北师大版六年级上册数学 第一单元圆（知识点梳理+能力百分练）二（学案）

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北师大版六年级上册第一单元圆（知识点梳理+能力百分练）二
知识点梳理
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。
2、圆中心的一点叫圆心，一般用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，一般用字母r表示。通过圆心且两端都在圆上的线段叫直径，一般用字母d表示。用圆规画圆时，两脚之间的距离是圆的半径。
3、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
4、在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等，且直径是半径的2倍。
5、在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
6、把圆对折，再对折(对折两次)就能找到圆心。因此，圆是轴对称图形，直径所在的直线就是圆的对称轴，圆有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴。
7、常见的轴对称图形(和它们对称轴的条数)：等腰三角形(1条)、等边三角形(3条)、等腰梯形(1条)、长方形(2条)、正方形(4条)、圆(无数条)、半圆(1条)。
8、圆的周长：围成圆的曲线的长，一般用字母C表示。圆的周长和它的直径的比值叫作圆周率，用字母π表示(π通常取3.14)。圆的周长计算公式：C=2πr或C= πd。
9、半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于：半圆有直径，而圆周长的一半没有半径。
10、圆的面积：圆所占平面的大小，一般用字母S表示。公式：S=πr2。
11、在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方。
12、周长相等的平面图形中，圆的面积最大;面积相等的平面图形中，圆的周长最小。
13、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．在一张长8厘米，宽5厘米的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大为（ ）厘米。
A．4 B．5 C．8 D．2.5
2．两个圆的半径相差1厘米，则周长相差（ ）。
A．1厘米 B．2厘米 C．3.14厘米 D．6.28厘米
3．如果两个圆的半径相差2厘米，则周长相差（ ）厘米。
A．2 B．6.28 C．12.56 D．4
4．淘气用三根长度都是62.8cm的铁丝分别围成长方形、正方形和圆。它们围成的面积相比（ ）。
A．圆面积大 B．长方形面积大 C．正方形面积大 D．无法确定
5．如图，圆的直径是10cm，阴影部分的面积是（ ）。
A．50cm2 B．78.5cm2 C．28.5cm2 D．21.5cm2
6．一个半圆形的金鱼池，量得它的半径为5m，围着金鱼池一周加上护栏，护栏长（ ）m。
A．15.7 B．20.7 C．25.7 D．31.4
7．用铁丝把2根直径都是20厘米的圆木捆在一起，如果接头处铁丝长5厘米，那么捆一周至少需要（ ）厘米的铁丝。
A．107.8 B．102.8 C．62.8 D．67.8
8．两个半圆的半径相差2厘米，这两个半圆的周长相差（ ）。
A．6.28厘米 B．8.28厘米 C．10.28厘米 D．12.56厘米
二、填空题（共16分）
9．如下图，阴影部分的周长是( )厘米。
10．一个圆的半径是5分米，它的周长是( )分米，它的面积是( )平方分米。
11．一块半圆形草地，它的周长是30.84米，这块草地的直径是( )米，面积是( )平方米。
12．大本钟，又名伊丽莎白塔，坐落在英国伦敦泰晤士河畔的一座钟楼，是英国伦敦的标志性建筑之一。钟盘上的时针约长3米，时针转一周所扫过的面积是( )平方米。
13．如图，长方形内有两个圆，其中长方形的周长是( )厘米，每个圆的面积是( )平方厘米。
14．古代有一种外圆内方的铜钱，形状如图（单位：mm），这个铜钱的面积是( )mm2。
15．一只挂钟的时针长4厘米，分针长8厘米，一昼夜分针尖端“走了”( )厘米，时针“扫过”的面积是( )平方厘米。
16．大圆半径6厘米，小圆直径4厘米，大圆的周长是小圆的( )倍。
三、判断题（共8分）
17．周长相等的两个圆，它们的半径、直径、面积分别对应相等。( )
18．下图中的阴影部分是扇形。( )
19．一个半圆形纸片的周长是15.42厘米，半圆形纸片的面积是14.13平方厘米。( )
20．如图，A、B两只蚂蚁都从甲地到乙地，A沿外面路线走，B沿里面路线走，那么A比B走的路程长。( )
四、计算题（共12分）
21．（6分）计算阴影部分的面积。（单位：厘米）

