人教版九年级上册第21章 一元二次方程 单元测试卷 （含解析）

人教版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．y= x2﹣3 B．2（x+1）=3 C．x2+3x﹣1=x2+1 D．x2=2
2．方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
3．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于一元二次方程的四种解法叙述不正确的是（ ）
A．公式法 B．配方法
C．加减法 D．因式分解法
5．方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A． B． C． D．
6．方程 的根的情况（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（　　）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
8．已知，则
A．-1或3 B．3 C．-1 D．无法确定
9．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
10．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共18分）
11．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
12．已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m= ．
13．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则参加比赛的球队应有 ．
14．规定一种新运算a※b=a2﹣2b，如1※2=﹣3．若x※（﹣2）=6，则 ．
15．已知，是一元二次方程两个实数根，则的值为 ．
16．若m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
三、解答题（共52分）
17．（12分）用指定的方法解方程：
(1)（因式分解法） (2)（用配方法）
(3)（用公式法） (4)（用合适的方法）
18．（6分）解方程：2x－6＝3x(x－3)．
小明是这样解答的：
将方程左边分解因式，得2(x－3)＝3x(x－3)．……第一步
方程两边同时除以(x－3)，得2＝3x.……第二步
解得x＝.……第三步
(1)小明的解法从第________步开始出现错误；
(2)写出正确的解答过程．
19．（7分）已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求证；对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
20．（8分）要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．
(1)求围栏的长和宽；
(2)能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．
21．（9分）宁波桌童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件童装降价，2元，则平均可多售出4件．设每件童裴降价x元；
（1）每天可销售___件，每件盈利___元；（用含x的代数式表示）
（2）求每件童装降价多少元时，平均每天可赢利1200元．
（3）若店长希望平均每天能赢利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
参考答案
1．D
【详解】解：A．y= x2﹣3是二元二次方程，故本选项错误；
B．2（x+1）=3是一元一次方程，故本选项错误；
C．x2+3x﹣1=x2+1是一元一次方程，故本选项错误；
D．x2=2是一元二次方程，故本选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．B
【分析】根据一元二次方程的定义即可解答.
【详解】方程的二次项系数为2，一次项系数为﹣3.
故选B.
【点睛】本题考点：一元二次方程的定义.
3．A
【分析】直接利用开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的直接开平方法是解题的关键．
4．C
【分析】根据解一元二次方程的方法对各选项进行判断．
【详解】解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．
故选C．
【点睛】考查了解一元二次方程的方法，利用运用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程．
5．C
【分析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】∵x2+2x= 1
∴x2+2x+1= 2
∴(x+1)2= 2
故选： C．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．D
【详解】∵a=1，b=-4，c=2，
∴△=b2-4ac=（-4）2-4×1×2=8>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选D.
7．B
【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．
【详解】x2-4x+3=0
(x 3)(x 1)=0，
x 3=0或x 1=0，
所以x =3,x =1，
当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，
当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为7．
故答案选B
8．B
【分析】可设y=，则原方程化为y2-2y-3=0，可解得，y1=-1，y2=3，即=-1,=3，验根即可．
【详解】解：设y=，则原方程化为y2-2y-3=0，
解关于y的一元二次方程得：y1=-1，y2=3，
将y=-1代入y=中，=-1,
此种情况不成立,故舍去,
将y=3代入y=中，=3．
故选:B．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
9．D
【详解】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，
所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，
故答案为：D.
10．C
【详解】【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1 x2=-，把2化成(x1+x2)2-2x1x2代入进行求出即可.
