【高效备课】人教版九(上) 21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 实际问题与一元二次方程（3）课件

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21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 实际问题与一元二次方程（3）
R·九年级上册
新课导入
导入课题
要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
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知识点
用一元二次方程解决图形的面积问题
如图，要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面
面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、
右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度
（结果保留小数点后一位）？
①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21=9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推：
设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
②设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算
③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？
原方程可化为
④方程的哪个根符合实际意义？为什么？
符合实际意义，因为 时，
上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况.
⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是：
设中央矩形的长为9xcm.则宽为7xcm.
列方程得 .即x2= ,
解得 (舍去).
∴上下边衬的宽为 (cm)
左右边衬的宽为 (cm)
⑥练习：要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？
根据题意，得 .
整理得，8x2+204x-319=0,解得 .
∴x1= ,x2= (不合题意，舍去).
∴x= ≈1.5.
答：镜框的宽度约为1.5cm.
随堂演练
基础巩固
从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的
面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）
A.8cm B.64cm C.8cm2 D.64cm2
直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是 、 .
D
6cm 8cm
3. 在长方形钢片上裁掉一个长方形，制成一个四周
宽相等的长方形框 .已知长方形钢片的长为30cm，
宽为20cm, 要使制成的长方形框的面积为400cm2，
求这个长方形框的边框宽.
解：设长方形框的边框宽为xcm .
依题意得，(30-2x)(20-2x)= 600-400 .
整理，得x2-25x+100=0, 解得x1=5, x2=20(舍去) .
∴x=5.
答：这个长方形框的边框宽为5cm .
4. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由.
解：(1)设其中一个小正方形的边长为x cm,则另一个小正
方形的边长为 =(10-x)cm.
依题意x2+(10-x)2=58，解得x1=3,x2=7.
当x=3时，小正方形周长为12cm；
当x=7时，小正方形周长为28cm.
∴小林应把长为40cm的铁丝剪为28cm和12cm的两段.
(2)对.两个正方形的面积之和为：
x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50
∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的.
∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2.
小峰的说法是对的.
5. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？
③ ④
①
②
解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.
根据题意，得30×20× =30×20-(30-4x)(20-6x).
整理，得12x2-130x+75=0.
解得x1= , x2= .
∵30-4x>0且20-6x>0.∴x< .∴x= 不合题意，舍去.
∴x= ≈0.6 . ∴3x≈1.8, 2x≈1.2.
答：横彩条的宽度约为1.8cm,竖彩条的宽度约为1.2cm.
课堂小结
与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形等，涉及到三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等。
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。