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上海市静安区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2018高二上·无锡期末）以 为准线的抛物线的标准方程是 ．
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】以 为准线的抛物线的标准方程是
故答案为：
【分析】由抛物线的准线方程得到p的值，再得到方程.
2． 7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法.
【答案】240
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】(种)，
故答案为：240.
【分析】甲、乙2人必须站在两端是，剩下的5人顺序排序是，合计.
3． 过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 .
【答案】或0
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】根据 可得，
，圆心，半径为1，
设直线的斜率为k，则，
，
直线l到圆心的距离为，
解得或，
故答案为：或0.
【分析】设直线的斜率为k，则，根据距离公式求出斜率.
4． 若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为 .
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴的焦距为，
故答案为：.
【分析】根据渐近线的方程求出c，即可求出焦距.
5． 已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 得，
，
∴
∴曲线在点 处的切线方程为，
即，
故答案为：.
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，求出直线方程.
6． 一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球.从口袋内随机取出3个球，则其中至少取到2个白球的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】，
故答案为：
【分析】总概率减去取出2个黑球和1个白球的概率，剩下的就是至少取到2个白球的概率.
7． 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 .
【答案】关于轴对称，，
【知识点】类比推理；双曲线的简单性质；曲线与方程
【解析】【解答】 ，
得，
∵，
∴，
，
在曲线方程中，以代x，得
，与方程相同，所以曲线关于y轴对称，
在曲线方程中，以代y，得
，与方程不相同，所以曲线不关于x轴对称，
故答案为：关于y轴对称，，.
【分析】根据曲线方程求出，再求出，以代x，以代y，求出关于x轴对称.
8． 已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为和，为了使制作包装的金属材料最省，的值为 .
【答案】2
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：设罐头体积为V，
根据题意可得，
，
当且仅当，
即时等号成立，
∴，
故答案为：2.
【分析】设罐头体积为V，根据题意可得，求出圆柱的面积，根据不等式求出最值.
二、单选题
9．（2022·葫芦岛模拟）的展开式中的常数项为（ ）．
A．－120 B．120 C．－60 D．60
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式中的项为，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：D．
【分析】先求出展开式的通项，令即得解.
10． 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ∵，
∴
∴物体在时的瞬时速度为，
故选：A.
【分析】求出导数，把 代入求导jike.
11． 如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4，短轴的长为2的半个椭圆，设是该图形上任意一点，则与线段的长度的最大值最接近的是（ ）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】以 短轴为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
根据题意可得，，焦点在y轴上，
∴椭圆方程为，
则，
设
，
∵，
当时，
，
故选：C.
【分析】建立坐标系，写出椭圆方程，设，写出距离，根据二次函数性质求出即可.
三、解答题
12．（2020高二上·怀仁月考）设椭圆C： 过点（0，4），离心率为 .
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．
【答案】（1）将（0，4）代入C的方程得 ，
∴ =4，又 得 ，
即 ，∴A=5， ∴C的方程为 ．
（2）过点 且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与C的交点为A ，B ，
将直线方程 代入C的方程，得 ，
即 ， AB的中点坐标 ，
，即中点为 ．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可求出 C的方程；
(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系，然后利用中点坐标公式求解.
13． 如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
（2）求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）
【答案】（1）解：设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向，
中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.
设与轴交于点，与轴交于点，连接
设圆的半径为，
则，，，
在直角中，，
所以，解得，
所以，
所以圆拱方程为，
（2）解：由题意得，，
令，得，
所以，
所以，所以.
所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【分析】 (1)、 设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向，中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，在直角中，勾股定理可得，求出r，即可解出.
(2)、 根据题意令，代入求出x，再求出.
14． 设，函数.
（1）请讨论该函数的单调性；
（2）求该函数在闭区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
由，得，
因为，
由，得，得，
由，得，得，
所以在上递增，在上递减；
（2）解：①当时，函数在区间上单调递增，
所以，
，
②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
，
由，得时，，
由，得时，，
③当时，函数在区间上单调递减，
所以，
，
综上，当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)、求出，分情况讨论可得.