22．（6分）求下面图形阴影部分面积。（单位：厘米）
五、作图题（共6分）
23．（6分）根据对称轴画出轴对称图形的另外一半。
六、解答题（共42分）
24．（6分）学校操场的外圈是环形跑道，中间是活动场，如下图。计算出中间活动场（图中阴影部分）的面积。
25．（6分）公园里有一个圆形花坛，直径是20米，工人叔叔要在这个花坛外围修一条2米宽的人行观赏过道，这条人行观赏过道的面积是多少平方米？
26．（6分）小明骑自行车通过一座1500米的大桥，车轮的直径65厘米，如果每分钟车轮转100圈，小明骑自行车7分钟能通过这座大桥吗？（得数保留一位小数）
27．（6分）乐乐在学了圆的欣赏与设计后，自己也设计了一个图案（如图），它由4个相同的圆组成，连接4个圆心围成了一个边长是6厘米的正方形。图中阴影部分的周长和面积各是多少？
28．（6分）如图，在一块长方形草坪中间有一个圆形花坛，半径是4m。草坪占多大面积？
29．（6分）一个圆形的桌面，直径为80厘米，现在要在桌面上安放一个同样大小的玻璃，求这个桌面玻璃的面积是多少平方厘米？如果给这块玻璃镶上钢制边框，边框长多少厘米？
30．（6分）钟表的分针长10厘米。
（1）从3时到4时，分针针尖走过了多少厘米？
（2）从3时到4时，分针扫过的面积是多少平方厘米？
参考答案
1．D
【分析】在这个长方形纸上画出的最大的圆，直径和宽相等。圆规两脚间的距离是半径，将直径除以2即可得解。
【详解】5÷2＝2.5（厘米）
所以，圆规两脚间的距离最大为2.5厘米。
故答案为：D
【点睛】本题考查了画圆和圆的认识，解题关键是明确圆规两脚间的距离是半径。
2．D
【分析】设大圆的半径是R厘米，小圆的半径是r厘米，根据圆的周长公式算出大圆的周长和小圆的周长差：2πR－2πr＝2π（R－r），已知两个圆的半径相差1厘米，据此可求出这两个圆的周长相差多少厘米。
【详解】2×3.14×1＝6.28（厘米）
两个圆的半径相差1厘米，则周长相差6.28厘米。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
3．C
【分析】根据题意，可分别设小圆的半径为10厘米，那么大圆的半径为12厘米，然后再根据圆的周长公式分别计算出圆的周长，最后再用大圆的周长减去小圆的周长即可得到答案。
【详解】解：设小圆的半径为10厘米，大圆的半径为12厘米
3.14×2×12－3.14×2×10
＝6.28×12－6.28×10
＝6.28×（12－10）
＝6.28×2
＝12.56（厘米）
如果两个圆的半径相差2厘米，那么这两个圆的周长相差12.56厘米。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查的是圆的周长公式及其灵活应用应用。
4．A
【分析】根据这三个图形的周长已知，利用这三种图形的面积公式，求出面积，最后比较大小即可。
【详解】长方形长加宽：62.8÷2＝31.4（cm）
长方形的长与宽接近时，面积最大；设长是16.4cm，则宽是15cm；
面积：16.4×15＝246（cm2）
正方形边长：62.8÷4＝15.7（cm）
面积：15.7×15.7＝246.49（cm2）
圆的半径：62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（cm）
面积：3.14×102
＝3.14×100
＝314（cm2）
246＜246.49＜314，圆的面积最大。
淘气用三根长度都是62.8cm的铁丝分别围成长方形、正方形和圆。它们围成的面积相比圆的面积最大。
故答案为：A
【点睛】本题考查圆的面积公式、正方形面积公式、长方形面积公式的应用，关键明确：周长相等的圆、正方形、长方形，圆的面积最大。
5．C
【分析】因为在圆中所画最大正方形的是有底为直径长度，高为半径长度的两个直角三角形构成，圆的直径已知，根据底×高÷2×2求出两个三角形面积也就能求出正方形的面积，最后再用圆的面积减去正方形的面积即是阴影部分的面积。
【详解】10÷2＝5（cm）
10×5×2÷2
＝100÷2
＝50（cm2）
3.14×（10÷2）2－50
＝3.14×25－50
＝78.5－50
＝28.5（平方厘米）
阴影部分面积是28.5平方厘米。
故答案为：C
【点睛】解答此题的关键是明白，圆中所画最大正方形的对角线就等于圆的直径。
6．C
【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，把数据代入公式解答。
【详解】3.14×5×2÷2＋5×2
＝15.7×2÷2＋10
＝31.4÷2＋10
＝15.7＋10
＝25.7（m）
一个半圆形的金鱼池，量得它的半径为5m，围着金鱼池一周加上护栏，护栏长25.7m。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是明确半圆的周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径。
7．A
