2023-2024学年北师大版数学必修第一册同步练习2.1 必要条件与充分条件(word版含答案）

2.1 必要条件与充分条件
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．设集合M＝，N＝，则“a＝1”是“N M”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3. “＝”是“x＝y”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．下列条件中，是“x2<4”的必要不充分条件的是(　　)
A．1C．05．若a∈R，则“a<1”是“>1”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(多选)给出四个条件：
①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<<.
其中能成为x>y的充分条件的有(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
7．在下列四个结论中，正确的是( )．(填上你认为正确的所有序号)
①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件；
②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0；
③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件；
④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
二、填空题
8．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件．
9．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
10．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
11．下列不等式：①x<1；②0－1.其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为________．
三、解答题
12．是否存在实数m，使2x＋m<0是x2>1的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
13．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
14．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？
2.1 必要条件与充分条件
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
A　[若x>0，则x≠0.
若x≠0，则x＞0或x＜0，
所以x>0是x≠0的充分不必要条件，故选A.]
2．设集合M＝，N＝，则“a＝1”是“N M”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
A　[当a＝1时，N＝{1} M，满足充分性；而当N＝{a2} M时，可得a＝1或a＝－1或a＝或a＝－，不满足必要性，故选A.]
3. “＝”是“x＝y”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
B　[若x＝－y＝1，则＝.但x≠y
若x＝y，则＝，
所以＝是x＝y的必要不充分条件，故选B.]
4．下列条件中，是“x2<4”的必要不充分条件的是(　　)
A．1C．0D　[由x2<4，得－25．若a∈R，则“a<1”是“>1”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[由>1，得01”的必要不充分条件，故选B.]
6．(多选)给出四个条件：
①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<<.
其中能成为x>y的充分条件的有(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
AD　[①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2 x>y；
②当t>0时，x>y，当t<0时，xytx>y；
③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2x>y；
④由0<< x>y.故选AD.]
7．在下列四个结论中，正确的是( )．(填上你认为正确的所有序号)
①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件；
②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0；
③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件；
④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
①③　[对于①，当x<0时，x＋＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故①对；
对于②，当ab＝0时，＝＋，故②错；
对于④，当x＝－1时，x2＝1，故④错；
只有①③正确．]
二、填空题
8．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件．
[答案]　充分不必要
9．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
a≤1　[由题意得， ，故a≤1.]
10．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
a<5　[由题意得，A是B的真子集，故a<5.]
11．下列不等式：①x<1；②0－1.其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为________．
②③　①⑤　[由x2<1，得－1－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件．]
三、解答题
12．是否存在实数m，使2x＋m<0是x2>1的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解]　由x2>1，得x>1或x<－1，
要使2x＋m<0是x2>1的充分条件，
只需 ，
即只需－≤－1，解得m≥2
所以，存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2>1的充分条件．
13．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
[证明]　(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两个实根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1x2＝1>0，
所以x1、x2同号；
又因为x1＋x2＝－m≤－2，
所以x1、x2同为负根．
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1，
所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝－＝－≥0，
所以m≥2，
综合(1)，(2)知命题得证．
14．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？
[证明]　∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，
则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.
设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，
则，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.
∴|a|≥>.
∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；
但a＝2时，x＋x＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．
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