广东省揭阳市普宁国贤学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，得，所以集合，
，得，所以集合，因此.
故答案为：B.
【分析】先分别求解集合A，B ，再利用集合并集的定义求解即可.
2．已知复数，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法求出z，再由共轭复数的定义求即可.
3．已知，A为第四象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，两边平方化简可得，所以，由A为第四象限角，可知，结合，可知，所以.
故答案为：C.
【分析】先将已知条件两边平方结合同角三角函数基本关系化简可得，由A再第四象限可知，再根据已知条件分别求出A得正弦和余弦值，利用同角三角函数关系即可求解.
4．草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式，若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近（参考数据：，）（ ）
A．30.24元/千克 B．31.75元/千克
C．38.16元/千克 D．42.64元/千克
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可知，解得，再由，可得.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，利用指数运算，化简求得值即可.
5．平面向量与的夹角为60°，，则等于 ( )
A． B． C．4 D．12
【答案】B
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】因为，所以，，，故选B.
6．已知的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由于展开式的通项为，故的展开式中的系数为，所以实数.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用二项式展开式的通项公式求解实数a即可.
7．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，再由对数运算，可得，
当时，令，则，所以在点单调递减，所以，所以，故.
故答案为：A.
【分析】根据对数恒等化和对数运算对a，b进行化简放缩比大小，找到中间值，再结合三角不等式，判断c与的大小.
8．已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设分别为双曲线的下焦点和上焦点，过点作垂足为点H，由题意，再结合双曲线的定义可知，所以，再由，所以，满足勾股定理，即，故，得，又因为，所以，故点，最后将点代入双曲线中化简可得，即，解得，结合选项即可判断B选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据双曲线的定义结合已知条件，可得，再由及勾股定理推出点，再将点P坐标代入双曲线方程化简得到a，b的关系结合选项即可判断.
二、多选题
9．下列说法中，正确的命题有（ ）
A．已知随机变量服从正态分布N（2，），，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和
C．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为16
【答案】A
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；互斥事件与对立事件；正态分布定义
【解析】【解答】解：A、因为随机变量服从正态分布，，所以，故A正确；
B、模型两边同时取对数可得，则，又因为线性回归方程为，所以，即，故B正确；
C、若事件A 和事件B互斥，也就是事件A，B不会同时发生，而事件A 和事件B独立，事件A，B可以同时发生，故C错误；
D、因为样本数据的方差为2，数据的方差为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据正态分布的对称性判断A；对两边同时取对数可得，根据对数运算性质化简可得，结合已知即可判断B；根据互斥事件和相互独立事件的定义即可判断C；根据方差的定义和性质即可判断D.
10．已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前n项和
D．的前n项和
【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：A、由，化简可得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；
B、由A选项可知，所以数列的通项为，显然数列为递增数量，故B正确；
C、，根据错位相减法求和可知，①
，②
①-②化简可得，故C正确；
D、因为，所以数列的前n项和，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】直接利用关系式变形可判断数列为等比数列即可判断A；根据A选项求出等比数列的通项，即可判断B；根据错位相减法求和即可判断C；根据前面求出数列的通项，再根据等差数列的求和公式计算即可判断D.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．直线是曲线的对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．若函数在区间上恰有2023个零点，则
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、由，可知是以为周期的函数，故A正确；
B、若直线是曲线的对称轴，则满足，但，故B错误；
C、去绝对值可得，当时，令，，并且，即，故原式变为，易知在区间上单调递减，所以，；
当，再令，，并且，即，故原式变为，易知在区间上单调递增，所以，，综上可知，函数的最大值为，最小值为，故C正确；
D、由A知函数是以为周期的周期函数，可以先研究函数在区间上零点的个数，，当，由C选项可知，解得t=1或0，又，即，所以在区上无解，在区间只有一个解；当时，，解得t=-2或1，又因为，则，当时在区间无解，时在区间上也无解，综上可知函数在区间有两个零点，即，又因为是以为周期的周期函数，所以当，函数在区间上有2r个零点，所以函数在区间恰有2023个零点时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据周期函数的定义即可判断A；根据函数的对称性即可判断B；先分情况去绝对值，再根据三角函数的性质结合二次函数的性质求解函数在区间上的最值即可判断C；结合A、C选项，先求函数在上的零点个数，再根据函数在上的零点个数确定M的范围即可.
