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甘肃省酒泉市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
2．已知空间向量，，且，则实数（ ）
A．-10 B．10 C． D．4
3．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有的把握但没有的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则的观测值可能为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的图象在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C．-3 D．3
5．如图所示，在底面为正三角形的三棱柱中，若平面ABC，，则与所成的角的大小为（ ）
A．60° B．45° C．90° D．120°
6．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程，则当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为（ ）
A． B．10 C．6 D．
7．现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若方程在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若函数在R上可导，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法错误的是（ ）
A．在两个变量x与y的列联表中，当越大，两个变量有关联的可能性越大
B．若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数是-1
C．相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低
D．独立性检验一定能给出明确的结论
11．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．已知随机变量X，Y满足，若，则，
C．有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望
D．离散型随机变量服从两点分布，且，则
12．在正方体中，点M，N，P，Q分别为，，AD，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．平面平面PQN
C．二面角的余弦值为 D．二面角的余弦值为
三、填空题
13．在空间坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则、两点之间的距离为 ．
14．A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感．假设这三个地区的人口比例为4∶3∶3．现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 ．
15．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
16．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ．
四、解答题
17．已知函数，是函数的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间．
18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支持，现统计了45株抗倒伏玉米，55株易倒伏玉米的茎高情况，设茎高大于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．完成以下问题．
(参考公式及数据： 其中.)
（1）完成以下的2×2列联表：
茎高 倒伏 合计
抗倒伏 易倒伏
矮茎 15
高茎 50
合计
（2）根据（1）中的列联表，能否作出玉米倒伏与茎高有关的结论？
19．“清明时节雨纷纷”说的是长江中下游地区在清明节前后常常是阴雨天气，若某地区清明节假期的3天中，每一天下雨的概率均为，且每天是否下雨都是相互独立的．
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
（1）估计该地区这3天中恰好有1天下雨的概率；
（2）2018年到2022年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
序号x 1 2 3 4 5
降雨量y 27 26 24 22 21
研究表明，从2018年到2022年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与序号x具有线性相关关系，求回归直线方程；若该地区2024年清明节有降雨的话，降雨量约为多少？
20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，，，点P为棱DF上一点（不含端点）．
（1）当FP为何值时，；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）若P为DF中点，求点E到平面APC的距离．
21．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与者完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
（1）求随机变量的分布列及数学期望；
（2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
22．已知函数．(为自然对数的底数)
（参考数据：，）
（1）若曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：函数在区间上的平均变化率为：
，
故选A.
【分析】利用平均变化率的公式求解.
2．【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，即，解得：，
故选：B.
【分析】由向量垂直得到向量的数量积等于0，进而求得λ.
3．【答案】C
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解|：由临界值表得：，
因为有的把握但没有的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，
所以的取值范围为[5.024，6.635)，
所以的值可能是：6.625，
故选：C.
【分析】由临界值表和已知条件得出的取值范围，进而得解.
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
所以f(1)=2，，
所以f'(1)=3=k切，
函数的图象在点处的切线方程为：3x-y-1=0，
由切线和直线x+ay+1=0平行，可得：，
所以，
故选A.
【分析】先求切线方程，再利用直线平行求得参数a.
5．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；解三角形
【解析】【解答】解：取AC的中点F.连接B1C，交BC1于点E，连接EF，如图：
则EF∥AB1，所以∠BEF就是直线AB1与BC1所成的角，
设BB1=，则AB=2，
可得：BF=，EF=，BE=，
所以EF2+BE2=BF2，
所以∠BEF=90°，故选C.
【分析】先通过平移找到异面直线所成的角，再利用勾股定理求角的大小.
6．【答案】D
【知识点】线性回归方程；可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：由已知可得：，，
代入z=0.2x+a，解得：a=-2，
当x=60时，，即
所以，故选：D.
【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，求出参数a，进而求得y的估计值.
7．【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记“黄色和紫色杯子相邻”为事件A，“黄色和红色杯子也相邻”为事件B，
则事件A有种，事件B有种，
所以，
故选D.
