2023-2024学年北师大版数学必修第一册同步练习（解析版答案）4.2一元二次不等式及其解法

4.2一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A． B．
C． D．R
2．不等式x(2－x)＞3的解集是(　　)
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3或x＞1} D．
3．若集合A＝，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B＝(　　)
A. B．
C. D．
4．若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝，则 U(A∩B)＝(　　)
A. B．
C. D．
5．若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则一元二次不等式cx2＋bx＋a>0的解集是(　　)
A. B．
C. D．
6．若0A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2，或x≥3a} D．{x|x≤3a，或x≥3a2}
7．不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)
A. B．(－∞，0)∪
C. D．
二、填空题
8．{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝________.
9．当a<0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)>0的解集是__________．
10．不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0.其中正确结论的序号是________．
11．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
12．对于实数x，当且仅当n≤x三、解答题
13．解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；
(4)－x2＋3x－5>0.
14．解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0.
15．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
4.2一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A． B．
C． D．R
B　[∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，∴9x2＋6x＋1≤0的解集为.]
2．不等式x(2－x)＞3的解集是(　　)
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3或x＞1} D．
D　[将不等式化为x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为 .]
3．若集合A＝，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B＝(　　)
A. B．
C. D．
B　[由题意可得A＝，B＝{1,2,3,4,5}，所以A∩B＝.]
4．若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝，则 U(A∩B)＝(　　)
A. B．
C. D．
D　[由题意可得A＝{x|－4所以A∩B＝{x|－2所以 U(A∩B)＝]
5．若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则一元二次不等式cx2＋bx＋a>0的解集是(　　)
A. B．
C. D．
C　[由题意得，a<0，－＝1，＝－2，所以cx2＋bx＋a>0可化为x2＋x＋1<0，即－2x2－x＋1<0，解得x＜－1或x＞.]
6．若0A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2，或x≥3a} D．{x|x≤3a，或x≥3a2}
A　[因为07．不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)
A. B．(－∞，0)∪
C. D．
B　[原不等式可变形为，解得
0所以原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，)，故选B.]
二、填空题
8．{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝________.
{－1,0}　[{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝{x|－29．当a<0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)>0的解集是__________．
　[∵a<0，∴5a<－a，
由(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a.]
10．不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0.其中正确结论的序号是________．
③⑤　[由于ax2－bx＋c＞0的解集为，
可知a＜0，且－＋2＝，－×2＝，∴b＜0，c＞0.
又x＝－1时不等式不成立，∴a＋b＋c＞0不成立．
x＝1时，不等式成立，∴a－b＋c＞0成立．选③⑤.]
11．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
　[原不等式等价于x(x－1)－(a－2)·(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，
因为x2－x－1＝2－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
所以a的最大值为.]
12．对于实数x，当且仅当n≤x{x|2≤x<8}　[由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x三、解答题
13．解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；
(4)－x2＋3x－5>0.
[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实数根x1＝－3，x2＝－.
又函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实数根，
又函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根，又函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
14．解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0.
[解]　不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1)．
(1)当Δ>0，即m>或m<时，
由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的根是x＝m±，
所以不等式的解集是{x|xm＋}；
(2)当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
(3)当Δ<0，即15．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解]　∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立．
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则
解得0综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，
得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，
即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|aPAGE
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