2023-2024学年江苏省南通市百校联考高三(上)开学数学试卷(含解析)

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名称 2023-2024学年江苏省南通市百校联考高三(上)开学数学试卷(含解析)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2023-08-30 16:40:16

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文档简介

2023-2024学年江苏省南通市百校联考高三(上)开学数学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 若集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知某扇形的面积为,则该扇形的周长最小值为( )
A. B. C. D.
3. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知,,则( )
A. B. C. D.
6. 已知实系数一元二次方程,下列结论中正确的是( )
是这个方程有实根的充分条件.
是这个方程有实根的必要条件.
是这个方程有实根的充要条件.
是这个方程有实根的充分条件.
A. B. 、
C. 、、 D. 、、、
7. 若函数的值域为,则的取值范围是( )
A. B.
C. D. ,
8. 若某线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 无数个 D. 不确定
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9. 多选题下面结论错误的是( )
A. 不等式与成立的条件是相同的
B. 函数的最小值是
C. 函数,的最小值是
D. “且”是“”的充分条件
10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示,其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、,图象在轴上的截距为则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数
11. 已知,则下列说法中正确的有( )
A. 的零点个数为 B. 的极值点个数为
C. 轴为曲线的切线 D. 若则
12. 下列计算或化简结果正确的是( )
A.
B. 若,则
C. 若,则
D. 若为第一象限角,则
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 设,若,则的取值范围是______ .
14. 已知满足,则的值为______.
15. 已知函数,满足对,恒成立的的最小值为,且对任意均有恒成立则下列结论正确的有______ .
函数的图像关于点对称;
函数在区间上单调递减;
函数在上的值域为;
表达式可改写为;
若,为函数的两个零点,则为的整数倍.
16. 已知函数,则的零点为______ ,若,且,则的取值范围是______ .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 本小题分
已知数列为等差数列,且,;设数列的前项和为,且.
求数列的通项公式;
若,为数列的前项和,求.
18. 本小题分
已知函数,记函数的最小正周期为,向量,,且.
Ⅰ求在区间上的最值;
Ⅱ求的值.
19. 本小题分
已知正项数列的前项和为,且数列满足,为数列的前项和.
求数列的通项公式;
求数列的前项和;
若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
20. 本小题分
已知,两地的距离是根据交通法规,两地之间的公路车速应限制在
,油价为元假设汽车以的速度行驶时,耗油率为,司机的人工费为元.
Ⅰ请将总费用表示为车速的函数;
Ⅱ试确定的值,使总费用最小.
21. 本小题分
某种型号轮船每小时的运输成本单位:元由可变部分和固定部分组成其中,可变部分成本与航行速度的立方成正比,且当速度为时,其可变部分成本为每小时元;固定部分成本为每小时元.
Ⅰ设该轮船航行速度为,试将其每小时的运输成本表示为的函数;
Ⅱ当该轮船的航行速度为多少时,其每千米的运输成本单位:元最低?
22. 本小题分
已知函数,.
若,其中是函数的导函数,试讨论的单调性;
证明:当时,.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:集合或,
或,