【分析】利用相邻问题捆绑法和条件概率计算公式求解.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由 ，得：，
设，
则，
令h'(x)=0，解得：x=1或x=-1（舍去），
当时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
当时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以，
又因为，
所以，
所以 若方程在上有解，则，
故选B.
【分析】分离参数，构造函数，利用导函数求值域，进而得解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由f(x)=x2-3f'(1)x+m，得：f'(x)=2x-3f'(1)，
所以f'(1)=2-3f'(1)，解得：f'(1)= ，故A正确；
所以，，
所以，故B正确；
所以，
所以f(0)>f(1)，故C错误，D正确；
故选：ABD.
【分析】求出导函数，令x=1求得f'(1)判断A选项，令x=0求得f'(0)判断B选项，将f'(1)的值代入函数解析式，计算f(0)、f(1)，进而判断CD选项。
10．【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；独立性检验；独立性检验的应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、在两个变量x与y的列联表中，当|ad-bc|越大，则χ2越大，则两个变量有关联的可能性越大，故A正确；
B、若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数是±1，故B错误；
C、相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低，故C正确；
D、独立性检验给出的是两个变量有关系的把握的大小，不能给出明确的结论，故D错误；
故选：BD.
【分析】由独立性检验判断AD选项，由线性回归方程的性质判断B选项，由相关系数的大小与相关性的关系判断C选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、因为，所以正态曲线关于x=2对称，所以 ，故A正确；
B、因为 ，所以E(X)=10×0.4=4，D(X)=10×0.4×(1-0.4)=2.4，
又因为X+2Y=8，所以，
所以，，故B正确；
C、 有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为X，
则X的可能取值为1、2、3、4，
，，，，
所以，故C错误；
D、离散型随机变量服从两点分布，则P(X=0)+P(X=1)=1，
又因为，所以1-P(X=1)=2-5P(X=1)，解得：P(X=1)= ，
所以P(X=0)= =a，故D正确；
故答案是：ABD.
【分析】根据正态分布的性质判断A选项，根据二项分布的数学期望与方差公式求得E(X)、D(X)，再利用数学期望与方差的性质求得D(X)、D(Y)，进而判断B选项，根据超几何分布的概率公式求得对应的概率，再求数学期望即可判断C选项，根据两点分布的性质判断D选项.
12．【答案】C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】根据题意，以AB、AD、AA1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（如图）：
设AB=2，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，Q(0，1，2)，N(1，2，2)，C1(2，2，2)，P(0，1，0)，M(2，1，2)，
A、因为AA1⊥平面A1B1C1D1，QN在平面A1B1C1D1内，所以AA1⊥QN，故A正确；
B、由已知可得：AA1∥PQ，A1C1∥QN，
因为，所以AA1∥平面PQN，同理A1C1∥平面PQN，
又因为AA1∩A1C1=A1，AA1和A1C1都在平面AA1C1内，所以平面AA1C1∥平面PQN，故B正确；
C、设平面MAA1的法向量为，
因为，
所以，令x1=1，则y1=-2，所以平面MAA1的一个法向量为，
又因为AB⊥平面AA1Q，所以平面AA1Q的一个法向量为，
所以， 即二面角的余弦值为，故C错误；
D、设平面MPN、平面PNQ的法向量分别为：，
因为，
所以，令x3=1，则y3=1，z3=-1，
所以平面MPN的一个法向量为，
，z4=0，令x4=1，则y4=-1，
所以平面PNQ的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为0，故D错误；
故选：CD.
【分析】利用线面垂直证明线线垂直判断A选项，利用面面平行的判定定理判断B选项，利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值判断CD选项.
13．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为点A的坐标为(2，-1，-1)，点B的坐标为(1，2，0)，
所以，
所以，
即A、B两点之间的距离为，
故答案是：.
【分析】求空间两点A、B间的距离转化为求向量的模.
14．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：因为这三个地区的人口比例为4∶3∶3，
所以从这三个地区中任意选取一个人，则选到的人是A、B、C区的概率分别为，
又因为这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感，
所以根据全概率公式得：，
故答案是：.
