【高效备课】人教版九(上) 24.3 正多边形和圆 课件

(共34张PPT)
24.3 正多边形和圆
R·九年级上册
新课导入
情景：欣赏下面图片.
问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
(1)理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.
(2)会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.
推进新课
正多边形的定义及它与圆的关系
知识点1
三条边相等，
三个角相等（60°）
四条边相等，
四个角相等（90°）
正三角形
正方形
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形.
正多边形定义
观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形.
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
正多边形都是 图形,一个正n边形共有
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 .
正多边形的对称性
边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心.
轴对称
n
中心
中心对称图形
有没有对称轴？
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
·
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B.
·
A
B
C
D
E
O
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE=EA
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴BCE=CDA=3AB
⌒
⌒
⌒
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
定义：
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
A
B
正多边形的有关概念及相关计算
知识点2
中心
E
D
C
B
A
O
半径
中心角
边心距
正多边形中的有关概念：
F
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心.
正n边形的一个内角的
度数是____________;
中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的
大小关系是________.
中心角与内角互补.
相等
想一想：
E
D
C
B
A
O
F
有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
因此，亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
例
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OPC中，OC=4，PC=
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120°
①用量角器度量，使∠AOB=
∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
A
O
C
B
有关正多边形的作图
知识点3
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
O
A
B
C
E
F
·
D
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连接各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……
随堂演练
基础巩固
1.下列说法中正确的是( )
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形
C
2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于( )
A.36° B.18° C.72° D.54°
3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能
取值的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
A
B
4.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
解：如图，∠ABC=120°. AB＝BC＝a, AC＝b.
过B作BD⊥AC于点D,
则AD=DC= b.
在Rt△ABD中，∠BAC=30°,
∴BD= AB=3mm.
∴b=2AD=6 mm.
即扳手张开的开口b至少要6 mm.
A
C
B D
5.如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.
解：设正八边形的边长为xcm,
解得x1=4 -4，x2=-4 -4(舍去).
∴正八边形的边长为(4 -4)cm,
∴剪去的四个小三角形的面积为
面积为4×4-(48-32 )=(32 -32)cm2.
即x2+8x-16=0.
6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数.

综合应用
(1)证明：在正五边形ABCDE中，
BC=CD,∠BCF=∠CDM，
又CF＝DM,
∴△BCF≌△CDM.
(2)解：由(1)知∠FBC=∠MCD，
∴∠BPM=∠FBC+∠BCM
=∠MCD+∠BCM
=∠BCF= ×180°=108°.
7. 一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是( )
A.a4＞a2＞a1
B.a4＞a3＞a2
C.a1＞a2＞a3
D.a2＞a3＞a4
拓展延伸
B
1. 矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内
接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。
练习
【教材P106练习 第1、2题】
解:矩形不是正多边形，菱形不是正多边形，正方形是正多边形.
解:各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形.
3. 分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边
心距和面积.
【教材P106练习 第3题】
解:半径为R的圆内接正三角形的边长为 R，边心距为
R，面积为 R2.
半径为R的圆内接正方形的边长为 R，边心距为 R，面积为2R2.
(1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆;
(2)用量角器画一个等于 =72°的圆心角,得到此角所对的弧;
(3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点;
(4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形;
(5)连接正五边形的各条对角线得到五角星.如图所示:
4. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的
各条对角线，画出一个五角星.
【教材P108练习 第1题】
.
O
5. 用等分圆周的方法画出下列图案:
【教材P108练习 第2题】
课堂小结
1.正多边形的各边相等
2.正多边形的各角相等
二、正多边形的计算：
一、正多边形的性质：
三、画正多边形的方法
1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.