【高效备课】人教版九(上) 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 课件

(共35张PPT)
24.1.2 垂直于弦的直径
R·九年级上册
新课导入
圆是轴对称图形吗？
(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形.
(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.
(3)能利用垂径定理解决相应问题.
推进新课
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
回 顾
知识点1
圆的轴对称性
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
圆
　用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
探究
圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.
圆有哪些对称轴？
O
如何来证明圆是轴对称图形呢？
B
O
A
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
左图是轴对称图形吗？
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
证明：连结OA、OB.
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B
O
A
C
D
E
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
知识点2
垂径定理及其推论
显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
B
O
A
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧．
知识要点
垂径定理
B
O
A
C
D
E
　　下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
AE＝BE
AC＝BC
AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
D
O
A
B
E
C
垂径定理
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
N
O
A
B
M
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
一个圆的任意两条
直径总是互相平分，
但它们不一定互相垂
直.因此这里的弦如
果是直径，结论不一
定成立．
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.
注意
两
三
条件 结论 命题
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
垂径定理的推论
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h
中，已知其中任意
两个量，可以求出
其它两个量．
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
A
C
B
D
O
37
7.23
18.5
R
R-7.23
解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.
则R2=18.52+(R-7.23)2
解得：R≈27.3
因此，赵州桥的主桥拱
半径约为27.3m.
A
C
B
D
O
37
7.23
18.5
R
R-7.23
随堂演练
基础巩固
1.下列说法中正确的是( )
A.在同一个圆中最长的弦只有一条
B.垂直于弦的直径必平分弦
C.平分弦的直径必垂直于弦
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
B
2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( )
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
C.OD=DC D.AC=BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .
C
10
6
⌒
⌒
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.
求证：四边形ADOE是正方形.
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.
∴四边形ADOE是矩形.
又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,
∴四边形ADOE是正方形.
【教材P83练习 第2题】
5.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求：
(1)∠AOB的度数；
(2)点O到AB的距离.
解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.
(2)作OM⊥AB，则∠AOM= ∠AOB=30°.
∴在Rt△AOM中，AM= AB=25mm.
6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.
解：连接OC.
∵OM平分CD,
∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m.
设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,
由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= .
即⊙O的半径为 m.
7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.
解：设半径为r.
∵OC⊥AB，∴AD=BD= AB=150m.
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.
因此，这段弯路的半径为272.5m.
8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,
则AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
综合应用
解：分两种情况讨论.
第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
∵AB∥CD. ∴OE⊥AB.
连接OB、OD.
∴EM＝OM-OE＝7cm.
第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，
如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，

∴EM=OM+OE=17cm.
即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
10. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？
拓展延伸
解：OM＜ON.
理由如下：连接OA、OC.
则OA＝OC.∵ON⊥CD, OM⊥AB,
又∵AB＞CD,∴CN＜AM, ∴CN2＜AM2.
在Rt△OCN和Rt△OAM中，
OM2＝OA2-AM2,
ON2＝OC2-CN2,
∴OM2＜ON2. ∴OM＜ON.
练习
【教材P83练习 第1题】
如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3 cm.求⊙O的半径.
解：根据题中添加而辅助线可知，在Rt△AOE中，AO =
= =5(cm).则⊙O的半径为5cm.
A
E
B
O
课堂小结
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.