【分析】利用全概率公式求解.
15．【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以在恒成立，
即在恒成立，
设，则，
令h'(x)=0，得：x=-2，
当x<-2时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x>-2时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
所以，
所以，所以，
故答案是：.
【分析】将问题转化为在恒成立，分离参数后，再利用导函数求最值即可.
16．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y， ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为3/8，
所以，整理得：x+y-xy= ，
所以该同学1所大学招生考试未通过的概率为：
(1-x)(1-y)(1- )= (1-x-y+xy)=1/8，
所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为：7/8，
故答案是：7/8.
【分析】利用独立性乘法公式和对立事件求解.
17．【答案】（1）解：由题意，，
∵是函数的一个极值点，
，解得，
当时，，
由，得或，又，
∴当或时，单调递增；
由，得，∴当时，单调递减；
所以是函数的一个极值点.
所以；
（2）解：由（1）知的单调递增区间是和，单调递减区间为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出导函数，由x=2是函数的一个极值点，可得：f'(2)=0，解方程求得参数a并检验；
（2）利用（1）中的检验结论即可.
18．【答案】（1）解：依题意可得列联表如下：
茎高 倒伏 合计
抗倒伏 易倒伏
矮茎 15 35 50
高茎 30 20 50
合计 45 55 100
（2）解：由（1）可得，
因为
因此可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据已知，结合所给信息补全列联表；
（2）结合（1）中的信息，代入公式求出，对比临界值表即可得解.
19．【答案】（1）解：依题意，该地区这3天中恰好有1天下雨的概率.
（2）解：由数表知，，，
，
，
于是，，
因此，当时，，
所以回归直线方程为，该地区2024年清明节降雨量约为.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程；二项分布
【解析】【分析】（1）利用二项分布的概率公式求解；
（2）由最小二乘法求得的值，得到y关于x的线性回归方程，取x=7求得即可.
20．【答案】（1）解：
因为直线平面，平面，
所以，又，
所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，，
令，则，
，
所以，
当时，，解得或，
因为，所以，
所以；
（2）解：由（1）可知，，
所以，，，
设平面的法向量，则 ，
令，则，所以，
设直线与平面所成角的正弦值θ，
所以 ，
所以直线与平面所成角的正弦值；
（3）解：，连接AE，由（1）（2）可知，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以平面的法向量，
则点E到平面的距离，
所以E到平面的距离1．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量垂直的坐标表示；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，令 ，根据已知求出向量的坐标，再利用垂直的坐标表示求参数t，进而求得FP；
（2）由（1）写出坐标，求平面BCF的法向量，再利用线面角公式求解；
（3）先求出平面APC的法向量，再利用点到平面的距离公式求解.
21．【答案】（1）解：由题意得，随机变量可取的值为，，，
易知，，，
则随机变量的分布列如下：
所以；
（2）解：由（1）可知，甲每轮得分，分，分的概率依次为，，，
记甲第轮的得分为，则其前轮的累计得分为，
若第一轮取球后过关，即甲获得分，则；
若第二轮取球后过关，即甲获得的分数之和为分，
有“” “”的情形，则；
若第三轮取球后过关，即甲获得的分数之和为分，
有“”， “”的情形，
则；
记“甲能过关”为事件，则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定X的可能取值，并求出取每个值所对应的概率，即可得分布列，再利用数学期望的公式求解；
（2）分别求出该同学取球1次后、2次后、3次后过关的概率，即可得解.
22．【答案】（1）解：因为，所以，
，则，
所以切线方程为，即.
（2）证明：因为，
令，，则，
显然在定义域上单调递增，
又，，
所以存在使得，即，
所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，
所以存在使得，使得，
即，
所以当时，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为，
又，，
令，，则，所以在上单调递减，
所以，即，所以，
又，所以当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导函数，再求得f(1)、f'(1)，即可写出切线的点斜式方程；
（2）构造新函数h(x)，并求导，利用导数的几何意义和零点存在定理求解.