【分析】观察图形可知，铁丝的长度是一个直径是20厘米圆的周长加上两条线段等于直径的长的和，再加上5厘米，即可求出捆一周需要铁丝的长度。
【详解】3.14×20＋20×2＋5
＝62.8＋40＋5
＝102.8＋5
＝107.8（厘米）
用铁丝把2根直径都是20厘米的圆木捆在一起，如果接头处铁丝长5厘米，那么捆一周至少需要107.8厘米的铁丝。
故答案为：A
【点睛】解答本题的关键把这个铁丝分成几部分，再利用圆的周长公式进行解答。
8．C
【分析】半圆周长是圆周长一半加直径，即半圆周长＝πr＋2r。设较小的半圆半径是a厘米，则较大半圆的半径是（a＋2）厘米，分别代入公式计算出两个半圆的周长，再把它们相减即可解答。
【详解】较小半圆的周长：πa＋2a（厘米）
较大半圆的周长：π（a＋2）＋2（a＋2）＝πa＋2π＋2a＋4（厘米）
（πa＋2π＋2a＋4）－（πa＋2a）
＝πa＋2π＋2a＋4－πa－2a
＝2π＋4
＝2×3.14＋4
＝10.28（厘米）
则这两个半圆的周长相差10.28厘米。
故答案为：C
【点睛】掌握半圆的周长公式，用含有字母的式子分别表示两个半圆的周长是解题的关键。
9．15.7
【分析】观察图形可知，用长方形的周长减去圆的两条半径，再加上整圆周长的就是阴影部分的周长。已知圆的周长是12.56厘米，根据圆的周长＝2πr，用12.56除以2π即可求出圆的半径，也是长方形的宽。圆的面积等于长方形的面积，根据圆的面积＝πr2，代入数据计算出圆的面积，也就是长方形的面积，用长方形的面积除以宽求出长。长方形的周长＝（长＋宽）×2，用长方形的周长减去圆的两条半径，再加上整圆周长的即可解答。
【详解】12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
3.14×22÷2
＝3.14×4÷2
＝12.56÷2
＝6.28（厘米）
（6.28＋2）×2－2×2＋12.56×
＝8.28×2－4＋3.14
＝16.56－4＋3.14
＝12.56＋3.14
＝15.7（厘米）
阴影部分的周长是15.7厘米。
【点睛】明确阴影部分周长的组成，灵活运用圆和长方形的周长、面积公式是解题的关键。
10． 31.4 78.5
【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，和面积公式S＝πr2，代入数据即可解答。
【详解】3.14×5×2
＝15.7×2
＝31.4（分米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方分米）
这个圆的周长是31.4分米，面积是78.5平方分米。
【点睛】此题考查了圆的周长和面积公式的灵活应用。
11． 12 56.52
【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的周长公式：C=πr＋2r，设半圆的半径为r米，先求出半圆的半径，再根据直径等于半径乘2进而求出半圆的直径，然后再根据半圆的面积公式：S=πr2÷2求出面积。
【详解】解：设半圆的半径为r米。
3.14r＋2r＝30.84
5.14r＝30.84
5.14r÷5.14＝30.84÷5.14
r＝6
直径为：6×2＝12（米）
3.14×62÷2
＝3.14×36÷2
＝113.04÷2
＝56.52（平方米）
这块草地的直径是12米，面积是56.52平方米。
【点睛】此题考查的目的是理解半圆的周长、半圆面积的意义，掌握半圆的周长公式、半圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。
12．28.26
【分析】根据题意，求出时针转一周所扫过的面积就是求半径是3米的圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
大本钟，又名伊丽莎白塔，坐落在英国伦敦泰晤士河畔的一座钟楼，是英国伦敦的标志性建筑之一。钟盘上的时针约长3米，时针转一周所扫过的面积是28.26平方米。
【点睛】熟记圆的面积公式是解答本题的关键。
13． 24 12.56
【分析】求长方形的周长，已知长方形的长，长方形的宽即单个圆的直径，然后根据长方形的周长公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2计算即可；求每个圆的面积，已知两圆直径和为8cm，求出单个圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2计算即可。
【详解】直径：8÷2＝4（厘米）
半径：4÷2＝2（厘米）
（8＋4）×2
＝12×2
＝24（厘米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
长方形的周长是24厘米，每个圆的面积是12.56平方厘米。
【点睛】此题主要考查了圆的面积公式以及长方形的周长公式的灵活运用情况。
14．218.34
