【精品解析】人教新课标A版 必修一 2.3 幂函数

人教新课标A版 必修一 2.3 幂函数
一、单选题
1．（2020高一下·泸县月考）已知幂函数 的图象过点 ，若 ,则实数 的值为（　　）
A．9 B．12 C．27 D．81
【答案】D
【知识点】函数的值；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
，
因为 ,所以
解得 ，
∴实数 的值为81,
故选D．
【分析】由幂函数 的图象过点 ，求得函数解析式，由 ，利用解析式列方程求解即可.
2．（2020·江门模拟）若函数f(x)是幂函数，且满足 ，则 的值为（　　）
A．－3 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】设 ，则由 ，得 .
所以 ，故 .
故答案为：D.
【分析】设出幂函数的一般形式，从而把 转化为关于幂指数的方程，解出幂指数后可求 .
3．（2020高二下·鹤岗期末）已知幂函数 在 上为增函数，则 值为（　　）
A．4 B．3 C．-1 D．-1或4
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵ ，
，解得 或-1.
当 时， 在区间 上是减函数，不合题意；
当 时， ，满足题意，
所以 .
故答案为：A.
【分析】由已知得 ，可求得 或-1.当 时， 在区间 上是减函数，不合题意；当 时， ，满足题意，故得选项.
4．（2020高一上·长春期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设幂函数的表达式为 ，则 ，解得 ，
所以 ，则 .
故答案为：B.
【分析】利用幂函数图象过点 可以求出函数解析式，然后求出 即可。
5．（2019高一上·成都月考）已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 或 ，
当 时， ，图象关于 轴对称，不满足题意；
当 时， ，图象关于原点对称，满足题意，
不等式 化为，
，
因为函数 在 上递减，
所以 ，
解这个不等式，得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故答案为：B .
【分析】根据幂函数的图象与性质，求出 的值，根据 的定义域与单调性，再把不等式 化为等价的不等式组，求出它的解集即可.
6．（2019高一上·榆林期中）下列函数为幂函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】由幂函数的定义 可知，
故答案为：A。
【分析】由已知利用幂函数的定义分别判断各选项，即可得结果.
7．（2019高一上·浙江期中）幂函数f（x）=k· 的图象过点 ，则k+ =（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵函数f（x）=k·xα是幂函数，
∴k=1，
∵幂函数f（x）=xα的图象过点 ，
∴（ ）α= ，得 = ，
则k+ =1+ = ．
故答案为：C．
【分析】由函数f（x）=k·xα是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数k=1，再将点 的坐标代入可得 值，从而得到幂函数的解析式．
8．（2020高一下·杭州月考）已知幂函数 在第一象限内的图象如图所示．若 则与曲线 ， ， ， 对应的n的值依次为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线 ， ， ， 对应的 的值依次为：
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.
9．（2019高一上·会宁期中）下列命题中：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小。其中正确的是（　　）
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】当 时，不过(0,0)点，①错误；
当 时， ，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对
当 时， 中 ，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；
在( ∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是增函数，④错。
幂函数 ，当 时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小。⑤对
故答案为：D.
【分析】利用幂函数的图象特征结合幂函数的单调性，从而找出正确命题的序号。
10．（2019高一上·天津期中）如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　）
A．nm>0 D．m>n>0
【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n故答案为：A.
【分析】利用曲线C1与和曲线C2的图象，结合图象的单调性，从而求出m，n的大小关系。
二、填空题
11．（2019高一上·上海月考）已知 ，若幂函数 为偶函数，且在 上递减，则 　 　.
【答案】-2
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解： ，幂函数 为偶函数，且在 上递减，
所以 为偶数，且
故答案为：
【分析】根据幂函数的性质即可判断求解.
12．（2019高一上·嘉兴期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则函数 　 　，若 ，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】；
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设幂函数 ，由 ，得到 ，于是 ；
若 ，则 ，所以 ，解得 ．
故答案为： ；
【分析】先设 ，根据函数所过定点，得到 ，即可求出解析式；将原不等式化为 ，得到 ，求解，即可得出结果.
13．（2019高一上·郫县月考）已知幂函数 为偶函数，且满足 ，则 　 　.
【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 为幂函数 ，解得：
又 ，解得：
或
当 时， ，此时 为奇函数，不合题意
当 时， ，满足题意
故答案为：2
【分析】由幂函数定义可知 ，求得 ；结合 和幂函数性质可知 在 上单调递增，则 ，根据 求得 或 ，代入可验证出 时 为偶函数，从而确定 ，进而得到结果.
