是 ．
故答案为：2，2，﹣4．
【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：三个方程中c的系数都是1，因此①﹣②和①﹣③，就可求出b的值，再代入计算求出a、c的值。
9．【答案】解：
①+②得：3x+3y=15④，
③-②得：x+3y=9⑤，
④-⑤得2x=6，解得x=3，
将x=3代入④得：y=2，
将x=3，y=2代入①得：z=1，
∴方程组的解为： .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：可知z的系数最简单（相等或互为相反数），因此由①+②和③-②消去z，建立关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，再将x、y的值代入方程1，可求出z的值，即可得出方程组的解。
10．【答案】解：设原数的个位数字为x,十位数字为y,百位数字为z根据题意得:
解这个方程组得:
所以原来的三位数是729
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】此题的等量关系为：个位数字+十位数字+百位数字=18；百位数字+个位数字-十位数字=14；新的三位数-原三位数=198，设未知数，列方程组，解方程组求解，就可得出原来的三位数。
11．【答案】解：设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，则
，解得 ，所以 （分）
答：小华的成绩是36分
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，再根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，解方程组求出x、y、z的值，从而得x+y+z的值.
12．【答案】解：设这个三位数个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y，
根据题意，得 ，解得 ，∴x+y=7
答：这个三位数是275.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先找出本题的等量关系：个位上的数字＋百位上的数字＝十位上的数字；百位上的数字×7-（个位数字＋十位上的数字）=2；个位上的数字＋十位上的数字＋百位上的数字＝14.设个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y.可以得到7y-{x+（x+y)}=2，x+(x+y)+y=14，计算方程组即可．
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一、单选题
1．（2019·宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，由题意，
得 ，
将两方程相减得y-x=7，
∴y=x+7，
将y=x+7代入5x+3y=a-10
得8x=a-31，
∴若只买8支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。
故答案为：A
【分析】设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，根据若买5支玫瑰花和3支百合花所带的钱还剩10元，若买3支玫瑰花和5支百合花所带的钱还差4元，列出方程组，根据等式的性质，将两个等式相减即可得出y-x=7，即y=x+7，将y=x+7代入其中的一个方程，即可得出8x=a-31.从而得出答案。
2．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（三））已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；（1）
，即 ；（2）
，即 ．（3）
（ 2 ）﹣（3）得到： （4）
（ 1 ）﹣（4）得到： = 解得：x= ．
故答案为：B．
【分析】根据等式的性质，分别求出各式的倒数，然后利用乘法分配律即可得出方程 =1；（1）， ；（2） ．（3），再用加减消元法，用（ 2 ）﹣（3）得出（4）方程，再（ 1 ）﹣（4）即可消去未知数求出x的值。
3．（2019七上·江宁期末）如图，“ 、 、 ”分别表示三种不同的物体 已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡 如果在“？”处只放“ ”，那么应放“ ”
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据图示可得，
，
，
由 、 可得，
， ，
，
故答案为：C.
【分析】首先根据图示可知， ， ，据此判断出 、 与 的关系，然后判断出结果.
4．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）如图，在某张桌子上放相同的木块，R=34，S=92，则桌子的高度是（ ）
A．63 B．58 C．60 D．55
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设木块的长为x，宽为y，桌子的高度为z，
由题意得： ，
由①得：y-x=34-z，
由②得：x-y=92-z，
即34-z+92-z=0，
解得z=63；
即桌子的高度是63．
故答案为：A．
【分析】由第一个图形可知：桌子的高度+木块的宽=木块的长+R；由第二个图形可知：桌子的高度+木块的长=木块的宽+S；设未知数，列方程组，求解即可得出桌子的高度。
二、填空题
5．（2019八上·武汉月考）已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为 .
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，
解得a＝7c﹣3，b＝7﹣11c，
∵a≥0、b≥0，
∴7c﹣3≥0，7﹣11c≥0，
∴ ≤c≤ .
∵m＝3a+b﹣7c＝3（7c﹣3）+（7﹣11c）﹣7c＝3c﹣2，
∴m的最大值为s＝3× ﹣2＝﹣ .
