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初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.5.1 互逆命题与互逆定理
一、单选题
1．（2019八上·义乌月考）某校八年级四个班的代表队准备举行篮球赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“802班得冠军，804班得第三”；乙说：“801班得第四，803班得亚军”；丙说：“803班得第三，804班得冠军”赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（ ）
A．801班 B．802班 C．803班 D．804班
2．（2019·余姚会考）能说明命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题的反例为（ ）
A．a=2,b=-2 B．a=1,b=0 C．a=1,b=1 D．a=-3,b=
3．（2019·百色模拟）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，内错角相等
D．对顶角相等
4．（2019八下·南山期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a=b，则|a|=|b|
5．（2019七下·泰兴期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，则同位角相等
B．同旁内角互补，则两直线平行
C．三角形内角和为180°
D．三角形一个外角大于任何一个内角
二、填空题
6．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
7．（2019七下·兴化期末）命题“如果a＞b,那么ac＞bc”的逆命题是 .
8．（2019七下·吴江期末）请写出“对顶角相等”的逆命题： .
9．（2019·福州模拟）说明命题“若x>－4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是 .
三、综合题
10．（2019七下·兴化期末）
（1）把下面的证明补充完整：
如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点M、N，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END.求证：MG∥NH
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠EMB＝∠END（ ）
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），
∴∠EMG＝ ∠EMB，∠ENH＝ ∠END（ ），
∴ （等量代换）
∴MG∥NH（ ）.
（2）你在第（1）小题的证明过程中，应用了哪两个互逆的真命题？请直接写出这一对互逆的真命题.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：假设甲说的802班得冠军是正确的，
∴丙说的804得冠军是错误的，803班得第三是正确的，
∴乙说的803班得亚军是错误的，801班得第四是正确的，
∴ 804班得第三是错误的，
因此三人都只猜对了一半，
故答案为：B
【分析】根据已知条件三人都只猜对了一半，因此假设甲说的前半句是正确的，再看看后面的说法有无矛盾，进行推理，可得答案。
2．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题的反例为
a=2，b=-2
故答案为：A
【分析】命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题的反例是a、b互为相反数，观察各选项可得到答案。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；对顶角及其性质；逆命题
【解析】【解答】解：A.逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角。相等的角并不一定是直角，故是假命题；
B.逆命题是：对应角相等的两个三角形是全等三角形。判定两个三角形全等没有AAA这种判定方法，故是假命题；
C.逆命题是：内错角相等，两直线平行。由平行线的判定方法知，是真命题；
D.逆命题是：相等的角是对顶角。相等的角并不一定有公共顶点，所以不一定是对顶角，故是假命题.
故答案为：C。
【分析】根据命题与逆命题的关系，分别写出各个命题的逆命题，然后根据直角的判定方法、全等三角形的判定方法、平行线的判定方法、对等角的定义即可一一判断得出答案。
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】选项A的逆命题是：若a+b＞0，则a＞0，b＞0。是假命题，如3+（-2）＞0；
选项B的逆命题是：相等的角是直角。是假命题，如相等的角也可能是对顶角等等；
选项C的逆命题是：同位角相等，两直线平行。是真命题。
选项D的逆命题是：若，则a=b。是假命题，如。
故答案为：C。
【分析】每项先写出它的逆命题，C选项是平行线判定定理，其余选项的逆命题都是假命题，可以找到反例说明它们是假命题。
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、
两直线平行，则同位角相等，是真命题，故A不符合题意；
B、同旁内角互补，则两直线平行，是真命题，故B不符合题意；
C、三角形内角和为180°，是真命题，故C不符合题意；
D、三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的的内角，是假命题，故D符合题意；
故答案为内：D
【分析】根据两直线平行，同位角相等，据此判断A；根据同旁内角互补，两直线平行，据此判断B；根据三角形内角和等于180°，据此判断C；根据三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的的内角，据此判断D.
6．【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【知识点】逆命题
【解析】【解答】逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
【分析】命题有题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论，逆命题就是将原命题的题设和结论互换即可.
7．【答案】如果ac＞bc,那么a＞b
【知识点】逆命题
【解析】【解答】“如果a＞b,那么ac＞bc”的逆命题是若“ac＞bc，则a＞b.
故答案为： 如果ac＞bc,那么a＞b 。
【分析】一个命题包括题设和结论两部分，用如果“领起”的是题设，用那么“领起”的是结论，要得到一个命题的逆命题，只需要将原命题的题设和结论交换一下位置即可。
8．【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角。
故答案是：相等的角是对顶角。
【分析】一个命题包括题设和结论两部分，题设是命题的已知部分，一般用“如果”领起；结论是由已知推出的结果，一般用“那么”领起；求一个命题的逆命题，一般将原命题改写成完整版的“如果……那么……”的形式，再将其题设和结论互换位置即可。
9．【答案】x=-3,答案不唯一
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3．
故答案为-3．
【分析】因为-3＞-4，而（-3）2=9＜16，据此即得.
