【高效备课】人教版九(上) 24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 课件

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24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
R·九年级上册
新课导入
情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度).
问题：怎样求一段弧的长度呢？
(1)能推导弧长和扇形面积的计算公式.
(2)知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算.
（1）半径为R的圆,周长是多少？
C=2πR
（3）1°圆心角所对弧长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少
度的圆心角所对的弧？
1°
O
360°
推进新课
弧长公式
知识点1
140°圆心角所对的弧长是多少？
n°
A
B
O
若设⊙O半径为R，n°的圆心
角所对的弧长为 .
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
L （mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
因此所要求的展直长度
l （mm）.
解：由弧长公式，可得AB的长
扇形的定义和面积公式
知识点2
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
圆心角为1°的扇形所对的面积是多少？
如 何 求 扇 形 的 面 积 ？
1°
想一想：圆的面积可以看作多少度的圆周角所对的扇形面积？
扇形面积公式
在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为
扇形的面积与扇形所在的圆的半径和弧所对的圆心角的度数有关系.
S扇形＝ S圆
360
n
＝ πR2
360
n
弧长公式与扇形面积公式的区别
弧长与圆的周长有关,扇形的面积与圆的面积有关.因此,计算弧长时是 ；而计算扇形的面积时是 .
n°
l
O
比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗
探索弧长与扇形面积的关系
S
R
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m）.
O
B
A
C
D
弓形的面积=S扇-S△OAB
提示:
例2
解：如图，连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交AB于点C，连接AC.
⌒
∵OC=0.6m,DC=0.3m,
∴OD=OC-DC=0.3m.
∴OD=DC.
又AD⊥DC,
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
有水部分的面积S=S扇形-S△OAB=
O
B
A
C
D
随堂演练
基础巩固
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6,则扇形的弧长是 .
2.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是 cm.
3.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是 .
4π
6
150°
4.如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度. (π取3.142)
解：
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
5.草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积.
解：
答：它能喷灌的草坪的面积为 πm2.
综合应用
6.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，求贴纸部分的面积.
解：
解：
方法一：
方法二：
拓展延伸
7.正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.
1. 矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
2. 如图，有一段弯道是圆弧形的，道长
是12m,弧所对的圆心角是81°.这段圆
弧所在圆的半径R是多少米(结果保留
小数点后一位)？
练习
【教材P113练习 第1、2题】
解：不一定是等弧。
解：根据弧长公式l = 可得12= ，R≈8.5(m)。
180
nπR
180
81πR
3. 如图，正三角形ABC的边长为a,D，E，F分别为BC,CA,AB
的中点，以A,B, C三点为圆心， 长为半径作圆.求图中阴
影部分的面积..
【教材P113练习 第3题】
A
B
F
E
C
D
解：连接AD，S阴影= S△ABC – S扇形AEF =
×a× a –3× = a 2.
360
60π×( a)2
8
2 -π
课堂小结
n°
l
O
弧长公式：
扇形面积公式：
R
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.