2023-2024学年北师大版数学必修第一册同步练习 2.2全称量词与存在量词（解析版答案）

2.2全称量词与存在量词
一、选择题
1．下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数
2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　)
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
3. 已知命题p： n∈N,2n＞1000，则p的否定为(　　)
A． n∈N,2n≤1000 B． n∈N,2n＞1000
C． n∈N,2n≤1000 D． n∈N,2n＜1000
4．设x∈Z，A是奇数集，B是偶数集，则“ x∈A,2x∈B”的否定是(　　)
A． x∈A,2x B B． x A,2x B
C． x A,2x∈B D． x∈A,2x B
5．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，x3≤0 B． x∈R，3<0
C． x∈R，x2≥0 D． x∈R，2>0
6．(多选)下列命题错误的是(　　)
A． x∈{－1,1},2x＋1>0
B． x∈Q，x2＝3
C． x∈R，x2－1>0
D． x∈N，|x|≤0
7．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
二、填空题
8．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．
9．“对任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．
10．对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)
11．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)
12．若“ x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
13．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解．
(2)存在实数x，使＝.
14．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)正方形都是菱形；
(2) x∈R，使4x－3>x；
(3) x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
2.2全称量词与存在量词
一、选择题
1．下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数
[答案] 　D
2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　)
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
A　[本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．]
3. 已知命题p： n∈N,2n＞1000，则p的否定为(　　)
A． n∈N,2n≤1000 B． n∈N,2n＞1000
C． n∈N,2n≤1000 D． n∈N,2n＜1000
A　[存在量词命题的否定是全称量词命题，“＞”的否定是“≤”，故选A.]
4．设x∈Z，A是奇数集，B是偶数集，则“ x∈A,2x∈B”的否定是(　　)
A． x∈A,2x B B． x A,2x B
C． x A,2x∈B D． x∈A,2x B
[答案]　D
5．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，x3≤0 B． x∈R，3<0
C． x∈R，x2≥0 D． x∈R，2>0
D　[当x＝－1时，2＝0，故选D.]
6．(多选)下列命题错误的是(　　)
A． x∈{－1,1},2x＋1>0
B． x∈Q，x2＝3
C． x∈R，x2－1>0
D． x∈N，|x|≤0
ABC　[对于A，x＝－1时，不合题意；
对于B，x＝±，B错误；
对于C，比如x＝0时，－1<0，错误；D选项正确．]
7．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
B　[∵p为假命题，
∴p的否定为真命题，即： x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，
∴1－a≤0，则a≥1.
∴a的取值范围是a≥1，故选B.]
二、填空题
8．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．
[答案]　 x∈R，x2＋1≠0
9．“对任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．
[答案]　存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0
10．对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)
②　[只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．]
11．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)
是　[∵命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”．
而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，
则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．
∴两位同学题中m范围是一致的．]
12．若“ x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
m≤　[由已知，得Δ＝32－4m≥0，解得，m≤，
所以，实数m的取值范围是m≤.]
三、解答题
13．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解．
(2)存在实数x，使＝.
[解]　 (1)该命题是全称量词命题．
当a＝0，b＝0时方程有无数解，故该命题为假命题．
(2) 该命题是存在量词命题．
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
∴≤<.
故该命题是假命题．
14．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)正方形都是菱形；
(2) x∈R，使4x－3>x；
(3) x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
[解]　(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定： x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“ x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定： x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“ x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
[解]　(1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，所以B A，B≠ ，
所以解得2≤m≤3.
(2)由于命题q为真命题，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以m＋1≤2m－1，所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
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