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甘肃省酒泉市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【答案】A
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：函数在区间上的平均变化率为：
，
故选A.
【分析】利用平均变化率的公式求解.
2．已知空间向量，，且，则实数（ ）
A．-10 B．10 C． D．4
【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，即，解得：，
故选：B.
【分析】由向量垂直得到向量的数量积等于0，进而求得λ.
3．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有的把握但没有的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则的观测值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解|：由临界值表得：，
因为有的把握但没有的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，
所以的取值范围为[5.024，6.635)，
所以的值可能是：6.625，
故选：C.
【分析】由临界值表和已知条件得出的取值范围，进而得解.
4．若函数的图象在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
所以f(1)=2，，
所以f'(1)=3=k切，
函数的图象在点处的切线方程为：3x-y-1=0，
由切线和直线x+ay+1=0平行，可得：，
所以，
故选A.
【分析】先求切线方程，再利用直线平行求得参数a.
5．如图所示，在底面为正三角形的三棱柱中，若平面ABC，，则与所成的角的大小为（ ）
A．60° B．45° C．90° D．120°
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；解三角形
【解析】【解答】解：取AC的中点F.连接B1C，交BC1于点E，连接EF，如图：
则EF∥AB1，所以∠BEF就是直线AB1与BC1所成的角，
设BB1=，则AB=2，
可得：BF=，EF=，BE=，
所以EF2+BE2=BF2，
所以∠BEF=90°，故选C.
【分析】先通过平移找到异面直线所成的角，再利用勾股定理求角的大小.
6．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程，则当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为（ ）
A． B．10 C．6 D．
【答案】D
【知识点】线性回归方程；可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：由已知可得：，，
代入z=0.2x+a，解得：a=-2，
当x=60时，，即
所以，故选：D.
【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，求出参数a，进而求得y的估计值.
7．现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记“黄色和紫色杯子相邻”为事件A，“黄色和红色杯子也相邻”为事件B，
则事件A有种，事件B有种，
所以，
故选D.
【分析】利用相邻问题捆绑法和条件概率计算公式求解.
8．若方程在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由 ，得：，
设，
则，
令h'(x)=0，解得：x=1或x=-1（舍去），
当时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
当时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以，
又因为，
所以，
所以 若方程在上有解，则，
故选B.
【分析】分离参数，构造函数，利用导函数求值域，进而得解.
二、多选题
9．若函数在R上可导，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由f(x)=x2-3f'(1)x+m，得：f'(x)=2x-3f'(1)，
所以f'(1)=2-3f'(1)，解得：f'(1)= ，故A正确；
所以，，
所以，故B正确；
所以，
所以f(0)>f(1)，故C错误，D正确；
故选：ABD.
【分析】求出导函数，令x=1求得f'(1)判断A选项，令x=0求得f'(0)判断B选项，将f'(1)的值代入函数解析式，计算f(0)、f(1)，进而判断CD选项。
10．下列说法错误的是（ ）
A．在两个变量x与y的列联表中，当越大，两个变量有关联的可能性越大
B．若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数是-1
C．相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低
D．独立性检验一定能给出明确的结论
【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；独立性检验；独立性检验的应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、在两个变量x与y的列联表中，当|ad-bc|越大，则χ2越大，则两个变量有关联的可能性越大，故A正确；
B、若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数是±1，故B错误；
C、相关系数越接近于0，变量间的线性相关程度越低，故C正确；
D、独立性检验给出的是两个变量有关系的把握的大小，不能给出明确的结论，故D错误；
故选：BD.
