22.3 实际问题与二次函数（3） 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
22.3 实际问题与二次函数（3）
人教版九年级上册
知识回顾
O
O
O
O
O
y=ax2
根据函数图象分别设出相应函数解析式
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
(h,k)
(x1,0)
(x2,0)
教学目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
新知导入
日常生活中，我们会看到抛物线形的拱桥
新知探究
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
H
A
B
C
D
F
HE=2
AB=4
EF=1 即 HF=3
CD-AB
E
2m
∴增加的水面宽度=
新知探究
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
H
A
B
C
D
E
F
分析：
CD 长度
点C,D 的坐标
点C,D 在抛物线上
抛物线表达式
建立平面直角坐标系
新知探究
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
H
A
B
C
D
E
F
建立平面直角坐标系需要确定原点，x轴与y轴.
新知探究
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
解题步骤为：
3.由AB =4,HE =2得
2.可设抛物线的表达式为：
1.以抛物线的顶点H为原点，以抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系.
O(H)
A
B
C
D
E
F

新知探究
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
4.把点 A 或者点 B 坐标代入表达式求 .
5.由HF=3, 得 = ,代入抛物线表达式，
可求得点C，D的横坐标.
6.通过点C，D的横坐标,求得线段CD的长度，计算 CD AB 的值.
O(H)
A
B
C
D
E
F
新知探究
解：
如图，以抛物线的顶点H为原点，抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，可设这条抛物线表示的二次函数为
.
据题意得
新知探究
∵HF=3
新知探究
如图以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
∵抛物线顶点H坐标为（2，2）
∴可设这条抛物线表示的二次函数为y=a(x-2)2+2，将B（4，0）代入解析式得：
4a+2=0
∴
∵EF=1
新知探究
∴C，D坐标分别是（2），().
∴CD=（）-（）=
∴CD-AB=
新知探究
解法三：
∵抛物线过 H（0,2）,
∴这条抛物线表示的二次函数是
∵EF =1，
把 = 1代入函数解析式得
新知探究
∴C，D坐标分别是（），().
∴CD=-（）=
∴CD-AB=
新知小结
通过以上三种解法，我们可以知道解决此类问题要注意以下几点：
要根据实际情况建立适当的平面直角坐标系.
根据平面直角坐标系及已知条件设适当的函数表达式.
建立不同的平面直角坐标系，表达式会有所不同，但计算结果一样.
新知探究
探究：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4m．水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
H
A
B
C
D
E
F
还有更多解法吗？
图1
图2
图3
图4
y=a(x-h)2+k
新知探究
归纳：
1.图1，图2与前面三种建立平面直角坐标系的方法都是可行的.区别在于计算量的大小.
2.图3，图4不合适，因为此时A,B 是待定的点.
因此建立平面直角坐标系解题要注意以下几点：
1.要使函数表达式形式简洁.
2.容易表达已知点的坐标.
3.便于计算未知点的坐标.
图3
图1
图4
图2
新知练习
练习1：如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形OAB，使顶点O与抛物线的顶点重合，点C,D是抛物线上的点，求外轮廓抛物线解析式．
cm
cm
O
A
B
C
D
解题步骤：
1.以O为原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴建立平面直角坐标系
3.把D（3，-6），代入抛物线表达式求a.
新知练习
cm
cm
O
A
B
C
D

新知典例
例1 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，则他能否获得成功？
新知典例
解：（1）由题意可知，抛物线经过点（0， ），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．
设抛物线的解析式是y=a（x-4）2+4，
∴ =16a+4
解得：a=
∴抛物线解析式为y= (x-4)2+4．
当x=7时，y= ×(7-4)2+4=3，
∴篮圈的中心点在抛物线上，
（2）∵当x=1时，y= ×(1-4)2+4=3＜3.1，
∴能够盖帽拦截成功．
∴能够投中．
新知练习
练习2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m) 与水平距离 x(m) 之间满足函数解析式 y=a(x-4)2+h，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m.
(1)当a=-时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网；
解：(1) ① 当a=时，y=(x-4)2+h，
将点P(0，1)代入，得×16+h=1，
解得h= .
新知练习
解：(1) ② 把x=5代入y=(x-4)2+，
得y=×(5-4)2+=1.625，
∵1.625＞1.55，∴此球能过网.
练习2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m) 与水平距离 x(m) 之间满足函数解析式 y=a(x-4)2+h，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m.
(1)当a=-时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网；
新知练习
解：(2) 把(0，1)，(7，)代入y=a(x-4)2+h，
得 解得∴a=．
练习2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m) 与水平距离 x(m) 之间满足函数解析式 y=a(x-4)2+h，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m.
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值.
课堂总结
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线型问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
对接中考
1.发射一枚炮弹，经过 x 秒后炮弹的高度为 y 米，x，y 满足 y=ax2+bx，其中 a，b 是常数，且 a≠0.若此炮弹在第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是( )
B
A.第8秒 B.第10秒
C.第12秒 D.第15秒
解：∵x取6和14时y的值相等，
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=6+=10，
即炮弹达到最大高度的时刻是第10 秒．
对接中考
2.拱桥呈抛物线形，其函数解析式为 y= - x2，当拱桥下水面宽为 12 m 时，水面离拱桥顶端的高度是( )
D
A.3 m B.2 m
C.4 m D.9 m
解：由题意可得x=6时，y=-×62=-9．
故水面离拱桥顶端的高度是9 m．
对接中考
3.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( )
A
A.此抛物线的解析式是 y=-x2 +3.5
B.篮圈中心的坐标是 (4，3.05)
C.此抛物线的顶点坐标是 (3.5，0)
D.篮球出手时离地面的高度是 2 m
对接中考
解：选项A中，∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴可设抛物线的函数解析式为y=ax2+3.5，
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入得 3.05=a×1.52+3.5，∴a=-0.2，∴y=-0.2x2+3.5，故本选项正确；
选项B中，由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，故本选项错误；
选项C中，由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，故本选项错误；
选项D中，设这次跳投时，球出手处离地面h m，
∵由选项A可知y=-0.2x2+3.5，∴当x=-2.5时，h=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m．故本选项错误．
谢谢
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