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初中数学人教版八年级上学期 第十五章 15.3 分式方程
一、基础巩固
1．（2019·百色）方程 的解是（ ）
A．无解 B． C． D．
2．（2019八下·扬州期末）某工程队准备修建一条长1200m的道路,由于采用新的施工方式,实际每天修建道路的速度比原计划快20%,结果提前2天完成任务。若设原计划每天修建道路xm,则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019八下·罗湖期末）解分式方程：
4．（2019八下·福田期末）解方程： .
5．（2019七下·温州期末）解下列方程(组)
（1）
（2）
6．（2019八下·扬州期末）计算：①
②解方程：
二、强化提升
7．（2019九上·苏州开学考）现有甲，乙两种机器人都被用来搬运某体育馆室内装潢材料甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运30千克，甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同，两种机器人每小时分别搬运多少千克？设甲型机器人每小时搬运x千克，根据题意，可列方程为（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
8．（2019七下·温州期末）某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用6天完成了任务．若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019八下·罗湖期末）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用 的材料.
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
三、真题演练
10．（2019·本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用 万元购买甲型机器人和用 万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为 万元.若设甲型机器人每台 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2019·玉林）解方程： ﹣ ＝1.
12．（2019·南通）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以(x+1)，得
1=x+1，
解得： ，
检验：当 时，x+1≠0，
∴方程的根是 ，
故答案为：C。
【分析】方程两边同时乘以(x+1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解。
2．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，
由题意得， 。
故答案为：D。
【分析】设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，根据工作总量除以工作效率等于工作时间得出原计划修1200米道路的时间为天，实际修1200米道路的时间为天，根据实际修1200米道路的时间比原计划提前两天，列出方程。
3．【答案】解：
经检验 是原方程的增根
∴原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
4．【答案】解：
去分母，得
.
解这个整式方程，得
.
经检验， 是原方程的根.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
5．【答案】（1） 解：x=2y-1,
把x=2y-1代入2x+3y=5,
得2（2y-1）+3y=5,
4y-2+3y=5,
7y=7,
∴y=1,
x=2y-1=2-1=1,
故答案为： .
（2）解： ，
方程两边同乘以x(x-1)得：
,
去分母：2x=3(x-1),
脱括号：2x=3x-3,
移项：-x=-3,
两边同除以-1：x=3.
把x=3, 代入x(x-1)中，不等于0，
故x=3是方程的解.
故答案为：3.
【知识点】解二元一次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）先把x用y来表示，代入2x+3y=5中，用代入法解方程组即可。
（2）方程两边同乘以x(x+1)，去分母，经脱括号、移项和系数化为1等系列变化解出x, 最后再检验即可。
6．【答案】解：
①
=
=
=
②
去分母得：x2+x-1=x2-x
移项、合并同类项得：2x=1
系数为1得：x=
经检验， x= 是原分式方程的解.
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】（1）通分计算异分母分式的加法，最后约分化为最简二次根式即可；
（2）方程的两边都乘以x（x-1）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解。
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲型机器人每小时搬运x千克，则乙型机器人每小时搬运（x+30）千克，
依题意，得： .
故答案为：A.
【分析】设甲型机器人每小时搬运x千克，则乙型机器人每小时搬运（x+30）千克，根据工作总量除以工作效率等于工作时间得出：甲 型机器人搬运600千克所用的时间为小时， 乙型机器人搬运800千克所用的时间为小时，根据 甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同即可列出方程。
8．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设该厂原来每天加工x个零件，则引进新机器，每天加工2x ，
由题意列方程得： ，
故答案为：D.
【分析】设该厂原来每天加工x个零件，则引进新机器，每天加工2x， 引进新机器前已加工100个零件，剩下400个零件有新机器加工，时间=数量÷效率，根据时间的关系列方程即可。
9．【答案】（1）解：设每个乙种边框所用材料x 米则
x=2
经检验：x=2 是原方程的解，1.2x=2.4,
答：甲框每个2.4米，乙框每个2米。
（2）解：设生产甲边框y 个，则乙边框生产 个，
则
y≤100
所以最多可购买甲种边框100个。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个乙种边框所用材料x米，可得甲用（1+20%）x米，根据“12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个”列出方程，解出方程并检验即可.
（2）设生产甲边框y个，可得生产乙边框个，根据“制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍”列出不等式，求出解集即可.
