【高效备课】人教版九(上) 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax?的图象和性质 课件

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22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
R·九年级上册
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问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象.
①列表；②描点；③连线
一条直线
（1）用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.
（2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
学习目标
先画二次函数y = x2的图象
推进新课
知识点1
二次函数y = ax2的图象的画法
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
1.列表
在y = x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
2.描点
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点.
3.连线
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象.
3
6
9
y
O
-3
3
x
3
6
9
y
O
-3
3
x
观察：二次函数y = x2的图象像什么？
事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c.
抛物线y = x2
知识点2
二次函数y = ax2的图象和性质
3
6
9
y
O
-3
3
x
函数y = x2的图象开口______.
向上
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
顶点坐标是________.
顶点是图象的最____点.
（0，0）
低
在抛物线y = x2上
任取一点（m，m2），
因为它关于y轴的对称
点（-m，m2）也在抛
物线y = x2上，所以抛
物线y = x2关于y轴对称。
特征
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点．
3
6
9
y
O
-3
3
x
当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
单调性
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y = 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=2x2
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，y =2x2的图象.
a值越大，抛物线的开口越小．
增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
思考
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；
开口都向上；
对称轴都是y轴；
函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
归纳
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
探究
画出函数y=-x2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
··· -2 0 -2 ···
y = -2x2 ··· -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ···
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
开口都向下；
对称轴都是y轴；
a值越小，抛物线的开口越小．
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
共同点和不同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
1.二次函数的图象都是抛物线.
2.抛物线y=ax2的图象性质:
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点;
|a|越大，抛物线的开口越小.
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
y=-2x2
y=-x2
2
6
8
y
4
y=2x2
-8
-4
-2
-6
O
-2
2
x
4
-4
小 结
知识点3
二次函数y = ax2的实际应用
二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）
质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）
物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）
数形结合
已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式；
（2）画出它的图象；
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
出题角度 二次函数y=ax2与不等式的综合运用
注意自变量的范围
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 cm，
∴S与C之间的关系式为S = ；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm
（4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8cm
.
.
随堂演练
1.函数y = 2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，
顶点是________ .
向上
y轴
（0，0）
a = 2>0
基础巩固
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）.
2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2.
②
①
①
③
⑤
④
a>0
a<0，
|a|越大，开口越小.
开口向下
a<0
3. 分别写出抛物线y=4x2与 的开口方向、对称轴及顶点坐标.
解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）；
抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.
y
O
x
y
O
x
y
O
x
4. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
··· 3 0 3 ···
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
··· -3 0 -3 ···
综合应用
5. 已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ）
C
y=ax+b与y轴交点（0，b）
b<0
交点在y轴负半轴，故B、D错；
a>0，
y=ax+b单调递增
故A错；
y=ax2开口向上
a<0，
y=ax+b单调递减
故C对.
y=ax2开口向下
×
√
×
×
6. m为何值时，函数 的图象是开口向下的抛物线？
解：由题意得
解得m=-1
∴当m=-1时，函数 的图象是开口向下的抛物线.
a<0
二次函数
二次函数与一次函数性质的综合应用
7.如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）.
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC，求点D的坐标.
y=ax+b
（2，2）
（4，0）
D
D
拓展延伸
解：（1）设直线表达式为y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，
∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4.
（2）∵点A（2，2）在y=ax2的图象上，
∴代入可得 ，
∴抛物线的函数解析式为 .
（2，2）
（4，0）
（3）联立得
解得：
∴点C的坐标为（-4，8），
设D
∵S△OBD=S△OAC，∴x2=12，
∴D点坐标为 或 .
（2，2）
（4，0）
D
D
（-4，8）
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点:
（1）y = 3x2； （2） y = - 3x2 ；
（3） y = x2； （4） y = - x2；
练习
【教材P32练习】
开口向上
对称轴是y轴
顶点是原点
开口向下
对称轴是y轴
顶点是原点
开口向上
对称轴是y轴
顶点是原点
开口向下
对称轴是y轴
顶点是原点
二次函数y = ax2 的性质
根据图形填表：
抛物线 y = ax2（a>0） y = ax2（a＜0）
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x = 0时，最小值为0.
当x = 0时，最大值为0.
当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.
当x>0时，y随着x的增大而减小.
课堂小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。