【分析】由独立性检验判断AD选项，由线性回归方程的性质判断B选项，由相关系数的大小与相关性的关系判断C选项。
11．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．已知随机变量X，Y满足，若，则，
C．有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望
D．离散型随机变量服从两点分布，且，则
【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、因为，所以正态曲线关于x=2对称，所以 ，故A正确；
B、因为 ，所以E(X)=10×0.4=4，D(X)=10×0.4×(1-0.4)=2.4，
又因为X+2Y=8，所以，
所以，，故B正确；
C、 有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为X，
则X的可能取值为1、2、3、4，
，，，，
所以，故C错误；
D、离散型随机变量服从两点分布，则P(X=0)+P(X=1)=1，
又因为，所以1-P(X=1)=2-5P(X=1)，解得：P(X=1)= ，
所以P(X=0)= =a，故D正确；
故答案是：ABD.
【分析】根据正态分布的性质判断A选项，根据二项分布的数学期望与方差公式求得E(X)、D(X)，再利用数学期望与方差的性质求得D(X)、D(Y)，进而判断B选项，根据超几何分布的概率公式求得对应的概率，再求数学期望即可判断C选项，根据两点分布的性质判断D选项.
12．在正方体中，点M，N，P，Q分别为，，AD，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．平面平面PQN
C．二面角的余弦值为 D．二面角的余弦值为
【答案】C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】根据题意，以AB、AD、AA1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（如图）：
设AB=2，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，Q(0，1，2)，N(1，2，2)，C1(2，2，2)，P(0，1，0)，M(2，1，2)，
A、因为AA1⊥平面A1B1C1D1，QN在平面A1B1C1D1内，所以AA1⊥QN，故A正确；
B、由已知可得：AA1∥PQ，A1C1∥QN，
因为，所以AA1∥平面PQN，同理A1C1∥平面PQN，
又因为AA1∩A1C1=A1，AA1和A1C1都在平面AA1C1内，所以平面AA1C1∥平面PQN，故B正确；
C、设平面MAA1的法向量为，
因为，
所以，令x1=1，则y1=-2，所以平面MAA1的一个法向量为，
又因为AB⊥平面AA1Q，所以平面AA1Q的一个法向量为，
所以， 即二面角的余弦值为，故C错误；
D、设平面MPN、平面PNQ的法向量分别为：，
因为，
所以，令x3=1，则y3=1，z3=-1，
所以平面MPN的一个法向量为，
，z4=0，令x4=1，则y4=-1，
所以平面PNQ的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为0，故D错误；
故选：CD.
【分析】利用线面垂直证明线线垂直判断A选项，利用面面平行的判定定理判断B选项，利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值判断CD选项.
三、填空题
13．在空间坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则、两点之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为点A的坐标为(2，-1，-1)，点B的坐标为(1，2，0)，
所以，
所以，
即A、B两点之间的距离为，
故答案是：.
【分析】求空间两点A、B间的距离转化为求向量的模.
14．A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感．假设这三个地区的人口比例为4∶3∶3．现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 ．
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：因为这三个地区的人口比例为4∶3∶3，
所以从这三个地区中任意选取一个人，则选到的人是A、B、C区的概率分别为，
又因为这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感，
所以根据全概率公式得：，
故答案是：.
【分析】利用全概率公式求解.
15．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以在恒成立，
即在恒成立，
设，则，
令h'(x)=0，得：x=-2，
当x<-2时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x>-2时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
所以，
所以，所以，
故答案是：.
【分析】将问题转化为在恒成立，分离参数后，再利用导函数求最值即可.
16．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y， ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为3/8，
所以，整理得：x+y-xy= ，
所以该同学1所大学招生考试未通过的概率为：
(1-x)(1-y)(1- )= (1-x-y+xy)=1/8，
所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为：7/8，
故答案是：7/8.
【分析】利用独立性乘法公式和对立事件求解.
四、解答题
17．已知函数，是函数的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）解：由题意，，
∵是函数的一个极值点，
，解得，
当时，，
由，得或，又，
∴当或时，单调递增；
由，得，∴当时，单调递减；
所以是函数的一个极值点.
所以；
（2）解：由（1）知的单调递增区间是和，单调递减区间为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出导函数，由x=2是函数的一个极值点，可得：f'(2)=0，解方程求得参数a并检验；
（2）利用（1）中的检验结论即可.
