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四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以，
故选：C.
【分析】本题考查集合中的交集，属于基础题，直接在B集合中找符合A集合的子集即可.
2．命题，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】所有的x＞0，sinx＞0，量词否定，存在一些x＞0，即 ，否定结论， ，
故选：C.
【分析】本题考查全称命题、特称命题的否定，否定命题是，有量词改变量词，否定结论.
3．水果收购商为了了解某种水果的品质，想用分层抽样的方法从500个大果，300个中果，200个小果中抽取一部分送去质检部门检验，若抽取的小果为30个，则他抽取的大果为（ ）个.
A．150 B．75 C．45 D．15
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设大果抽取个数为x，因为使用分层抽样法，
则，x=75.
故选：B.
【分析】本题考查分层抽样法的实际应用，题中给出大、中、小果的数量，使用分层抽样法，即每层抽取比例相等，即可求解.
4．已知函数，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．e
【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由题意可知，f(4)=0，f(0)=1，所以f(f(4))=1.
故选：C.
【分析】本题考查分段函数的求解，根据题中所给的分段函数，先求f(4)，再求f(f(4))即可.
5．已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的参数方程
【解析】【解答】如图所示：
由题意可知，抛物线的焦点为F（1，0），
又因为点P到y轴的距离为2，
所以点P为或，
根据勾股定理可得，
.
故选：B.
【分析】本题考查抛物线在直角坐标系中的简单应用，首先根据抛物线方程得出焦点为F（1，0），再根据题中P到y轴的距离和抛物线的方程确认P点坐标，最后根据勾股定理计算的长即可.
6．若实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】如图所示作出不等式方程组的平面区域图，
因为，所以，
在平面区域图中作出的图像，根据图像可知平移到点A时可得z的最大值，
由图可知点A（0，3），将坐标代入可得z=3.
故选：D.
【分析】本题主要考查线性规划最值问题，根据题目中所给不等式作出平面区域图，在平面区域中作 的图像，数形结合，观察最大值的取值点即可.
7．若如图所示的程序框图输出的S是43，则条件①可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】由框图可知，
将n=1，S=1输入得n=1+2=3，S=1+21=3，
n=3，S=3输入得n=3+2=5，S=3+23=11，
n=5，S=11输入得n=5+2=7，S=11+25=43，此时n=7
终止循环，输出结果，
故条件①可以为n<7 .
故选：B
【分析】按程序框图计算验证即可.
8．已知函数，直线与平行，则k的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】∵函数f(x)=2cosx，
∴f'(x)=-2sin2x
直线l1：x-ky+1=0与l2：平行，直线l2即：x+y+6=0，
∴，求得k=-1.
故选：C.
【分析】本题主要考查求函数的导数，两条直线平行的性质，由题意利用两条直线平行的性质，求得k的值.
9．已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆整理可得，，
故圆心坐标为C（0，a），半径，
设圆心到直线的距离为d，过圆内一点的直线被圆所截得的弦长为h，
则，
当d最大时弦长h最小，当直线与CA所在的直线垂直时d最大，此时
，
因所截得的最短弦的长度为2，故
，解得a=3，
故选：D.
【分析】本题主要考查直线与圆相切的弦长公式，根据题中所给圆的方程得出圆心坐标为C（0，a），半径，因为圆心到直线的距离最大时弦长是最小的，再结合直线与圆相切的弦长公式即可求出a值.
10．已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．64
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图所示在椭圆上取P点，连接PF1、PO、PF2，
根据题意可知椭圆方程中的a=4，b=2，，故焦点坐标分别为，，
又因为 ，所以，
故O为△PF1F2的外心，为直径的圆过点P，所以∠F1PF2=90°，
根据椭圆定义和勾股定理的，
故，
故选：A.
【分析】本题考查椭圆性质，根据已知条件可以求出a=4，b=2，，由此可以知道，结合椭圆的性质和勾股定理即可求解.
11．正三棱锥各顶点在同一个球面中，侧棱长为4，侧棱与底面所成角为，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图：设PM⊥底面ABC于M，则M为底面的外心，连接PM，则外接圆圆心O在PM上，且∠PAM为侧棱PA与底面所成的角，即，
∴，，
设OA=OP=R，则OM=2-R，
在△0AM中，由勾股定理得0A2=0M2+AM2，
即R2=(2-R)2+12，解得R=4，
该球的体积为.
故选：A.