故答案为﹣ .
【分析】将c作为常数，解3a+2b+c＝5与2a+b﹣3c＝1，组成的方程组，即可用含c的式子表示出a,b的值，根据a,b都是非负数，列出关于c的不等式组，求解得出c的取值范围，然后将a,b的值代入 m＝3a+b﹣7c， 即可用含c的式子表示出m的值，从而根据c的取值范围即可求出答案.
6．（2019七下·港南期中）有甲，乙，丙三种笔，已知买甲种笔2支和乙种1支，丙种3支共12.5元，买甲种笔1支，乙种，4支，丙种5支，共18.5元，那么买甲种笔1支和乙种2支，丙种3支共需 元.
【答案】11.5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设买1支甲，乙，丙三种笔各a，b，c元.由题意得：
由②×2-①得：b+c=3.5 ③，
由③代入①得：a+c=4.5 ④，
由④+2×③得：a+2b+3c=11.5.
故答案是：11.5.
【分析】设买1支甲，乙，丙三种笔各a，b，c元. 根据
买甲种笔2支和乙种1支，丙种3支共12.5元列出方程2a+3c+b=12.5；根据买种笔1支，乙种，4支，丙种5支，共18.5元列出方程a+4b+5c=18.5.利用加减消元求出a+c,b+c的值，将其变形再相加即可求出a+2b+3c的值.
7．（2019七下·长春月考）若 ，那么代数式 .
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】根据题意,得
由 (2)- (1)，得
故答案为：3.
【分析】观察所给方程，两个方程相减即可求解.
8．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册第7章一次方程组 单元检测提高卷）已知a、b、c满足 ，则a= ，b= ，c= ．
【答案】2；2；-4
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ①﹣②，得：3a﹣3b=0④
①﹣③，得：﹣4b=﹣8，解得：b=2，
把b=2代入④，得：3a﹣3×2=0，解得：a=2，
把a=2，b=2代入②，得2+2+c=0，解得：c=﹣4，
∴原方程组的解是 ．
故答案为：2，2，﹣4．
【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：三个方程中c的系数都是1，因此①﹣②和①﹣③，就可求出b的值，再代入计算求出a、c的值。
三、计算题
9．（2019七下·马龙月考）解方程组
【答案】解：
①+②得：3x+3y=15④，
③-②得：x+3y=9⑤，
④-⑤得2x=6，解得x=3，
将x=3代入④得：y=2，
将x=3，y=2代入①得：z=1，
∴方程组的解为： .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：可知z的系数最简单（相等或互为相反数），因此由①+②和③-②消去z，建立关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，再将x、y的值代入方程1，可求出z的值，即可得出方程组的解。
四、解答题
10．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）
一个三位数的各位数字的和等于18，百位数字与个位数字,的和比十位数字大14，如果把百位数字与个位数字对调，所得新数比原数大198，求原数!
【答案】解：设原数的个位数字为x,十位数字为y,百位数字为z根据题意得:
解这个方程组得:
所以原来的三位数是729
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】此题的等量关系为：个位数字+十位数字+百位数字=18；百位数字+个位数字-十位数字=14；新的三位数-原三位数=198，设未知数，列方程组，解方程组求解，就可得出原来的三位数。
11．（2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练： 8.4《三元一次方程组的解法》）为迎接“第一届全国青年运动会”，学校组织了飞镖比赛游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是多少分？
【答案】解：设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，则
，解得 ，所以 （分）
答：小华的成绩是36分
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，再根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，解方程组求出x、y、z的值，从而得x+y+z的值.
12．（2017七下·大同期末）一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
【答案】解：设这个三位数个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y，
根据题意，得 ，解得 ，∴x+y=7
答：这个三位数是275.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先找出本题的等量关系：个位上的数字＋百位上的数字＝十位上的数字；百位上的数字×7-（个位数字＋十位上的数字）=2；个位上的数字＋十位上的数字＋百位上的数字＝14.设个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y.可以得到7y-{x+（x+y)}=2，x+(x+y)+y=14，计算方程组即可．
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