【高效备课】人教版九(上) 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 课件

(共39张PPT)
24.1.4 圆周角
R·九年级上册
新课导入
如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.
问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？
A
B
O
C
(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.
(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.
(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.
推进新课
知识点1
圆周角的定义及圆周角定理
1.圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
O
C
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
　　图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？
A
B
O
C
探究
先猜一猜，再用量角器量一量.
　　（1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
A
⌒
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
第一种情况：
B
C
O
A
∵　OA=OC，
∴　∠A=∠C．
又∵　∠BOC=∠A+∠C，
∴
证明：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵OA=OB，
∴∠BAD=∠B．
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
第二种情况：
B
C
O
A
同理，
∴
∴
D
请同学们自己完成证明.
B
C
O
A
第三种情况：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【对应训练】
解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC,
所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°，
∠A= ∠BOC= ×80°=40°.
A
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
A
B
O
C
那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？
知识点2
圆周角定理的推论
根据圆周角定理可知，
同弧所对的圆周角相等．
A
D
B
C
O
∴
同弧：
∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？
⌒
证明：
.
如图，作出两弧所对应的圆心角.
根据圆周角定理可知，
等弧所对的圆周角相等．
∴
等弧：
A
D
B
C
O
E
BC=CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？
⌒
⌒
又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE.
⌒
⌒
∠BDC=∠CAE
同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论1：
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
下列说法是否正确，为什么？
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
D
B
C
O
E
.
一条弦所对应的圆周角有两个.
这两个角有什么关系吗？
如图所示，连接BO、EO.
显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = .
360°
180°
在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补.
半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
C1
A
O
B
C2
C3
思考
所对应的圆心角为 ，
则对应的圆周角为 .
180°
90°
　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
推论2：
例4 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，
ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. 　
A
C
B
D
O
∵　AB 是⊙O 的直径，
∴　 ACB= ADB=90°．
在 Rt△ABC 中，
　
10
6
A
C
B
D
O
10
6
∵　CD 平分 ACB，
∴　 ACD= BCD，
∴　 AOD= BOD ．
∴　AD=BD．
在 Rt△ABD 中，
　 AD2+BD2=AB2 ，
∴　AD=BD=　　　　
=　　（cm）．
8
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
知识点3
圆内接多边形
A
B
C
D
O
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
思考
A
B
C
D
O
∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC =360°
圆内接四边形的对角 .
互补
随堂演练
基础巩固
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
C
2.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=( )
A.15° B.40° C.5° D.35°
D
3.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=
.
4.如图，点B、A、C都在⊙O上,
∠BOA＝110°，则∠BCA＝
.
80°
125°
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B.
又∵∠B= ∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.
解：连接OA、OB.
∵∠ACB=45°,
∴∠BOA=2∠ACB=90°.
又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
7.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=
60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.
解：△ABC是等边三角形. 证明如下：
∵∠APC=∠ABC=60°，
∠CPB=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
8.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°,
∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE. ∵BC=BE,
∴∠E=∠BCE, ∴∠A=∠E, ∴AD=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 ．
综合应用
30≤x≤60
10.如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F不与B、C重合)，A是BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
(1)当α=50°时，求β的度数;
(2)猜想α与β之间的关系，并
给予证明.
拓展延伸
⌒
⌒
C
解：(1)连接OA，交BF于点M.
∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°,
即β=20°.
(2)β=45°- α.
证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
又∠C＝β＝ ∠AOB,
∴β＝ (90°-α)＝45°- α.
⌒
C
M
1. 判断下列图形中的角是不是圆同角，并说明理由:
练习
【教材P88练习 第1题】
理由:(1)(2)中的角的顶点不在圆上,(4)(5)中的角的两边至少有一条不与圆相交,(3)中的角的顶点在圆上,两边都与圆相交.故(3)中的角是圆周角.
（1） （2） （3） （4） （5）
√
2. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC, BD把它的4个
内角分成8个角，这些角中哪些相等？为什么？
【教材P88练习 第2题】
解：∠1=∠4， ∠3=∠6，
∠2=∠7， ∠5=∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
A
B
C
D
1
8
2
5
7
3
4
6
3. 如图，OA，OB, OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
【教材P88练习 第3题】
证明：
∵ ∠ACB= ∠AOB，∠BAC=
∠BOC，∠AOB=2∠BOC，
∴ ∠ACB =2∠BAC.
A
B
C
O
4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有
几种方法？与同学交流一下.
【教材P88练习 第4题】
解：根据90 的圆周角所对的弦是直径,两直径的交点即是圆心.
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.
若∠B=110°，求∠ADE的度数.
【教材P88练习 第5题】
解： ∠ADE=110°.
A
B
C
O
D
E
课堂小结
圆周角
圆周角的定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.
圆周角定理及其推论：
定理:
推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
①同弧或等弧所对的圆周角相等．
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形：
圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.