【高效备课】人教版九(上) 第21章 一元二次方程 数学活动 课件

(共25张PPT)
数学活动
R·九年级上册
新课导入
导入课题
点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以组成一个点阵.
今天我们就来看看点阵中隐藏了什么有趣的数学规律.
(1)通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律.
(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
(4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.
活动目标
推进新课
图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…….
观察图形，完成下面各题.
·
··
···
····
·····
······
·······
……
图 1
活 动 1
三角形点阵
①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整
前n行数 1 2 3 4 5 … 10 … n
点数和
1
3
6
10
15
…
…
55
②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n.
由①知.前n行的点数和为 ，解得n1=24，n2=-25(舍去)，即行数n为24.
③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由.
前n行的点数和 ,解得n1= , n2= ,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600.
④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？
前n行的点数和为
⑤在④中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明理由.
依题意，n(n+1)=600.
解得n1=24，n2=-25(舍去).
活 动 2
正六边形点阵
如图2 是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，……，依此类推.
图 2
·····
······
·······
········
·········
········
·······
······
·····
①填写下表：
层 数 1 2 3 4 …
该层对应的点数
所有层的总点数
1
6
12
18
…
1
7
19
37
…
②第n层所对应的点数为 （n≥2）.
③写出n层正六边形点阵的总点数（n≥2）；
6(n-1)
1+6×1+6×2+…+6(n-1)
=1+6·
=1+3n(n-1)
④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？
1+3n(n-1)=331
化简方程为：n2-n-110=0
分解因式为：(n-11)(n+10)=0
解得：n1=11，n2=-10(舍去)，
所以共有11层.
⑤ 点阵设计大赛：
设计时间：5分钟.
设计要求：
a .每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.
b.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.
随堂演练
1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.
（1）下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；
·
··
···
····
·
··
···
·
··
·
①1=1；
②1+2= ；
③1+2+3= ；
④1+2+3+4= .
3
6
10
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式： 。
（3）2015是“三角形数”吗？为什么？
1+2+3+…+9=45
解：不是.“三角形数”都可以写成 的形式，
令2015= ，
解得n1= ，n2= .
因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形”数.
（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式.
··
··
·
···
···
···
····
····
····
····
·····
·····
·····
·····
·····
①1=12； ②1+3=22；
③3+6=32； ④6+10=42；
⑤ .
10+15=52
（5）通过猜想，写出（4）中与第n个点阵相对应的等式： .
（6）判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
解：是. ∵152=225.
∴225是“正方形数”.
由(5)得， ，
∴225可以看作105，120这两个相邻的“三角形数”之和.
2.如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：
(1)在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n的代数式表示)；
(n+3)
(n+2)
(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
解：(2)第n个图共有(n2+5n+6)块瓷砖.
由n2+5n+6=506.
解得n1=20,n2=-25(舍去).∴n=20.
(3) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖
白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,
黑瓷砖块数是506-420=86.
86×4+420×3=1604(元).
共需1604元钱购买瓷砖.
(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形 请通过计算说明为什么
在第n个图中白瓷砖块数是n(n+1).
则有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)
化简得n2-3n-6=0
解得n1= , n2= .
∵n为正整数，不合题意.
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
课堂小结
三角形点阵前n行数点数和
正六边形第n层所对应的点数（n≥2）
6(n-1)
n层正六边形点阵的总点数（n≥2）；
1+3n(n-1)
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。