2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高三（上）开学数学试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高三（上）开学数学试卷（A卷）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
3. 已知，若，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数在区间上可找到个不同数，使得，则的最大值等于．( )
A. B. C. D.
5. 已知，则，，大小关系是( )
A. B. C. D.
6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数，，若对于，，使得，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数的导函数为，则( )
A. 若为奇函数，则为偶函数 B. 若，则为奇函数
C. 若的最小值为，则 D. 若为偶函数，则为奇函数
11. 下列能使式子最小值为的是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则( )
A. 函数的图象关于直线对称 B.
C. 函数的图象关于点对称 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，求曲线在点处的切线方程______ ．
14. 已知函数，若对任意的正数，，满足，则的最小值为______ ．
15. 已知函数的最小正周期为，且函数的图像关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数的取值范围为______ ．
16. 已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：
每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；
入住宾馆的游客人数在月份最少，在月份最多，相差约人；
月份入住宾馆的游客约为人，随后逐月增加直到月份达到最多．
若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为，且试求出函数的解析式；
请问哪几个月份要准备不少于份的食物？
18. 本小题分
已知函数．
化简；
已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
若方程有解，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知函数
求不等式的解集；
若方程在区间内有个不等实根，求的最小值．
20. 本小题分
设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数其中定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数．
已知函数的图像过点，且在点处的切线斜率为．
判断在区间上是否为凸函数，说明理由；
求证：当时，函数有两个不同的零点．
21. 本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
求证：．
22. 本小题分
设且，函数，．
证明：恒成立；
若对，恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的包含关系，以及交集运算，属于基础题．
首先判断集合中任意元素都是集合的元素，从而得出集合是集合的子集，然后即可求它们的交集．
【解答】
解：因为当时，集合中任意元素
所以，于是．
故答案选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的图象变换规律，属于基础题．
由题意利用的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：把函数横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，
可得，再向右平移个单位，得的图象，
故选B．
3.【答案】
【解析】解：由不等式，可得，解得或，
即命题为真命题时，构成集合或，
又由，根据指数函数的图象与性质，可得，
即命题为真命题时，构成集合，
所以是的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据不等式的解法和指数函数的额性质，分别求得集合，，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
作出函数的图象，设，则由数形结合即可得到结论．
【解答】
解：设，
则条件等价为，的根的个数，
作出函数和的图象，
由图象可知与函数最多有个交点，
即的最大值为，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为，，，
又因为，且函数在上为增函数，故．
故选：．
利用换底公式结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系．
本主要考查对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在上单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立，
令，
再令，则．
式可化为，
在上单调递减，
，即，
，
故选：．
依题意，得在上恒成立，通过分离参数，构造函数，求导分析，换元等变化可求得的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查等价转化思想与分离参数法、换元法的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的运用，考查运算求解能力，属于较综合的中档题．
求出的最值，由题意可得，，由二次函数的图象与性质，对分类讨论，求出的最值，列不等式组，即可求解的取值范围．
【解答】
解：，，
令，则，
则，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，
所以，
所以，，
因为对于，，使得，
所以，，
函数，，图象开口向上，对称轴，
当，即时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得．
综上可得，的取值范围是．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：因为函数满足，所以函数的图像关于直线对称，故，
又是上奇函数，所以，所以，故函数的周期为，
考虑一个周期，由函数在区间上单调递减，又由是上奇函数，且关于直线对称，
知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，
故当时，，当，，
当时，，当时，，
因为方程在区间有实数根，则这实根是唯一的，
又因为函数的图像关于直线对称，则方程在区间有唯一实数根，
方程在区间和区间上没有实根，
所以方程在一个周期内有且只有个实数根，根据对称性，知这两根之和为，
因为函数在区间上恰好个周期，
所以根据函数周期性和对称性知，方程在区间上所有实数根之和为．
故答案为：．
利用函数是上奇函数且满足，得出函数是周期为的周期函数，且关于直线对称，利用周期性和对称性，讨论出函数在一个周期内的单调性，从而判断出方程在一个周期内的根的个数，并利用对称性求出两根之和，从而求出方程在区间上所有实数根之和．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
由已知求得，再由三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式逐一分析四个选项得答案．
本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
【解答】
解：，
，若，则．
中，，故A符合条件；
中，，故B不符合条件；
中，，即，又，故，故C符合条件；
中，，即，又，故，故D不符合条件．
故选：．

10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若为奇函数，即，必有，
则，，是偶函数，A正确；
对于，函数，，
若，即，则，不一定是奇函数，B错误；
对于，，若的最小值为，则有，变形可得，C正确；
对于，，若为偶函数，则有，
变形可得：，必有，
故，是奇函数，D正确．
故选：．
