4。7 正多边形和圆

07-08学年度第一学期九年级数学教学案
4.7 正多边形与圆
学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；
4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
学习过程：
一、情境创设：
观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？
提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
二、探索活动：
活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念
概念： 叫做正多边形。
（注：各边相等与各角相等必须同时成立）
提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
活动二 用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系
1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；
2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。
活动三 探索正多边形的对称性
问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？
思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？
结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形
问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？
三、课堂练习
　　1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
　　2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
　　3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
　　4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
5、P144 练习 1、2
四、课堂小结
1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；
2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．
五、课堂作业：
见作业纸
07-08学年度第一学期九年级数学作业纸
内容：4.7正多边形与圆 班级 姓名 日期 月 日 等第
1、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
2、正方形 正多边形；正三角形 正多边形；菱形 正多边形。（填“是”或“不是”）
3、一个正五边形要绕它的中心至少转 度，才能和原来的正五边形重合，在不超过360度的范围内有 个。
4、有一个边长为3cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径为 。
5、观察圆内接正五边形ABCDE（如图），解答下列问题：
（1）图中以AB为底，且顶角为36°的等腰三角形有多少个？以AB
为腰，且顶角为36°的等腰三角形有多少个？请分别将它们表示出来。
（2）图中以AB为底，且底角为36°的等腰三角形有多少个？以AB
为腰，且底角为36°的等腰三角形有多少个？请分别将它们表示出来。
6、如图⑴⑵⑶⑷，M，N分别为⊙O的内接正三角
形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形ABCDE…的边
AB，BC上的点，且BM=CN，连结OM，ON，
⑴ 求图⑴中∠MON的度数
⑵ 图⑵中∠MON的度数是 。
⑶ 请探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系为 。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
7、如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．（1）求证：OP∥CB；
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．