10．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲型机器人每台 万元，根据题意，可得
故答案为： 。
【分析】设甲型机器人每台 万元，则乙型机器人的价格为（140-x）元， 用 万元购买甲型机器人 的数量为台， 用 万元购买乙型机器人的 为台，根据 用 万元购买甲型机器人和用 万元购买乙型机器人的台数相同列出方程即可。
11．【答案】解： ﹣ ＝ ＝ ＝1，
∴x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），
∴x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴原方程无解；
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程的两边都乘以（x-1）(x+2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，并检验即可得出原方程的解。
12．【答案】解：设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元，
由题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
所以，原分式方程的解为 ，
答：每套《三国演义》的价格为80元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元， 则用3200元购买《三国演义》的套数为套， 用2400元购买《西游记》套数为 套，根据 用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍 列出方程，求解并检验即可。
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初中数学人教版八年级上学期 第十五章 15.3 分式方程
一、基础巩固
1．（2019·百色）方程 的解是（ ）
A．无解 B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以(x+1)，得
1=x+1，
解得： ，
检验：当 时，x+1≠0，
∴方程的根是 ，
故答案为：C。
【分析】方程两边同时乘以(x+1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解。
2．（2019八下·扬州期末）某工程队准备修建一条长1200m的道路,由于采用新的施工方式,实际每天修建道路的速度比原计划快20%,结果提前2天完成任务。若设原计划每天修建道路xm,则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，
由题意得， 。
故答案为：D。
【分析】设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，根据工作总量除以工作效率等于工作时间得出原计划修1200米道路的时间为天，实际修1200米道路的时间为天，根据实际修1200米道路的时间比原计划提前两天，列出方程。
3．（2019八下·罗湖期末）解分式方程：
【答案】解：
经检验 是原方程的增根
∴原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
4．（2019八下·福田期末）解方程： .
【答案】解：
去分母，得
.
解这个整式方程，得
.
经检验， 是原方程的根.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
5．（2019七下·温州期末）解下列方程(组)
（1）
（2）
【答案】（1） 解：x=2y-1,
把x=2y-1代入2x+3y=5,
得2（2y-1）+3y=5,
4y-2+3y=5,
7y=7,
∴y=1,
x=2y-1=2-1=1,
故答案为： .
（2）解： ，
方程两边同乘以x(x-1)得：
,
去分母：2x=3(x-1),
脱括号：2x=3x-3,
移项：-x=-3,
两边同除以-1：x=3.
把x=3, 代入x(x-1)中，不等于0，
故x=3是方程的解.
故答案为：3.
【知识点】解二元一次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）先把x用y来表示，代入2x+3y=5中，用代入法解方程组即可。
（2）方程两边同乘以x(x+1)，去分母，经脱括号、移项和系数化为1等系列变化解出x, 最后再检验即可。
6．（2019八下·扬州期末）计算：①
②解方程：
【答案】解：
①
=
=
=
②
去分母得：x2+x-1=x2-x
移项、合并同类项得：2x=1
系数为1得：x=
经检验， x= 是原分式方程的解.
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】（1）通分计算异分母分式的加法，最后约分化为最简二次根式即可；
（2）方程的两边都乘以x（x-1）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解。
二、强化提升
7．（2019九上·苏州开学考）现有甲，乙两种机器人都被用来搬运某体育馆室内装潢材料甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运30千克，甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同，两种机器人每小时分别搬运多少千克？设甲型机器人每小时搬运x千克，根据题意，可列方程为（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲型机器人每小时搬运x千克，则乙型机器人每小时搬运（x+30）千克，
依题意，得： .
故答案为：A.
【分析】设甲型机器人每小时搬运x千克，则乙型机器人每小时搬运（x+30）千克，根据工作总量除以工作效率等于工作时间得出：甲 型机器人搬运600千克所用的时间为小时， 乙型机器人搬运800千克所用的时间为小时，根据 甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同即可列出方程。
8．（2019七下·温州期末）某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用6天完成了任务．若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设该厂原来每天加工x个零件，则引进新机器，每天加工2x ，
由题意列方程得： ，
故答案为：D.
【分析】设该厂原来每天加工x个零件，则引进新机器，每天加工2x， 引进新机器前已加工100个零件，剩下400个零件有新机器加工，时间=数量÷效率，根据时间的关系列方程即可。
9．（2019八下·罗湖期末）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用 的材料.
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
【答案】（1）解：设每个乙种边框所用材料x 米则
x=2
经检验：x=2 是原方程的解，1.2x=2.4,
答：甲框每个2.4米，乙框每个2米。
（2）解：设生产甲边框y 个，则乙边框生产 个，
则
y≤100
所以最多可购买甲种边框100个。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个乙种边框所用材料x米，可得甲用（1+20%）x米，根据“12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个”列出方程，解出方程并检验即可.
（2）设生产甲边框y个，可得生产乙边框个，根据“制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍”列出不等式，求出解集即可.
三、真题演练
10．（2019·本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用 万元购买甲型机器人和用 万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为 万元.若设甲型机器人每台 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲型机器人每台 万元，根据题意，可得
故答案为： 。
【分析】设甲型机器人每台 万元，则乙型机器人的价格为（140-x）元， 用 万元购买甲型机器人 的数量为台， 用 万元购买乙型机器人的 为台，根据 用 万元购买甲型机器人和用 万元购买乙型机器人的台数相同列出方程即可。
11．（2019·玉林）解方程： ﹣ ＝1.
【答案】解： ﹣ ＝ ＝ ＝1，
∴x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），
∴x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴原方程无解；
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程的两边都乘以（x-1）(x+2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，并检验即可得出原方程的解。
12．（2019·南通）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格.
【答案】解：设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元，
由题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
所以，原分式方程的解为 ，
答：每套《三国演义》的价格为80元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设每套《三国演义》的价格为 元，则每套《西游记》的价格为 元， 则用3200元购买《三国演义》的套数为套， 用2400元购买《西游记》套数为 套，根据 用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍 列出方程，求解并检验即可。
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