14．（2019高一上·长沙月考）已知幂函数 的图象过点 ，函数 ，则 　 　.
【答案】2
【知识点】函数的值；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵由幂函数 的图象过点 ，∴ ，解得 ，∴f（x）＝ ，
∵函数 ，∴g（﹣1）＝2﹣1+1+3＝4，g（g（﹣1））＝g（4）＝f（4）＝ ＝2．
故答案为：2．
【分析】由幂函数 的图象过点 ，求出f（x）＝ ，从而g（﹣1）＝2﹣1+1+3＝4，进而g（g（﹣1））＝g（4）＝f（4），由此能求出结果．
三、解答题
15．（2019高一上·唐山期中）已知幂函数 的图象经过点 .
（1）求 解析式
（2）根据单调性定义，证明 在区间 上单调递增.
【答案】（1）解：由题意可得,
设 ,
因为 的图象过点 ，
所以 ,
解得 .
故答案为:
（2）证明：由 知 ,
任取 ，
所以
，
因为 ，
所以 ，
所以 ,
即 .
所以 在区间 上单调递增
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】 由题意可得,设 ,把点 代入解析式，求出 即可. 由 知 ,根据单调性的定义,任取 ,作差变形得到 ，定号下结论即可
16．（2019高一上·西安月考）已知幂函数 为偶函数,且在 上是增函数．
（1）求 的解析式；
（2） 在区间 上为增函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： ,在 上是增函数
根据幂函数性质可知:
，
.
又 , 或 ,而 为偶函数
（2）解： 在 上为增函数，
由 和 复合而成，
当 时, 减函数,
在 为增函数,复合函数 为减函数,故不满足题意
当 时.
，解得: .
实数 的取值范围: .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；复合函数的单调性；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）因为 在 增,根据幂函数性质可知 ,解得: ,结合 为偶函数且 ,即可求得 ;（2）因为 ,代入 ,可得 . 由 和 复合而成,根据复合函数单调性同增异减,对 进行讨论,即可求得实数 的取值范围.
1 / 1人教新课标A版 必修一 2.3 幂函数
一、单选题
1．（2020高一下·泸县月考）已知幂函数 的图象过点 ，若 ,则实数 的值为（　　）
A．9 B．12 C．27 D．81
2．（2020·江门模拟）若函数f(x)是幂函数，且满足 ，则 的值为（　　）
A．－3 B． C．3 D．
3．（2020高二下·鹤岗期末）已知幂函数 在 上为增函数，则 值为（　　）
A．4 B．3 C．-1 D．-1或4
4．（2020高一上·长春期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019高一上·成都月考）已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2019高一上·榆林期中）下列函数为幂函数的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高一上·浙江期中）幂函数f（x）=k· 的图象过点 ，则k+ =（　　）
A． B．1 C． D．2
8．（2020高一下·杭州月考）已知幂函数 在第一象限内的图象如图所示．若 则与曲线 ， ， ， 对应的n的值依次为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2019高一上·会宁期中）下列命题中：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小。其中正确的是（　　）
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
10．（2019高一上·天津期中）如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　）
A．nm>0 D．m>n>0
二、填空题
11．（2019高一上·上海月考）已知 ，若幂函数 为偶函数，且在 上递减，则 　 　.
12．（2019高一上·嘉兴期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则函数 　 　，若 ，则实数 的取值范围是　 　．
13．（2019高一上·郫县月考）已知幂函数 为偶函数，且满足 ，则 　 　.
14．（2019高一上·长沙月考）已知幂函数 的图象过点 ，函数 ，则 　 　.
三、解答题
15．（2019高一上·唐山期中）已知幂函数 的图象经过点 .
（1）求 解析式
（2）根据单调性定义，证明 在区间 上单调递增.
16．（2019高一上·西安月考）已知幂函数 为偶函数,且在 上是增函数．
（1）求 的解析式；
（2） 在区间 上为增函数，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的值；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
，
因为 ,所以
解得 ，
∴实数 的值为81,
故选D．
【分析】由幂函数 的图象过点 ，求得函数解析式，由 ，利用解析式列方程求解即可.
2．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】设 ，则由 ，得 .
所以 ，故 .
故答案为：D.
【分析】设出幂函数的一般形式，从而把 转化为关于幂指数的方程，解出幂指数后可求 .