【分析】观察图形可知，铜钱的面积等于半径是（6＋6＋6）÷2mm圆的面积，减去边长是6mm的正方形面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。
【详解】半径：（6＋6＋6）÷2
＝（12＋6）÷2
＝18÷2
＝9（mm）
铜钱面积：3.14×92－6×6
＝3.14×81－36
＝254.34－36
＝218.34（mm2）
古代有一种外圆内方的铜钱，形状如图（单位：mm），这个铜钱的面积是218.34mm2。
【点睛】本题考查组合图形的面积，关键是利用规则图形的面积公式解答。
15． 1205.76 100.48
【分析】一昼夜共是24个小时。根据一小时分钟走一圈，所以分钟共走了24圈，分针尖端走过的路程就是24个以分针长度为半径圆的周长。
时针一昼夜刚好走二圈，时针“扫过”的面积就是半径4厘米的圆的面积再乘2。
【详解】3.14×（8×2）×24
＝3.14×16×24
＝50.24×24
＝1205.76（厘米）
一昼夜分针尖端“走了”1205.76厘米。
3.14×（4×4）×2
＝3.14×16×2
＝50.24×2
＝100.48（平方厘米）
时针“扫过”的面积是100.48平方厘米。
【点睛】此题考查了求圆的周长和面积以及钟面的有关知识。
16．3
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2＝π×直径，代入数据，分别求出大圆和小圆的周长，再用大圆周长÷小圆周长，即可解答。
【详解】（3.14×6×2）÷（3.14×4）
＝（18.84×2）÷12.56
＝37.68÷12.56
＝3
大圆半径6厘米，小圆直径4厘米，大圆的周长是小圆的3倍。
【点睛】熟练掌握圆的周长公式是解答本题的关键。
17．√
【分析】根据圆的周长公式：c＝πd＝2πr以及圆周率π是一个定值进行判断即可。
【详解】由圆的周长公式：c＝πd＝2πr可知，圆的周长是由半径或直径的大小决定的，如果两个圆的周长相等，由于圆周率π是一个定值，则这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等；而半径的大小决定面积的大小，所以面积也相等；所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查圆的周长的计算方法的灵活应用。
18．×
【分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形，据此解答。
【详解】根据分析可知，下图中的阴影部分顶点都不在圆心上，不是圆心角，没有两条半径，所以不是扇形。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握扇形的特征是解答本题的关键。
19．√
【分析】根据半圆的周长可以求出半径，再根据面积公式，即S＝πr2÷2，代入数据即可求出面积。
【详解】解：设圆的半径是r
2r＋3.14r＝15.42
5.14r＝15.42
r＝3
3.14×3×3÷2
＝9.42×3÷2
＝28.26÷2
＝14.13（平方厘米）
面积是14.13平方厘米。
故答案为：√
【点睛】此题考查了半圆的周长公式与半圆的面积公式的应用。
20．×
【分析】观察图形可知，A走的路程等于直径为（3＋4.5）厘米的圆周长的一半；B走的路程＝直径为3厘米的圆周长的一半＋直径为4.5厘米的圆周长的一半；根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出它们走的路程进行比较即可。
【详解】由分析得：
A走的路程：3.14×（3＋4.5）÷2
＝3.14×7.5÷2
＝23.55÷2
＝11.775（厘米）
B走的路程：3.14×3÷2＋3.14×4.5÷2
＝4.71＋7.065
＝11.775（厘米）
A、B走的路程一样长。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．7.74平方厘米
【分析】阴影部分的面积＝正方形面积－空白部分圆（两个半圆）的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝半径×半径×3.14，再将相关数据代入公式计算即可求解。
【详解】正方形的面积：6×6＝36（平方厘米）
圆的半径：6÷2＝3（厘米）
圆的面积：3×3×3.14
＝9×3.14
＝28.26（平方厘米）
阴影部分的面积：36－28.26＝7.74（平方厘米）
22．37.68平方厘米
【分析】根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（42－22）
＝3.14×（16－4）
＝3.14×12
＝37.68（平方厘米）
23．见详解
【分析】左图先确定上面圆的圆心，以1格为半径画出圆的另一半，再确定下面圆的圆心，以2格为半径画出圆的另一半；右图先确定中间两个小圆的圆心，以2格为半径画出圆的另一半，确定大圆的圆心，以4格为半径画出圆的另一半，据此解答。
【详解】画图如下：