10．【答案】（1）证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠EMB＝∠END（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知）
∴∠EMG＝ ∠EMB，∠ENH＝ ∠END（角平分线定义），
∴ ∠EMG＝∠ENH（等量代换）
∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）
（2）解：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质；逆命题
【解析】【分析】（1）结合图形及题干，联系上下文的因果关系，根据平行线的判定定理及性质定理即可一一填出每一步的推导理由；
（2） 在第（1）小题的证明过程中， 运用了平行线的判定定理： 两直线平行，同位角相等；平行线的性质定理：同位角相等，两直线平行，这一对互逆的真命题。
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初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.5.1 互逆命题与互逆定理
一、单选题
1．（2019八上·义乌月考）某校八年级四个班的代表队准备举行篮球赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“802班得冠军，804班得第三”；乙说：“801班得第四，803班得亚军”；丙说：“803班得第三，804班得冠军”赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（ ）
A．801班 B．802班 C．803班 D．804班
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：假设甲说的802班得冠军是正确的，
∴丙说的804得冠军是错误的，803班得第三是正确的，
∴乙说的803班得亚军是错误的，801班得第四是正确的，
∴ 804班得第三是错误的，
因此三人都只猜对了一半，
故答案为：B
【分析】根据已知条件三人都只猜对了一半，因此假设甲说的前半句是正确的，再看看后面的说法有无矛盾，进行推理，可得答案。
2．（2019·余姚会考）能说明命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题的反例为（ ）
A．a=2,b=-2 B．a=1,b=0 C．a=1,b=1 D．a=-3,b=
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题的反例为
a=2，b=-2
故答案为：A
【分析】命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题的反例是a、b互为相反数，观察各选项可得到答案。
3．（2019·百色模拟）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，内错角相等
D．对顶角相等
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；对顶角及其性质；逆命题
【解析】【解答】解：A.逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角。相等的角并不一定是直角，故是假命题；
B.逆命题是：对应角相等的两个三角形是全等三角形。判定两个三角形全等没有AAA这种判定方法，故是假命题；
C.逆命题是：内错角相等，两直线平行。由平行线的判定方法知，是真命题；
D.逆命题是：相等的角是对顶角。相等的角并不一定有公共顶点，所以不一定是对顶角，故是假命题.
故答案为：C。
【分析】根据命题与逆命题的关系，分别写出各个命题的逆命题，然后根据直角的判定方法、全等三角形的判定方法、平行线的判定方法、对等角的定义即可一一判断得出答案。
4．（2019八下·南山期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a=b，则|a|=|b|
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】选项A的逆命题是：若a+b＞0，则a＞0，b＞0。是假命题，如3+（-2）＞0；
选项B的逆命题是：相等的角是直角。是假命题，如相等的角也可能是对顶角等等；
选项C的逆命题是：同位角相等，两直线平行。是真命题。
选项D的逆命题是：若，则a=b。是假命题，如。
故答案为：C。
【分析】每项先写出它的逆命题，C选项是平行线判定定理，其余选项的逆命题都是假命题，可以找到反例说明它们是假命题。
5．（2019七下·泰兴期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，则同位角相等
B．同旁内角互补，则两直线平行
C．三角形内角和为180°
D．三角形一个外角大于任何一个内角
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、
两直线平行，则同位角相等，是真命题，故A不符合题意；
B、同旁内角互补，则两直线平行，是真命题，故B不符合题意；
C、三角形内角和为180°，是真命题，故C不符合题意；
D、三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的的内角，是假命题，故D符合题意；
故答案为内：D
【分析】根据两直线平行，同位角相等，据此判断A；根据同旁内角互补，两直线平行，据此判断B；根据三角形内角和等于180°，据此判断C；根据三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的的内角，据此判断D.
二、填空题
6．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【知识点】逆命题
【解析】【解答】逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
【分析】命题有题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论，逆命题就是将原命题的题设和结论互换即可.
7．（2019七下·兴化期末）命题“如果a＞b,那么ac＞bc”的逆命题是 .
【答案】如果ac＞bc,那么a＞b
【知识点】逆命题
【解析】【解答】“如果a＞b,那么ac＞bc”的逆命题是若“ac＞bc，则a＞b.
故答案为： 如果ac＞bc,那么a＞b 。
【分析】一个命题包括题设和结论两部分，用如果“领起”的是题设，用那么“领起”的是结论，要得到一个命题的逆命题，只需要将原命题的题设和结论交换一下位置即可。
8．（2019七下·吴江期末）请写出“对顶角相等”的逆命题： .
【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角。
故答案是：相等的角是对顶角。
【分析】一个命题包括题设和结论两部分，题设是命题的已知部分，一般用“如果”领起；结论是由已知推出的结果，一般用“那么”领起；求一个命题的逆命题，一般将原命题改写成完整版的“如果……那么……”的形式，再将其题设和结论互换位置即可。
9．（2019·福州模拟）说明命题“若x>－4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是 .
【答案】x=-3,答案不唯一
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3．
故答案为-3．
【分析】因为-3＞-4，而（-3）2=9＜16，据此即得.
三、综合题
10．（2019七下·兴化期末）
（1）把下面的证明补充完整：
如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点M、N，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END.求证：MG∥NH
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠EMB＝∠END（ ）
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），
∴∠EMG＝ ∠EMB，∠ENH＝ ∠END（ ），
∴ （等量代换）
∴MG∥NH（ ）.
（2）你在第（1）小题的证明过程中，应用了哪两个互逆的真命题？请直接写出这一对互逆的真命题.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠EMB＝∠END（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知）
∴∠EMG＝ ∠EMB，∠ENH＝ ∠END（角平分线定义），
∴ ∠EMG＝∠ENH（等量代换）
∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）
（2）解：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质；逆命题
【解析】【分析】（1）结合图形及题干，联系上下文的因果关系，根据平行线的判定定理及性质定理即可一一填出每一步的推导理由；
（2） 在第（1）小题的证明过程中， 运用了平行线的判定定理： 两直线平行，同位角相等；平行线的性质定理：同位角相等，两直线平行，这一对互逆的真命题。
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