3．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵ ，
，解得 或-1.
当 时， 在区间 上是减函数，不合题意；
当 时， ，满足题意，
所以 .
故答案为：A.
【分析】由已知得 ，可求得 或-1.当 时， 在区间 上是减函数，不合题意；当 时， ，满足题意，故得选项.
4．【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设幂函数的表达式为 ，则 ，解得 ，
所以 ，则 .
故答案为：B.
【分析】利用幂函数图象过点 可以求出函数解析式，然后求出 即可。
5．【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 或 ，
当 时， ，图象关于 轴对称，不满足题意；
当 时， ，图象关于原点对称，满足题意，
不等式 化为，
，
因为函数 在 上递减，
所以 ，
解这个不等式，得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故答案为：B .
【分析】根据幂函数的图象与性质，求出 的值，根据 的定义域与单调性，再把不等式 化为等价的不等式组，求出它的解集即可.
6．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】由幂函数的定义 可知，
故答案为：A。
【分析】由已知利用幂函数的定义分别判断各选项，即可得结果.
7．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵函数f（x）=k·xα是幂函数，
∴k=1，
∵幂函数f（x）=xα的图象过点 ，
∴（ ）α= ，得 = ，
则k+ =1+ = ．
故答案为：C．
【分析】由函数f（x）=k·xα是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数k=1，再将点 的坐标代入可得 值，从而得到幂函数的解析式．
8．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线 ， ， ， 对应的 的值依次为：
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.
9．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】当 时，不过(0,0)点，①错误；
当 时， ，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对
当 时， 中 ，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；
在( ∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是增函数，④错。
幂函数 ，当 时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小。⑤对
故答案为：D.
【分析】利用幂函数的图象特征结合幂函数的单调性，从而找出正确命题的序号。
10．【答案】A
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n故答案为：A.
【分析】利用曲线C1与和曲线C2的图象，结合图象的单调性，从而求出m，n的大小关系。
11．【答案】-2
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解： ，幂函数 为偶函数，且在 上递减，
所以 为偶数，且
故答案为：
【分析】根据幂函数的性质即可判断求解.
12．【答案】；
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设幂函数 ，由 ，得到 ，于是 ；
若 ，则 ，所以 ，解得 ．
故答案为： ；
【分析】先设 ，根据函数所过定点，得到 ，即可求出解析式；将原不等式化为 ，得到 ，求解，即可得出结果.
13．【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 为幂函数 ，解得：
又 ，解得：
或
当 时， ，此时 为奇函数，不合题意
当 时， ，满足题意
故答案为：2
【分析】由幂函数定义可知 ，求得 ；结合 和幂函数性质可知 在 上单调递增，则 ，根据 求得 或 ，代入可验证出 时 为偶函数，从而确定 ，进而得到结果.
14．【答案】2
【知识点】函数的值；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】∵由幂函数 的图象过点 ，∴ ，解得 ，∴f（x）＝ ，
∵函数 ，∴g（﹣1）＝2﹣1+1+3＝4，g（g（﹣1））＝g（4）＝f（4）＝ ＝2．
故答案为：2．
【分析】由幂函数 的图象过点 ，求出f（x）＝ ，从而g（﹣1）＝2﹣1+1+3＝4，进而g（g（﹣1））＝g（4）＝f（4），由此能求出结果．
15．【答案】（1）解：由题意可得,
设 ,
因为 的图象过点 ，
所以 ,
解得 .
故答案为:
（2）证明：由 知 ,
任取 ，
所以
，
因为 ，
所以 ，
所以 ,
即 .
所以 在区间 上单调递增
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】 由题意可得,设 ,把点 代入解析式，求出 即可. 由 知 ,根据单调性的定义,任取 ,作差变形得到 ，定号下结论即可
16．【答案】（1）解： ,在 上是增函数
根据幂函数性质可知:
，
.
又 , 或 ,而 为偶函数
（2）解： 在 上为增函数，
由 和 复合而成，
当 时, 减函数,
在 为增函数,复合函数 为减函数,故不满足题意
当 时.
，解得: .
实数 的取值范围: .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；复合函数的单调性；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【分析】（1）因为 在 增,根据幂函数性质可知 ,解得: ,结合 为偶函数且 ,即可求得 ;（2）因为 ,代入 ,可得 . 由 和 复合而成,根据复合函数单调性同增异减,对 进行讨论,即可求得实数 的取值范围.
1 / 1