(2)、①当时，函数在区间上单调递增，求出最小值.
②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
③当时，函数在区间上单调递减，综上，当时，，.
15．
（1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：；
（2）按（1）中的组合数性质公式，有.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.
【答案】（1）解：等式左边，
等式右边
，
等式左边=等式右边，原式得证.
（2）解：计数问题：一个口袋内装有大小相同的8个白球和1个黑球，从口袋取出4个球，有多少种不同取法？
解法依据：对于，即从这9个球中直接取4个球，有种取法；
对于，即第一类为取4个白球，共种取法，
第二类为取3个白球，1个黑球，共种取法，
共种取法.
所以与为该问题的两个不同的解法.
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】 (1)、 等式左边化简，等式右边化简，左边等于右边.
(2)、 解法依据：对于，即从这9个球中直接取4个球，有种取法，对于，即第一类为取4个白球，共种取法，第二类为取3个白球，1个黑球，共种取法，共种取法.
16． 在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.
（1）求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；
（2）当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.
【答案】（1）解：设，
因为，动点满足：， 分别为直线的斜率，
所以，即，
即动点的轨迹的方程为.
讨论的形状与值的关系如下：
当时，的形状为双曲线；
当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆；
当时，的形状为圆；
当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆；
（2）解：当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为.
由题意知，直线斜率存在，
联立，则，
，
则，
所以，
所以，
设到直线距离为，直线
则，
所以，平方得，
代入上式得，则，
平方得，即，
所以，得，则，
则，所以，
此时成立，
所以直线的方程为，
即或或或.
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)、 设，因为，动点满足：， 分别为直线的斜率，即动点的轨迹的方程为，分情况讨论即可求出.
(2)、 当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为，求出，设到直线距离为，直线，求出，求出，根据判别式求出即可.
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上海市静安区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2018高二上·无锡期末）以 为准线的抛物线的标准方程是 ．
2． 7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法.
3． 过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 .
4． 若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为 .
5． 已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 .
6． 一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球.从口袋内随机取出3个球，则其中至少取到2个白球的概率为 .
7． 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 .
8． 已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为和，为了使制作包装的金属材料最省，的值为 .
二、单选题
9．（2022·葫芦岛模拟）的展开式中的常数项为（ ）．
A．－120 B．120 C．－60 D．60
10． 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
11． 如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4，短轴的长为2的半个椭圆，设是该图形上任意一点，则与线段的长度的最大值最接近的是（ ）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
三、解答题
12．（2020高二上·怀仁月考）设椭圆C： 过点（0，4），离心率为 .
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．
13． 如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
（2）求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）
14． 设，函数.
（1）请讨论该函数的单调性；
（2）求该函数在闭区间上的最大值和最小值.
15．
（1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：；
（2）按（1）中的组合数性质公式，有.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.
16． 在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.
（1）求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；
（2）当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】以 为准线的抛物线的标准方程是
故答案为：
【分析】由抛物线的准线方程得到p的值，再得到方程.
2．【答案】240
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】(种)，
故答案为：240.
【分析】甲、乙2人必须站在两端是，剩下的5人顺序排序是，合计.
3．【答案】或0
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】根据 可得，
，圆心，半径为1，
设直线的斜率为k，则，
，
直线l到圆心的距离为，
解得或，
故答案为：或0.
【分析】设直线的斜率为k，则，根据距离公式求出斜率.
4．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴的焦距为，
故答案为：.
【分析】根据渐近线的方程求出c，即可求出焦距.
5．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 得，
，
∴
∴曲线在点 处的切线方程为，
即，
故答案为：.
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，求出直线方程.
6．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】，
故答案为：
【分析】总概率减去取出2个黑球和1个白球的概率，剩下的就是至少取到2个白球的概率.
