【高效备课】人教版九(上) 第22章 二次函数 数学活动 课件

(共25张PPT)
数学活动
R·九年级上册
新课导入
导入课题
问题: 观察下列两个两位数的积，猜一猜其中哪个积最大.
91×99,92×98,…,98×92,99×91.
这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值.
(1)探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律.
(2)建立二次函数模型证明猜想是否正确.
(3)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.
学习目标
推进新课
活动1
关于两数乘积的猜想与证明
猜想：下列式子中，哪个积最大？
901×999，
902×998，
…，
998×902,
999×901.
猜一猜
先研究稍小一点的数，算一算，看你的猜想是否正确：
91×99= ,
92×98= ,
93×97= ,
94×96= ,
95×95= .
9009
9016
9021
9024
9025
猜想：下列式子中，哪个乘积最大？
901×999，
902×998，
…，
998×902,
999×901.
猜测:950×950最大！
这个猜测对不对呢？
证明：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000-x), 设两数积为y.
(1)求y与x的函数关系式；
y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000
(2)求y的最大值；
y=-(x-50)2+902500
∴y的最大值为902500，此时x=50.
【对应训练】
观察：
5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
…
请猜测，第n个算式（n为正整数）的结果y应表示为什么解析式 此解析式是否为二次函数？
解：y=(n-1)×n×100+25
=100n2-100n+25.
此解析式是二次函数.
活动2
曲线l的形状
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2).在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来.
3
y
O
-3
3
x
A(0,2)
M
l1
l2
P
（1）观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线？
（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是（x,y）,你能由PA与PM的关系得到x、y满足的关系式吗？
3
y
O
x
A(0,2)
M
l1
l2
P
（提示：根据勾股定理用含x,y的式子表示线段PA的长.）
解：对于曲线L上任意一点P，连接PM、PA，
则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,
设点P的坐标为(x,y),
则PA2=x2+(y-2)2，PM=|y|，
由PA与PM的关系列等式x2+(y-2)2=y2，
化简得y=x2/4+1.
由此，点P在函数y=x2/4+1的图象上.
即曲线L的形状是抛物线.
3
y
O
x
A(0,2)
M
l1
l2
P
你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？
随堂演练
基础巩固
1.如图是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在坐标系中画出y关于x的函数图象;
解：(1)如图.
x
y
O
10
20
30
40
50
2
6
10
14
(2)当水面宽度为36米时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过 为什么
解：设该函数解析式为y=ax2，
∵抛物线过点(20，2)，
∴2=a×202，解得a=0.005，
∴y=0.005x2.
当x=18时，y=1.62<1.8.
∴该货船在这个河段不能安全通过.
2.根据以下10个乘积，回答问题：
1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1．
(1)猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？
(2)运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.
解：(1)200×200的积最大.
(2)设第一个乘数为x，第二个乘数为(400-x)，乘积为y.
∴y=x(400-x)=-x2+400x.
当x=200时，y有最大值.猜想正确.
综合应用
3.九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨论后，同学们做了以下三种试验:



(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长
度和)为6m,当AB为1m,长方形框架ABCD的面积是 m2;
请根据以上图案回答下列问题:
(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为6m，设AB为xm,长方形框架ABCD的面积为S= (用含x的代数式表示)；当AB= m时, 长方形框架ABCD的面积S最大; 在图案③中，
如果铝合金材料总长度为l m, 设AB为x m，当AB= m时，长方形框架ABCD的面积S最大.
x(2-x)
1
(3)经过这三种情形的试验，他们发现对于图案④这样的情形也存在着一定的规律．
探究: 如图案④，如果铝合金材料总长度为l m共有n条竖档时，那么当竖档AB为多少时,长方形框架ABCD的面积最大.
解：设AB=x m.
拓展延伸
4.如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的个数记为S．解答下列问题：
(1)填表：
n 1 2 3 4 5 …
S
1
3
6
10
15
…
(2)当n＝6时，S= ;
21
n＝6
1
3
6
10
15
21
(3)根据表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
解：(3)如图
x
y
O
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
12
14
12
解：它们在同一函数图象上.
设函数解析式为y=an2+bn+c,
图象经过点(1,1),(2,3),(3,6).
则
(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗 如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式．
x
y
O
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
12
14
12
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.