【高效备课】人教版九(上) 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时 切线长定理 课件

(共27张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
R·九年级上册
新课导入
情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.
问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？
问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？
.
O
P.
A
B
(1)知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.
(2)会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.
(3)能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
推进新课
画一画：
切线长定理
知识点1
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2.这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出⊙O的切线PA.
.
O
P.
A
B
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
切线与切线长有什么区别与联系呢？
切线长概念
.
O
P.
A
B
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.
切线和切线长
比一比：
.
O
P.
A
B
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，将⊙O沿着直线OP对折，图中的PA与PB，∠APO与∠ BPO有什么关系
思考
折一折
PA = PB
∠APO=∠BPO
发现：
请证明你所发现的结论.
证明：
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点.
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.
试用文字语言叙述你所发现的结论.
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法.
切线长定理
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
我们学过的切线，常有 五个 性质：
1.切线和圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于圆的半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
六个
如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢
思考
三角形的内切圆
知识点2
．
o
外接圆圆心(外心)：三角形三边垂直平分线的交点.
外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离.
三角形外接圆
三角形内切圆
．
o
内切圆圆心(内心)：三角形三个内角平分线的交点.
内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离.
A
A
B
B
C
C
如图, △ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9，BC ＝14, CA ＝13,求AF、BD、CE的长.
A
E
C
D
B
F
.
例2
解：设AF=x,则AE=x,
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( )
A.3cm B.4cm
C.5cm D.9cm
C
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=( )
A.172° B.130° C.133° D.100°
C
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm.
3
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
解：由切线长定理可知PA=PB.
∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.
∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.
又∵PA＝PB,∴∠BAP=∠ABP=65°.
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.
5.如图，一个油桶靠在墙边，量得WY =1.65m， 并且XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少
解：设圆心为O，连接OW,OX.
∵YW,YX均是⊙O的切线，
∴OW⊥WY,OX⊥XY，
又∵XY⊥WY,
∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°，
∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX.
∴四边形OWYX是正方形.
∴OW=WY=1.65m.
即这个油桶底面半径是1.65m.
6.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.(提示：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC)
解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC.
则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
综合应用
7.如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm，求BC的长.

拓展延伸
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
则OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.
∵AB∥CD,
∴∠EBF+∠GCF=180°.
∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF
=90°.
1. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点
O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。
练习
【教材P100练习 第1题】
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= ∠ABC= ×50°=25°，
∴∠OCB= ∠ACB = ×75°=37.5° ，
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5°
A
B
C
O
解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，则S△ABC= ar + ab + cr= (a+b+c)r = lr
2. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)
【教材P100练习 第2题】
课堂小结
1.如图，PA,PB为⊙O切线，你能得到哪些信息？
(1)PA=PB；
(2)OA⊥PA,OB⊥PB；
(3)OP平分∠AOB和∠APB；
(4)OP垂直平分AB.
连接AB以后，还能得到哪些信息？
.O
A
B
C
D
E
F
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、F，你能得到哪些信息？
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.
(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.