12．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A．的最小值为2
B．四面体的体积为
C．有且仅有一条直线与垂直
D．存在点，使为等边三角形
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、由为正方体，所以平面，平面，又平面，平面，所以，即是与的公垂线段，故公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，当点，分别与重合时，最短为2，故A正确；
B、由图可知四面体即为三棱锥M-BCN，则三棱锥的体积为，根据正方体的性质可知动点到平面的距离不变，即，由，所以点到的距离也不变，即的面积不变，所以，故B正确；
C、当点，分别和点，重合时，，当为的中点，点和点重合时，，故C错误；
D、以D为坐标原点，DA，DC，为x，y和z轴建立空间直角坐标系，设，，所以点，即，又为等边三角形，所以当化简可得，即，当化简可得或，故或，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】在正方体中，通过推导得出是与的公垂线段，即当点，分别与重合时，最短判断A；三棱锥的体积即为四面体的体积，根据正方体的性质推出的面积不变，点到平面的距离也不变，代入棱长计算即可判断B；通过给点，取特殊点即可判断C；建立空间直角坐标系，设，，再写出相应点的坐标，根据为等边三角形，令，计算即可判断D.
三、填空题
13．函数，则 .
【答案】2
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：2.
【分析】由解析式先求，再求即即可求解.
14．（2024高三上·硚口）已知.则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：由 得，，， .
故答案为：.
【分析】先利用辅助角公式得，再根据诱导公式和二倍角公式求的值.
15．已知函数，，若函数存在零点2023，则函数一定存在零点，且 ．（只写一个即可）
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数存在零点2023，所以，即，由，得，解得，所以是方程的一个解，也就是函数一定存在零点，且.
故答案为：.
【分析】先根据函数的零点为2023求出m，再将m的值代入函数中，令求解即可.
16．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为 ．
【答案】
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：由题意可得，在中，，则球缺的高，所以球缺的体积为，，所以该组合体的体积为.
故答案为：.
【分析】根据题意，作出截面的图形，先求出球缺的高，在分别求出球缺的体积和圆台的体积，即可得到该组合体的体积.
四、解答题
17．已知等差数列是递增数列，记为数列的前n项和，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，且，
，，成等比数列，，，
，且，，；
（2）证明：，
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的极限
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，且，由，，成等比数列，可得，化简再结合可得，最后代入等差数列的通项公式即可；
（2）将化简可得，根据裂项相消求和即可证明.
18．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）解：由可得，即，
由正弦定理得．
故，整理得到，
因为C是的内角，所以，，因为，所以．
（2）解：因为且，，所以，．
所以
，因为为锐角三角形，所以且，则，所以，，
，即，故周长的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示以及向量共线可知，即，利用正弦定理可得，再根据两角和的正弦公式化简整理可的，即可求得角A；
（2）根据正弦定理得，，表示的周长，利用三角形的性质，即可得出周长的取值范围.
19．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）解：假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
20．（2023·蚌埠模拟）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关．
（2）解：依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的数学期望为．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 （1）利用已知条件列出 列联表，再利用列联表和独立性检验的方法以及，从而能认为该校学生喜欢足球与性别有关。
（2） 依题意得3人进球总次数的所有可能取值，再利用二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
21．（2024高三上·硚口）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，求的最大值.
【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，可得，
设椭圆方程，将点代入方程，可得，
故方程为.
（2）解：设且，
联立方程，整理得，
由，可得，且，，
又由原点到的距离，
由圆锥曲线的弦长公式，可得，
所以
令，可得
当且仅当，即时，面积取到最大值
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 由椭圆的离心率为得，设椭圆方程，将点代入得，即椭圆方程；
(2) 设与椭圆方程联立结合韦达定理得，，利用点到直线距离公式和弦长公式得结合基本不等式求面积的最大值.
22．已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）解：当时，，，
令，得，当时，单调递增；
当时，单调递减，所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，所以，所以，而，
所以
（2）解：令.
则.
当时，因为，所以，所以在上单调递增，
又因为.
所以关于的不等式不能恒成立；
当时，.
令，得，所以当时，；
当时，.
因此函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数的最大值为.
令，
因为，
又因为在上单调递减，所以当时，.
所以整数的最小值为3
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由题意，当时，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数求得函数的单调性和最值，从而证明即可；
（2）构造函数，先求导判断函数的单调性，再将问题转化为关于x的不等式恒成立，分别讨论，时是否恒成立，结合导数的几何意义进行求解即可.