则.
故选:.
求出集合,,进而求出,由此能求出.
本题考查集合的运算,考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.【答案】
【解析】解:扇形的面积,即,,
则扇形的周长,
当且仅当时,不等式取等,
即该扇形的周长最小值为,
故选:.
由题意可得,该扇形的周长,结合基本不等式进行计算即可.
本题主要考查扇形的面积的计算,弧长公式和基本不等式.比较基础.
3.【答案】
【解析】解:若满足,
若,不一定满足,例取.
“”是“”的必要不充分条件.
故选:.
对中、情况进行分析即可.
本题考查必要充分条件的判定,考查数学抽象及推理能力,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:充分性:若,则,即,
所以,所以,故,充分性不成立;
必要性:若,则,解得,
所以,必要性成立;
故“”是“”的必要不充分条件.
故选:.
由三角恒等变换相关公式,进行变换判断充分性和必要性.
本题考查充分条件,必要条件的定义,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:因为,所以,
因为,所以,
所以,
所以,
所以.
故选:.
利用角的范围及同角三角函数的基本关系求出,再利用诱导公式及二倍角的正切函数即可求解.
本题主要考查二倍角的正切公式,同角三角函数的基本关系以及诱导公式的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:实系数一元二次方程,是这个方程有实根的充要条件,
故选:.
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,属于基础题.
7.【答案】
【解析】解:由题意:函数值域为,则函数的值域要包括,即最小值要小于等于.
显然,函数的对称轴,
则有:
解得:
所以的取值范围是.
故选:.
由题意函数的值域要包括即最小值要小于等于.
本题考查了函数的值域的求法,通过值域来求参数的问题,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:该线性方程组可化为方程,故有无数组解;
故选:.
首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,根据方程解出,即可.
本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义,计算量小,属于较容易的题型.
9.【答案】
【解析】解:不等式成立的条件是,;成立的条件是,,错;
由于,故函数无最小值,错;
由于时无解,故的最小值不为,错;
当且时,,,
由基本不等式可得,当且仅当时等号成立;
而“”的充要条件是“”,
因为,且推不出且,所以D正确.
故答案为:.
在应用基本不等式的时候要注意基本不等式的成立条件.
本题考查基本不等式的应用,属于中档题.
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用三角函数图像求解函数解析式,考查函数的图象与性质,考查函数的周期性,对称性和三角函数的最值,属于基础题.
根据函数的部分图象求出函数的解析式,再根据函数解析式判断四个结论即可得解.
【解答】
解:由图知,的最小正周期,错;
则 由,则,得.
由,得,则,所以,故最大值为,对;
当时,,则单调递增,对;
因为,
则不是偶函数,错.
故选BC.

11.【答案】
【解析】解:由题意,
令,得到,
分别画出和的图像,
如图所示:
由图知:有三个解,
即有三个解,分别为.
所以为增函数,
为减函数,
为增函数,
为减函数.
所以当时,取得极大值为,
当时,取得极小值为,
当时,取得极大值为,
所以函数有两个零点,三个极值点,A错误,B正确.
因为函数的极大值为,所以轴为曲线的切线,故C正确;
因为,
所以若则,D正确.
故选:.
利用导函数研究函数的大致图像判断,利用对称性判断即可.
本题考查了函数的单调性,极值,零点问题,考查导数的应用以及转化思想,是中档题.
12.【答案】
【解析】解:,,故正确;
,,故正确;
,,故不正确;
,为第一象限角,,,
原式,故正确;
故选:.
根据同角三角函数关系式和三角恒等变换,对选项进行逐一计算即可判断.
本题考查了三角函数的恒等变换以及化简求值问题,属于中档题.
13.【答案】
【解析】解:因为,
所以,又因为,所以的取值范围是.
故答案为:.
根据同角同角三角函数的基本关系和正余弦函数图象的性质即可求解.
本题主要考查三角恒等变换,考查运算求解能力,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:满足,
,,
,,
,,
,.

故答案为:.
分别令,,,,由数列的递推式依次推出,,,,由此能求出的值.
本题考查数列的递推公式的灵活运用,解题时分别令,,,,由数列的递推式依次推出,,,,由此进行求解,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:由题意,在中,,恒成立的的最小值为,
得,解得,
最小正周期,
,,
对任意均有恒成立,
函数关于直线对称,

解得,

,,
当时,,不关于点对称,故错误.
在中,函数在上单调递减,
在中,
当即时,函数单调递减,
函数在区间上单调递减,故正确.
在中,,
当时,,此时,故错误.
在中,最小正周期,,
,故正确.
在中,,恒成立的的最小值为,且对任意均有恒成立,
函数关于直线对称,
最小正周期,
不为的整数倍,故错误.
故答案为:.
通过的最小值求得三角函数的最小正周期,求出,根据求出即可得到函数的解析式,即可得到函数关于点的对称,单调递减区间,求导后的值域,根据三角恒等变换后的改写式子,以及两个零点横坐标差的绝对值.
本题综合考查了正弦函数性质的对称性,单调性,周期性的应用,属于中档题.
16.【答案】
【解析】解:令,
当时,,则,不合题意,舍去;
当时,可得,符合题意,
故的零点为;
由,且,
当,时,,
即,不符合题意,
当,时,,
即,不符合题意,
所以,分别属于两个区间,不妨设,,
则,
所以,即,
所以,
令,,
则,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
故,
所以的取值范围为,
故答案为:;.
根据分段函数及函数零点的定义,令可求函数的零点;
由且可知,在的左右两侧,代入计算得出,的关系,将消元之后构造函数,即可求解答其取值范围.
本题主要考查了函数零点的求解,还考查了由已知等式求解变量的范围,常见的处理方式是根据等量关系将双变量问题消元,转化为单变量问题构造函数,利用自变量的取值范围求出结果
17.【答案】解:由,令,则,又,所以,
当时,由,可得,
即,
所以是以为首项,为公比的等比数列,于是.
数列为等差数列,公差,可得,
从而,,,