18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支持，现统计了45株抗倒伏玉米，55株易倒伏玉米的茎高情况，设茎高大于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．完成以下问题．
(参考公式及数据： 其中.)
（1）完成以下的2×2列联表：
茎高 倒伏 合计
抗倒伏 易倒伏
矮茎 15
高茎 50
合计
（2）根据（1）中的列联表，能否作出玉米倒伏与茎高有关的结论？
【答案】（1）解：依题意可得列联表如下：
茎高 倒伏 合计
抗倒伏 易倒伏
矮茎 15 35 50
高茎 30 20 50
合计 45 55 100
（2）解：由（1）可得，
因为
因此可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据已知，结合所给信息补全列联表；
（2）结合（1）中的信息，代入公式求出，对比临界值表即可得解.
19．“清明时节雨纷纷”说的是长江中下游地区在清明节前后常常是阴雨天气，若某地区清明节假期的3天中，每一天下雨的概率均为，且每天是否下雨都是相互独立的．
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
（1）估计该地区这3天中恰好有1天下雨的概率；
（2）2018年到2022年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
序号x 1 2 3 4 5
降雨量y 27 26 24 22 21
研究表明，从2018年到2022年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与序号x具有线性相关关系，求回归直线方程；若该地区2024年清明节有降雨的话，降雨量约为多少？
【答案】（1）解：依题意，该地区这3天中恰好有1天下雨的概率.
（2）解：由数表知，，，
，
，
于是，，
因此，当时，，
所以回归直线方程为，该地区2024年清明节降雨量约为.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程；二项分布
【解析】【分析】（1）利用二项分布的概率公式求解；
（2）由最小二乘法求得的值，得到y关于x的线性回归方程，取x=7求得即可.
20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，，，点P为棱DF上一点（不含端点）．
（1）当FP为何值时，；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）若P为DF中点，求点E到平面APC的距离．
【答案】（1）解：
因为直线平面，平面，
所以，又，
所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，，
令，则，
，
所以，
当时，，解得或，
因为，所以，
所以；
（2）解：由（1）可知，，
所以，，，
设平面的法向量，则 ，
令，则，所以，
设直线与平面所成角的正弦值θ，
所以 ，
所以直线与平面所成角的正弦值；
（3）解：，连接AE，由（1）（2）可知，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以平面的法向量，
则点E到平面的距离，
所以E到平面的距离1．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量垂直的坐标表示；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，令 ，根据已知求出向量的坐标，再利用垂直的坐标表示求参数t，进而求得FP；
（2）由（1）写出坐标，求平面BCF的法向量，再利用线面角公式求解；
（3）先求出平面APC的法向量，再利用点到平面的距离公式求解.
21．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与者完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
（1）求随机变量的分布列及数学期望；
（2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
【答案】（1）解：由题意得，随机变量可取的值为，，，
易知，，，
则随机变量的分布列如下：
所以；
（2）解：由（1）可知，甲每轮得分，分，分的概率依次为，，，
记甲第轮的得分为，则其前轮的累计得分为，
若第一轮取球后过关，即甲获得分，则；
若第二轮取球后过关，即甲获得的分数之和为分，
有“” “”的情形，则；
若第三轮取球后过关，即甲获得的分数之和为分，
有“”， “”的情形，
则；
记“甲能过关”为事件，则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定X的可能取值，并求出取每个值所对应的概率，即可得分布列，再利用数学期望的公式求解；
（2）分别求出该同学取球1次后、2次后、3次后过关的概率，即可得解.
22．已知函数．(为自然对数的底数)
（参考数据：，）
（1）若曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）解：因为，所以，
，则，
所以切线方程为，即.
（2）证明：因为，
令，，则，
显然在定义域上单调递增，
又，，
所以存在使得，即，
所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，
所以存在使得，使得，
即，
所以当时，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为，
又，，
令，，则，所以在上单调递减，
所以，即，所以，
又，所以当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导函数，再求得f(1)、f'(1)，即可写出切线的点斜式方程；
（2）构造新函数h(x)，并求导，利用导数的几何意义和零点存在定理求解.
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