7．【答案】关于轴对称，，
【知识点】类比推理；双曲线的简单性质；曲线与方程
【解析】【解答】 ，
得，
∵，
∴，
，
在曲线方程中，以代x，得
，与方程相同，所以曲线关于y轴对称，
在曲线方程中，以代y，得
，与方程不相同，所以曲线不关于x轴对称，
故答案为：关于y轴对称，，.
【分析】根据曲线方程求出，再求出，以代x，以代y，求出关于x轴对称.
8．【答案】2
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：设罐头体积为V，
根据题意可得，
，
当且仅当，
即时等号成立，
∴，
故答案为：2.
【分析】设罐头体积为V，根据题意可得，求出圆柱的面积，根据不等式求出最值.
9．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式中的项为，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：D．
【分析】先求出展开式的通项，令即得解.
10．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ∵，
∴
∴物体在时的瞬时速度为，
故选：A.
【分析】求出导数，把 代入求导jike.
11．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】以 短轴为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
根据题意可得，，焦点在y轴上，
∴椭圆方程为，
则，
设
，
∵，
当时，
，
故选：C.
【分析】建立坐标系，写出椭圆方程，设，写出距离，根据二次函数性质求出即可.
12．【答案】（1）将（0，4）代入C的方程得 ，
∴ =4，又 得 ，
即 ，∴A=5， ∴C的方程为 ．
（2）过点 且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与C的交点为A ，B ，
将直线方程 代入C的方程，得 ，
即 ， AB的中点坐标 ，
，即中点为 ．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可求出 C的方程；
(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系，然后利用中点坐标公式求解.
13．【答案】（1）解：设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向，
中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.
设与轴交于点，与轴交于点，连接
设圆的半径为，
则，，，
在直角中，，
所以，解得，
所以，
所以圆拱方程为，
（2）解：由题意得，，
令，得，
所以，
所以，所以.
所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【分析】 (1)、 设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向，中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，在直角中，勾股定理可得，求出r，即可解出.
(2)、 根据题意令，代入求出x，再求出.
14．【答案】（1）解：函数的定义域为，
由，得，
因为，
由，得，得，
由，得，得，
所以在上递增，在上递减；
（2）解：①当时，函数在区间上单调递增，
所以，
，
②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
，
由，得时，，
由，得时，，
③当时，函数在区间上单调递减，
所以，
，
综上，当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)、求出，分情况讨论可得.
(2)、①当时，函数在区间上单调递增，求出最小值.
②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
③当时，函数在区间上单调递减，综上，当时，，.
15．【答案】（1）解：等式左边，
等式右边
，
等式左边=等式右边，原式得证.
（2）解：计数问题：一个口袋内装有大小相同的8个白球和1个黑球，从口袋取出4个球，有多少种不同取法？
解法依据：对于，即从这9个球中直接取4个球，有种取法；
对于，即第一类为取4个白球，共种取法，
第二类为取3个白球，1个黑球，共种取法，
共种取法.
所以与为该问题的两个不同的解法.
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】 (1)、 等式左边化简，等式右边化简，左边等于右边.
(2)、 解法依据：对于，即从这9个球中直接取4个球，有种取法，对于，即第一类为取4个白球，共种取法，第二类为取3个白球，1个黑球，共种取法，共种取法.
16．【答案】（1）解：设，
因为，动点满足：， 分别为直线的斜率，
所以，即，
即动点的轨迹的方程为.
讨论的形状与值的关系如下：
当时，的形状为双曲线；
当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆；
当时，的形状为圆；
当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆；
（2）解：当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为.
由题意知，直线斜率存在，
联立，则，
，
则，
所以，
所以，
设到直线距离为，直线
则，
所以，平方得，
代入上式得，则，
平方得，即，
所以，得，则，
则，所以，
此时成立，
所以直线的方程为，
即或或或.
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)、 设，因为，动点满足：， 分别为直线的斜率，即动点的轨迹的方程为，分情况讨论即可求出.
(2)、 当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为，求出，设到直线距离为，直线，求出，求出，根据判别式求出即可.
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