根据题意，由函数奇偶性的定义和导数的计算公式，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性以及导数的计算，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：当时，则有，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于：由得，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，故最小值为，故B错误；
对于：假设，则，故C错误；
对于：，，，且，
即，，
由得，，
设，，即，，
由，可得，所以
则，
因为，所以，
所以，即，
当，即，即，时，取得最小值，故D正确．
故选：．
由得出，结合不等式“”的妙用，即可求出的最小值为，判断出A正确；由得，代入，结合基本不等式，即可判断出B错误；假设，则，即可判断出C错误；由，设，，，代入化简，结合的范围，即可得出当即时，取得最小值，即可判断D正确．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的性质，周期性、对称性、奇偶性，属于中档题．
根据条件可得的图象关于对称，可以判断，由，化简可得，可以判断，由，化简整理可以判断函数的对称中心，结合和，可得的周期性，化简求和可以判断．
【解答】
解：对于：是偶函数，函数图象关于对称，
的图象，横坐标放大为原来的两倍，得到的图象，
所以是偶函数，图象关于对称，
的图象向左平移个单位，得到的图象，
所以的图象关于对称，故A错误；
对于：由，
以替换得，
由，得，
令得，，
由于的图象关于对称，
所以，故B正确；
对于：由，
以代替得，
由，
得，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对于：的图象关于对称，
所以，
由，得，
以替换得，
可得，
即，是周期为的函数，
，，
又，令，可得，
所以，
所以，故D正确．
故选：．

13.【答案】
【解析】解：函数的导数为
可得切线的斜率为，切点为，
可得在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义和直线方程的运用，正确求得导数是解题的关键，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数，的定义域为，
因为，即为奇函数，
由可得，
即．
则，
当且仅当时，即时，取得最小值为，
故答案为：．
先判断出为奇函数，由可得，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了奇函数性质的应用及利用乘法配凑基本不等式的应用条件，属于中档试题．
15.【答案】，
【解析】解：由题意可知：，
，
又为的一条对称轴，
，，
，，
又，，
；
设，则原函数可化为，
若，
或，
解得：或．
古答案为：，．
由函数的最小正周期及对称轴方程可得，的值，由的范围，可得的范围，再由题意可得的范围．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，所以中，
由，可得，
设，，则与互为反函数，
所以转化为，
则只需的图像在上方，的图像在下方，
所以，即，令，则只需，
又，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以为的极小值也是最小值，所以，
即，又，所以．
故答案为：．
先将不等式变形为，令，，由于与互为相反数，故只需要即可，即，然后利用导数求出左边的最小值即可．
本题考查利用导数解决恒成立问题，利用导数求函数的最值问题，属难题．
17.【答案】解：因为，且
根据条件，可知这个函数的周期是；
由可知，最小，最大，且；
，
由可知，函数在上单调递增，且，所以．
根据上述分析可得，，故，，
，
根据分析可知，当时，取最小值，当时，取最大值．
故，且，
又因为，故，
所以入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为，且；
令，
化简得，
即，
解得．
因为，且，所以、、、、，
即在月、月、月、月、月个月份要准备不少于份的食物．
【解析】根据题中的条件可以知道该函数的周期为，能直接解出的值，由月份最少月份最多，相差约人，可以计算出，，即可解出；
由可利用函数解析式，直接计算即可．
本题考查了三角函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：分
由
的递增区间为
在上是增函数
当时，有
解得
的取值范围是分
解一：方程即为从而问题转化为方程有解，只需在函数的值域范围内
当；
当时，
实数的取值范围为分
解二：原方程可化为
令，则问题转化为方程在内有一解或两解，
设，若方程在内有一个解，则解得
若方程在内有两个解，则解得
实数的取值范围是
【解析】利用二倍角的余弦公式和平方差公式整理函数式，再合并同类型，点的三角函数的最简形式．
根据上一问做出的函数的解析式，代入自变量整理出函数式，根据正弦函数的单调性先写出函数的单调区间，根据所给的单调区间，两者进行比较，得到的取值范围．
原方程可化为，换元令，则问题转化为方程在内有一解或两解，根据解的情况写出实根分布的充要条件，得到结果．
本题考查三角函数的化简求值及一元二次方程的实根分布，本题解题的关键是整理出三角函数的解析式，熟练应用三角函数的公式来解题，本题是一个中档题目．
19.【答案】解：函数有意义，则：，，
很明显，即函数为偶函数，
由复合函数的单调性法则可知函数在区间上单调递减，
从而题中的不等式等价于：
，
，
，
从而可得：，
，
或，
据此可得不等式的解集为：
若，则，，
令，
由题意可得关于的一元二次方程有两个实数根：，，，
由韦达定理可得：，
从而：，
结合二次函数的性质可知，
当时，．
【解析】首先确定函数的定义域和函数的奇偶性，然后脱去符号求解不等式的解集即可；
首先求得的范围，然后利用换元法结合韦达定理即可求得题中代数式的最小值．
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，函数不等式的解法，韦达定理的应用，换元法的应用，二次函数求最值的方法等知识，属于中等题．
20.【答案】解：由，得，
而，依题意，，
，
，，
，
，
，
在区间上为凸函数．
证明：由知在区间内单调递减，
又，
，使得，
当时，，当时，，
在内单调递增，在内单调递减，
因为，，，
在及内各有一个零点，即在内有两个不同的零点．
【解析】求出，，可得函数解析式，根据凸函数的定义即可判断出结论；
判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可证明结论．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：，，
，．
在点处的切线方程为：，
化为：．
证明：要证明：，即证明，
分别令：，，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
故时，函数取得极小值即最小值，．
，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在时取得极大值即最大值，，
而函数与不是在同一点取得，
因此对于，都有：．
即．
所以原不等式得证．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，可得，，，再利用点斜式即可得出．
要证明：，即证明，分别令：，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．
22.【答案】解：证明：的定义域为，且，
当时，，时，，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增．
故的最小值为，因此恒成立．
当时，取，则，即不符合题意；
当时，取，则，即不符合题意；
当时，由，所以，即对恒成立．
令，，且，所以对恒成立．
设，，
则，
设，
则，
由知，
所以，
同理，由可推出，
所以，即在上单调递增，
又，
所以在内单调递减，在内单调递增，
故成立．
综上的取值范围为．
【解析】首先求函数的导数，利用导数讨论函数的单调性，并求函数的最小值；即可证明；
分，和三种情况讨论，利用导数讨论函数的最值，求的取值范围．
本题考查恒成立问题，导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，分类讨论思想，化归转化思想，属难题．
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