【详解】∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5，
故选C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系的应用，关键是把所求的代数式化成含有x1+x2和x1 x2的形式．
11．2
【详解】解：由题意得，，解得，
∴m=2，
故答案为2．
12．1
【分析】利用因式分解法把方程x2-2x-3=0变形，根据解完全相同可求m值．
【详解】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，
（x-3）（x+1）=0，
∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，
∴m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
13．
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排10场比赛即可列出方程求解．
【详解】设邀请x个球队参加比赛，依题意得：
=10，
∴x2﹣x﹣20=0，
∴x=5或x=﹣4（不合题意，舍去）．
故答案为5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，需要舍去不合题意的解．
14．
【分析】根据题意可得：x2﹣2×（﹣2）=6，然后移项，合并同类项，再用直接开平方法可解得答案．
【详解】解：根据题意得：x2﹣2×（﹣2）=6，x2+4=6，移项得：x2=2，∴x=±．
故答案为±．
【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据题意列出方程．
15．10
【分析】先将通分变形为，然后根据一元二次方程根与系数的关系代入和的值即可．
【详解】解：
∵，是一元二次方程两个实数根，
∴，，
∴原式
故答案为：10．
【点睛】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，将原式进行变形是解题关键．
16．0
【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
则原式==1﹣1=0，
故答案为0．
17．(1)，；
(2)，
(3)，；
(4)，
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式即可；
（2）根据配方法步骤进行配方，得出（x﹣1）2=4，再开平方即可；
（3）首先求出b2﹣4ac=81﹣4×2×8=17＞0再套用公式x=，得出即可；
（4）利用平方差公式分解因式即可得出方程的根．
【详解】（1）解：∵x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
∴x1=0，x2=2；
（2）解：∵x2﹣2x﹣3=0，
∴x2﹣2x=3，
∴x2﹣2x+1=4，
∴（x﹣1）2=4，
∴x﹣1=±2，
∴x1=3，x2=﹣1；
（3）解：∵a=2，b=﹣9，c=8=0，
∴b2﹣4ac=81﹣4×2×8=17＞0，
∴x==，
∴x1=，x2=；
（4）解：（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0，
∴[（x﹣2）+（2x+3）][（x﹣2）﹣（2x+3]=0，
∴（3x+1）（﹣x﹣5）=0，
∴x1=﹣，x2=﹣5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练地掌握一元二次方程的解法特别是因式分解法解一元二次方程，可以大大降低计算量．
18．（1）二；（2）答案见解析．
【分析】首先判定小明的解法从第二步开始出现错误，再利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可．
【详解】（1）小明的解法从第二步开始出现错误；
（2）2x﹣6=3x（x﹣3）
　2（x﹣3）=3x（x﹣3）
　2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0
（x﹣3）（2﹣3x）=0
x﹣3=0，2﹣3x=0
x1=3，x2=．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．
19．（1）见详解；（2），另一个根是.
【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立；
（2）直接把代入方程求出k，然后利用根与系数的关系，即可得到另一个根.
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴对于任意实数，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵，
当时，有
，
解得：；
∴原方程为：，
设另一个根为，则
，
∴，
∴原方程的另一个根是.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握根的判别式和根与系数的关系进行解题.
20．（1）围栏长为20米，宽为15米；（2）不能，理由见详解.
【分析】（1）设围栏的宽为x米，则围栏的长为（50-2x）米，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后由墙的长度得到x的取值范围，由此即可得出结论；
（2）假设能围成，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＜0，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论．
【详解】解:（1）设与墙相垂直的一边长为x米，则围栏的长为（50-2x）米，
∴x(50-2x)=300，
解得：x=10 或x=15，
∵当x=10时，
，故舍去；
∴围栏的宽为15米，长为：米；
（2）根据题意，假设能围成，则
x(50-2x)=400，
∴，
∴，
∴原方程无解.
故不能围成面积为400m2的长方形围栏.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程以及一元一次不等式组；（2）由根的判别式的正负得出方程解得情况．
21．（1）（20+2x），（40-x）；（2）20元；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可；
（2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得；
（3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．
【详解】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元，
故答案为：（20+2x），（40-x）；
（2）根据题意，得：（20+2x）（40-x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
∵要扩大销售量，
∴x=20，
答：每件童装降价20元，平均每天赢利1200元；
（3）不能，理由如下：
（20+2x）（40-x）=2000，
整理，得：x2-30x+600=0，
∵Δ=（-30）2-4×600=-1500＜0，
∴此方程无实数根，
故不可能做到平均每天盈利2000元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
22．（1）1秒；（2）不能，理由见解析
【分析】当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm．
（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-3＜0可得出该方程没有实数根，进而可得出△PBQ的面积不能等于7cm2．
【详解】解：7÷2=（s）．
当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm．
（1）依题意得：×2t×（5-t）=4，
整理得：t2-5t+4=0，
解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5-t）=7，
整理得：t2-5t+7=0．
∵Δ=（-5）2-4×1×7=-3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．