【高效备课】人教版九(上) 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 课件

(共27张PPT)
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
R·九年级上册
新课导入
导入课题
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
学习目标
推进新课
思考
回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？
知识点1
用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？
探究
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步：解方程组。
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，
求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步：解方程组。
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
①
②
③

由②-①可得：
2b=-6
b=-3
由③-①可得：
3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：
2+3+c=10
c=5
∴解方程组得：
a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，
求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步：解方程组。
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
∴解方程组得：
因此，所求二次函数是：
a=2, b= -3, c=5
y=2x2-3x+5.
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
归纳
任意两点的连线不与y轴平行
已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步:解方程组。
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).
∴
解得a＝1，b＝-2，c＝-3.
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
练习
图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
知识点2
用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式
已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.
解：∵抛物线顶点为(1,-4)
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4，
又抛物线过点(2,-3)，
则-3=a(2-1)2-4，则a=1.
∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:
第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k.
第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.
归纳
知识点3
用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与 时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
【教材P40练习 第1题】
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)
∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3)
∵图象过点C(0,3)
∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：
①设出合适的函数解析式；
②把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
③解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.
知识点4
已知图象上关于对称轴对称的两点坐标
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，1)，B(3，1)两点，与y轴交于点C(0，3)，求这个二次函数的解析式.
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0，3)代入其中求出a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0，3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式.
解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3,
又图象经过点(2,6),
∴6=a(2-1)(2+1)+3,
解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2.
随堂演练
基础巩固
1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( )
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)
和(-1,-6)两点，则a+c= ．
3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 .
D
-2
y=-7(x-3)2+4.
解：
（1）选用一般式求解析式：
（2）选用交点式求解析式：
根据已知条件选设函数解析式：
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对称轴）.
综合应用
5. 如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,
知抛物线一定过点(-2,0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),
∵抛物线过点(0,4),
∴4=a(0+2)(0-8),
拓展延伸
6.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),
设解析式为y=a(x-5)(x+3),
∵抛物线过点(1,16)
∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
练习
【教材P35练习】
一个二次函数的图像经过(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点，求这个二次函数的解析式.
解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知，函数图像经过(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点，
得关于a，b， c的三元一次方程组
c=0，
a-b+c=-1，
a+b+c=9，
a=4，
b=5，
c=0.
解得
所求二次函数的解析式是y= 4x2+5x.
课堂小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。