【点睛】画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，掌握轴对称图形的作图方法是解答题目的关键。
24．2979.84平方米
【分析】看图，活动场的面积＝中间长方形的面积＋半径为16米的圆的面积。长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式解题即可。
【详解】16×2＝32（米）
68×32＋3.14×162
＝2176＋803.84
＝2979.84（平方米）
答：中间活动场的面积是2979.84平方米。
【点睛】本题考查了阴影部分的面积，熟练运用割补法，掌握长方形和圆的面积公式是解题的关键。
25．138.16平方米
【分析】由题意可知，小圆半径为（20÷2）米，大圆半径为小圆的半径加上2米，小路的面积就是圆环的面积，利用圆环的面积＝π（R2－r2），即可解答。
【详解】20÷2＝10（米）
10＋2＝12（米）
3.14×（122－102）
＝3.14×（144－100）
＝3.14×44
＝138.16（平方米）
答：这条人行观赏过道的面积是138.16平方米。
【点睛】解决本题关键是分别求出校园和大圆的半径，再根据圆环的面积公式求解；注意大圆的半径比小圆的半径多2米，而不是直径多2米。
26．不能
【分析】根据圆周长公式“C＝πd”即可求出自行车轮的周长，也就是转动一周所走的路程，再乘100就是每分钟走的路程，即速度，再根据“时间＝路程÷速度”即可求出通过这座大桥所用的时间。
【详解】3.14×65×100
＝3.14×100×65
＝314×65
＝20410（厘米）
20410厘米＝204.1米
1500÷204.1≈7.4（分钟）
7.4＞7
答：小明骑自行车7分钟不能通过这座大桥。
【点睛】此题主要是考查圆周长的计算及路程、速度、时间之间的关系．路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间。
27．周长：18.84厘米；面积：7.74平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分的周长等于半径是（6÷2）厘米圆的周长，阴影部分面积是边长是6厘米正方形面积减去半径是（6÷2）厘米圆的面积，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，圆的面积公式：面积＝π×半径2，正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。
【详解】阴影部分周长：3.14×6＝18.84（厘米）
阴影部分面积：6×6－3.14×（6÷2）2
＝36－3.14×9
＝36－28.26
＝7.74（平方厘米）
答：阴影部分周长是18.84厘米，阴影部分面积是7.74平方厘米。
【点睛】解答本题的关键明确阴影部分与半径是（6÷2）厘米圆和边长是6厘米正方形之间的关系。
28．189.76平方米
【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，把数据分别代入公式求出长方形与圆的面积差即可。
【详解】20×12－3.14×42
＝240－3.14×16
＝240－50.24
＝189.76（平方米）
答：其中草坪占189.76平方米的面积。
【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
29．5024平方厘米；251.2厘米
【分析】（1）先根据“半径＝直径÷2”求出圆的半径；再根据圆的面积求出圆的面积，即这个桌面玻璃的面积。
（2）根据圆的周长求出圆的周长，即边框的长。
【详解】3.14×（80÷2）2
＝3.14×402
＝3.14×1600
＝5024（平方厘米）
答：这个桌面玻璃的面积是5024平方厘米。
3.14×80＝251.2（厘米）
答：边框长251.2厘米。
【点睛】解决此题的关键是理解玻璃的面积是圆的面积，边框的长是圆的周长。
30．（1）62.4厘米；
（2）314平方厘米
【分析】（1）根据生活经验可知，分针1小时转一圈，从3时到4时，分针针尖走过的距离等于半径为10厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。
（2）从3时到4时，分针扫过的面积等于半径为10厘米的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详解】（1）2×3.14×10＝62.8（厘米）
答：分针针尖走过了62.8厘米。
（2）
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
答：分针扫过的面积是314平方厘米。
【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
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