1 / 1广东省揭阳市普宁国贤学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知，A为第四象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式，若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近（参考数据：，）（ ）
A．30.24元/千克 B．31.75元/千克
C．38.16元/千克 D．42.64元/千克
5．平面向量与的夹角为60°，，则等于 ( )
A． B． C．4 D．12
6．已知的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的命题有（ ）
A．已知随机变量服从正态分布N（2，），，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和
C．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为16
10．已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前n项和
D．的前n项和
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．直线是曲线的对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．若函数在区间上恰有2023个零点，则
12．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A．的最小值为2
B．四面体的体积为
C．有且仅有一条直线与垂直
D．存在点，使为等边三角形
三、填空题
13．函数，则 .
14．（2024高三上·硚口）已知.则 .
15．已知函数，，若函数存在零点2023，则函数一定存在零点，且 ．（只写一个即可）
16．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为 ．
四、解答题
17．已知等差数列是递增数列，记为数列的前n项和，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证.
18．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）求周长的取值范围．
19．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
20．（2023·蚌埠模拟）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
21．（2024高三上·硚口）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，求的最大值.
22．已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，得，所以集合，
，得，所以集合，因此.
故答案为：B.
【分析】先分别求解集合A，B ，再利用集合并集的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法求出z，再由共轭复数的定义求即可.
3．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，两边平方化简可得，所以，由A为第四象限角，可知，结合，可知，所以.
故答案为：C.
【分析】先将已知条件两边平方结合同角三角函数基本关系化简可得，由A再第四象限可知，再根据已知条件分别求出A得正弦和余弦值，利用同角三角函数关系即可求解.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可知，解得，再由，可得.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，利用指数运算，化简求得值即可.
5．【答案】B
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】因为，所以，，，故选B.
6．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由于展开式的通项为，故的展开式中的系数为，所以实数.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用二项式展开式的通项公式求解实数a即可.
7．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，再由对数运算，可得，
当时，令，则，所以在点单调递减，所以，所以，故.
故答案为：A.
【分析】根据对数恒等化和对数运算对a，b进行化简放缩比大小，找到中间值，再结合三角不等式，判断c与的大小.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设分别为双曲线的下焦点和上焦点，过点作垂足为点H，由题意，再结合双曲线的定义可知，所以，再由，所以，满足勾股定理，即，故，得，又因为，所以，故点，最后将点代入双曲线中化简可得，即，解得，结合选项即可判断B选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据双曲线的定义结合已知条件，可得，再由及勾股定理推出点，再将点P坐标代入双曲线方程化简得到a，b的关系结合选项即可判断.
9．【答案】A
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；互斥事件与对立事件；正态分布定义
【解析】【解答】解：A、因为随机变量服从正态分布，，所以，故A正确；
B、模型两边同时取对数可得，则，又因为线性回归方程为，所以，即，故B正确；
C、若事件A 和事件B互斥，也就是事件A，B不会同时发生，而事件A 和事件B独立，事件A，B可以同时发生，故C错误；
D、因为样本数据的方差为2，数据的方差为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据正态分布的对称性判断A；对两边同时取对数可得，根据对数运算性质化简可得，结合已知即可判断B；根据互斥事件和相互独立事件的定义即可判断C；根据方差的定义和性质即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：A、由，化简可得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；
B、由A选项可知，所以数列的通项为，显然数列为递增数量，故B正确；
C、，根据错位相减法求和可知，①
，②
①-②化简可得，故C正确；
D、因为，所以数列的前n项和，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】直接利用关系式变形可判断数列为等比数列即可判断A；根据A选项求出等比数列的通项，即可判断B；根据错位相减法求和即可判断C；根据前面求出数列的通项，再根据等差数列的求和公式计算即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、由，可知是以为周期的函数，故A正确；
B、若直线是曲线的对称轴，则满足，但，故B错误；