从而.
【解析】由已知等式可推出的首项和公比,从而可得到通项公式;
写出数列的通项公式及前项的和的公式,可用倍乘相减法求出数列前项的和.
本题主要考查等比数列的通项公式及数列求和,掌握数列及等比数列的性质是解题的关键,属于中档题.
18.【答案】解:Ⅰ根据题意,可得

,可得,,
当时,的最小值是;当时,的最大值是.
Ⅱ的周期,,
由此可得,解之得.

,可得,

【解析】根据辅助角公式化简,可得再由,利用正弦函数的图象与性质加以计算,可得的最小值与最大值;
根据三角函数周期公式得,利用向量的数量积公式与正弦的诱导公式算出,解得,从而得出再利用三角函数的诱导公式化简,可得原式.
本题将一个三角函数式化简,求函数在闭区间上的最值,并且在已知向量数量积的情况下,求三角函数分式的值.着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识,属于中档题.
19.【答案】解:正项数列的前项和为,且
当时,.
当时,由于,所以,
两式相减得:,
整理得常数,
所以数列的是以为首项,为公差的等差数列.
所以.
由题意和得,数列满足.
所以.
当为偶数时,要使不等式恒成立,
即需不等式恒成立,
由于,当时等号成立,
此时.
当为奇数时,要使不等式恒成立,
即需不等式恒成立.
由于是随的增大而增大,
所以当时,取得最小值.
此时需满足.
由得:.
【解析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和.
利用函数的恒成立问题的应用和关系式的变换的应用求出参数的取值范围.
本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,参数的范围的应用,函数的恒成立问题的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
20.【答案】解:Ⅰ汽车的运行时间为 .
汽车的油耗费用为元.
汽车的总费用为元,.
Ⅱ因为,
当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.
故当时,总费用最小.
【解析】本题主要考查了导数与单调性及最值关系在实际问题中的应用,属于基础题.
Ⅰ由已知先表示汽车运行时间,然后可求汽车的总费用即可求解;
Ⅱ先对函数求导,结合导数与单调性及最值关系可求.
21.【答案】解:设轮船每小时的可变部分成本为单位:元,
由题意可知,
当速度为时,可变部分成本为每小时元,




每千米的运输成本,
则,
令得,,
所以当时,,随的增大而减小,当时,,随的增大而增大,
所以当时,取得最小值,
即当该轮船的航行速度为时,其每千米的运输成本单位:元最低.
【解析】由题意可得轮船每小时的可变部分成本为,所以;
每千米的运输成本,利用导数可得当时,,随的增大而减小,当时,,随的增大而增大,所以当时,取得最小值,
本题主要考查了函数的实际应用,考查了利用导数研究函数的单调性和最值,属于中档题.
22.【答案】解:的定义域为,
则,
当时,恒成立,
此时在上单调递增;
当时,,即,可得,
所以,
由,即,可得,
所以,
所以当时在单调递增,在单调递减,
综上所述:当时,在上单调递增;
当时在单调递增,在单调递减,
证明:当时,,
设,
则,
令,
则,
所以在上单调递增,且,
所以时,,即,
此时单调递减,
当时,,即,
此时单调递增,
所以在上单调递减,在单调递增,
所以,
所以对于恒成立,
所以.
【解析】先计算可得表达式,再计算,分别讨论和,解不等式和即可求解;
当时,,设,利用导数研究的单调性和最小值,证明即可.
本题考查利用导数研究函数的单调性,考查不等式的证明,考查分类讨论思想及运算求解能力,属于中档题.
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