【高效备课】人教版九(上) 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件

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*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
R·九年级上册
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如果一个方程的两根之和为1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？
今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系.
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知识点1
一元二次方程的根与系数的关系
思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)
=0 (x1, x2为已知数) 的两根为x1和x2, 将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.
于是x1+x2=-p, x1x2=q.
思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
别为x1= ，x2= 。
x1+x2= ，
x1x2= .
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
例 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列
方程两根x1，x2的和与积.
(1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2
解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15
不解方程，求下列方程两根的和与积.
x2-3x=15； 5x2-1=4x2+x
解：x1+x2=3
x1x2=-15
解：化简得 x2-x-1=0
x1+x2=1
x1x2=-1
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别
为x1，x2，则有
Δ≥0且 x1x2＞0
Δ≥0且 x1x2＜0
x1+x2＞0
x1+x2＜0
x1+x2＞0
x1+x2＜0
两根同为正数
两根同为负数
两根异号且正根的绝对值大
两根异号且负根的绝对值大
随堂演练
基础巩固
关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p= ，q= .
已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ .
-2
-1
-7
3. 求下列方程的两根x1，x2的和与积：
（1）x2－3x+2=0； （2）x2+x=5x+6
解：x1+x2=3
x1x2=2
解：化简得 x2-4x-6=0
x1+x2=4
x1x2=-6
4. 已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x).
根据题意，得x(8-x)=9.75，整理，
得x2-8x+9.75=0.
解得x1=6.5, x2=1.5.
当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5.
∴这两个数是6.5和1.5.
5. x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
6. 已知关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等于
两根之积，求m的值.
解：设方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根为x1，x2.
∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.
根据题意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=-1.
当m=3时，原方程为x2-9x+9=0，b2-4ac=45>0.方程有实数根.
当m=-1时，原方程为x2-x+1=0，b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此m值舍去.
∴m的值为3.
1. 解下列方程：
（1）x2- 3x = 15； （2）3x2 + 2 = 1- 4x；
（3）5x2- 1 = 4x2+x ； （4）2x2 -x+2 = 3x + 1 ；
练习
【教材P16练习】
解：设方程的两根分别为x1, x2.
方程可化为x2- 3x – 15 = 0.
x1+x2= -(-3) = 3, x1x2 =-15.
设方程的两根分别为x1, x2.
方程可化为3x2 + 4x +1= 0.
x1+x2= - , x1x2 = .
设方程的两根分别为x1, x2.
方程可化为x2- x – 1 = 0.
x1+x2= -(-1) = 1, x1x2 = -1.
设方程的两根分别为x1, x2.
方程可化为2x2- 4x + 1= 0.
x1+x2= 2, x1x2 = .
课堂小结
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。