C、去绝对值可得，当时，令，，并且，即，故原式变为，易知在区间上单调递减，所以，；
当，再令，，并且，即，故原式变为，易知在区间上单调递增，所以，，综上可知，函数的最大值为，最小值为，故C正确；
D、由A知函数是以为周期的周期函数，可以先研究函数在区间上零点的个数，，当，由C选项可知，解得t=1或0，又，即，所以在区上无解，在区间只有一个解；当时，，解得t=-2或1，又因为，则，当时在区间无解，时在区间上也无解，综上可知函数在区间有两个零点，即，又因为是以为周期的周期函数，所以当，函数在区间上有2r个零点，所以函数在区间恰有2023个零点时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据周期函数的定义即可判断A；根据函数的对称性即可判断B；先分情况去绝对值，再根据三角函数的性质结合二次函数的性质求解函数在区间上的最值即可判断C；结合A、C选项，先求函数在上的零点个数，再根据函数在上的零点个数确定M的范围即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、由为正方体，所以平面，平面，又平面，平面，所以，即是与的公垂线段，故公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，当点，分别与重合时，最短为2，故A正确；
B、由图可知四面体即为三棱锥M-BCN，则三棱锥的体积为，根据正方体的性质可知动点到平面的距离不变，即，由，所以点到的距离也不变，即的面积不变，所以，故B正确；
C、当点，分别和点，重合时，，当为的中点，点和点重合时，，故C错误；
D、以D为坐标原点，DA，DC，为x，y和z轴建立空间直角坐标系，设，，所以点，即，又为等边三角形，所以当化简可得，即，当化简可得或，故或，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】在正方体中，通过推导得出是与的公垂线段，即当点，分别与重合时，最短判断A；三棱锥的体积即为四面体的体积，根据正方体的性质推出的面积不变，点到平面的距离也不变，代入棱长计算即可判断B；通过给点，取特殊点即可判断C；建立空间直角坐标系，设，，再写出相应点的坐标，根据为等边三角形，令，计算即可判断D.
13．【答案】2
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：2.
【分析】由解析式先求，再求即即可求解.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：由 得，，， .
故答案为：.
【分析】先利用辅助角公式得，再根据诱导公式和二倍角公式求的值.
15．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数存在零点2023，所以，即，由，得，解得，所以是方程的一个解，也就是函数一定存在零点，且.
故答案为：.
【分析】先根据函数的零点为2023求出m，再将m的值代入函数中，令求解即可.
16．【答案】
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：由题意可得，在中，，则球缺的高，所以球缺的体积为，，所以该组合体的体积为.
故答案为：.
【分析】根据题意，作出截面的图形，先求出球缺的高，在分别求出球缺的体积和圆台的体积，即可得到该组合体的体积.
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，且，
，，成等比数列，，，
，且，，；
（2）证明：，
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的极限
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，且，由，，成等比数列，可得，化简再结合可得，最后代入等差数列的通项公式即可；
（2）将化简可得，根据裂项相消求和即可证明.
18．【答案】（1）解：由可得，即，
由正弦定理得．
故，整理得到，
因为C是的内角，所以，，因为，所以．
（2）解：因为且，，所以，．
所以
，因为为锐角三角形，所以且，则，所以，，
，即，故周长的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示以及向量共线可知，即，利用正弦定理可得，再根据两角和的正弦公式化简整理可的，即可求得角A；
（2）根据正弦定理得，，表示的周长，利用三角形的性质，即可得出周长的取值范围.
19．【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）解：假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
20．【答案】（1）解：列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关．
（2）解：依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的数学期望为．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 （1）利用已知条件列出 列联表，再利用列联表和独立性检验的方法以及，从而能认为该校学生喜欢足球与性别有关。
（2） 依题意得3人进球总次数的所有可能取值，再利用二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
21．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，可得，
设椭圆方程，将点代入方程，可得，
故方程为.
（2）解：设且，
联立方程，整理得，
由，可得，且，，
又由原点到的距离，
由圆锥曲线的弦长公式，可得，
所以
令，可得
当且仅当，即时，面积取到最大值
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 由椭圆的离心率为得，设椭圆方程，将点代入得，即椭圆方程；
(2) 设与椭圆方程联立结合韦达定理得，，利用点到直线距离公式和弦长公式得结合基本不等式求面积的最大值.
22．【答案】（1）解：当时，，，
令，得，当时，单调递增；
当时，单调递减，所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，所以，所以，而，
所以
（2）解：令.
则.
当时，因为，所以，所以在上单调递增，
又因为.
所以关于的不等式不能恒成立；
当时，.
令，得，所以当时，；
当时，.
因此函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数的最大值为.
令，
因为，
又因为在上单调递减，所以当时，.
所以整数的最小值为3
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由题意，当时，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数求得函数的单调性和最值，从而证明即可；
（2）构造函数，先求导判断函数的单调性，再将问题转化为关于x的不等式恒成立，分别讨论，时是否恒成立，结合导数的几何意义进行求解即可.
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