【分析】本题考查多面体外接球体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力。由题意画出图形，求出三棱锥的高，设出外接球半径为R，在三角形OAM中由勾股定理列式求解R，则球的体积可求.
12．若在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为，所以，
令f(x)=ex+x，则，
因为y=ex，y=x在R上都是增函数，所以(x)在R上是增函数，
所以在[1，e]上有解，即，
令，则，所以当1≤x≤e时，g'(x)≥0，g(x)在[1，e)上单调递增，
所以a≥g(1)=0.
故选：B
【分析】由变形为，令f(x)=ex+x，从而利用(x)的单调性可得在[1，e]上有解，参变分离后可得，令，求导后利用单调性即可求解.
二、填空题
13．已知复数z满足，则z的模长为 ．
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，
所以，
故答案为：.
【分析】本题考查复数的基本概念和运算，直接使用复数模的计算公式求解即可.
14．已知函数是R上的奇函数，则点到直线的距离为 ．
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：∵函数是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x），
令x=1，则（m-1）+1=-（m-1）+1，m=1，
∴p（1，2），
∴点到直线的距离：，
故答案为：1.
【分析】本题考查奇函数的性质以及点到直线的距离公式，先根据奇函数的性质求得m=1，再依据点到直线的距离公式求得距离即可.
15．2022年12月26日凉山进入动车时代，由于客流高峰小李只买到站票，从西昌出发的动车除车头外有8节车厢，小李随机上了其中一节车厢，并在车厢内任意位置原地等候.据数据中心信息第6节车厢最中间，有一位乘客下一站下车且该座位无人购买（不考虑该座位被人抢占），求小李行走不超过1.5节车厢能坐到该座位的概率 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】如图所示，点A为第6节车厢最中间位置，
如果小李行走不超过1.5节车厢能坐到该座位，那么小李在5、6、7节车厢上车均可，
又因为一共8节车厢，所以概率为.
故答案为：.
【分析】本题考查几何概型，根据题意画出图形，确定下一站下车客人的位置，并根据图形分析出小李在哪个车厢上车行走不超过1.5节车厢能坐到该座位上，再根据写出概率即可.
16．已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的参数方程
【解析】【解答】如图所示，设M(x0，y0)，F2(c，0)，则，
所以，
又M在第一象限，即x0＞a，故∣MF2∣=ex0-a，
因为∠MPF2=30°，过M作MD⊥x轴于D，，
故，
即，
故，
解得（负值舍去）.
故答案为：.
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可.
三、解答题
17．已知函数在时取得极值．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）解：由题得，所以.
当时，，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
此时函数在时取得极值，所以.
所以，又，所以切点为(0，1)，切线斜率为1.
所以在处的切线方程.
所以在处的切线方程为.
（2）解：由（1）得，
因为，，，
.
所以在区间上的最大值为1，最小值为.
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】本题主要是利用导数研究函数的最值，
（1）因为在极值点处函数可导，所以极值点处导数为零，将函数 求导可求出a值，验证a值为2后求出切点坐标，以及斜率即可求出切线方程；
（2）由题（1）可知f（x）可能存在的极值点为f（0）、f（-2）、f（-1）、，分别求出对应值即可得出 在区间上的最大值为1，最小值为-1.
18．会理作为一座千年文化古城，气候四季如春，会理黑山羊更是当地深受人们喜爱的地方小吃.羊肉是温性食物，具有很高的营养价值，体质虚寒的人，多吃羊肉可以保暖，特别是在冬天能起到一定的效果.随着气温的连续升高，羊肉店生意也受到很大影响，一家羊肉馆特推出凡进店消费均可获赠冷饮一杯的活动，经过前一天的大力宣传后，第x天的纯利润y（百元）的数据散点图统计如下：
（1）根据散点图，判断y与x是呈正相关还是负相关（说出结论即可）；
（2）取上图中前5组数据，求y关于x的线性回归方程，为反馈新老客户，计划在第10天，投入5百元做顾客福利，请预测第10天的纯利润；
（3）从以上后5天中任取2天，求这两天恰有一天纯利润不低于2千元的概率.
参考公式：，.
参考数据：，.
【答案】（1）解：根据散点图可知y与x是呈正相关.
（2）解：，
，
所以，则，
所以y关于x的线性回归方程，
当时，，
则第10天的纯利润为（百元）
（3）解：后5天中有2天纯利润不低于2千元，
记从以上后5天中任取2天，这两天恰有一天纯利润不低于2千元为事件A，
则.
【知识点】散点图；线性回归方程；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据散点图即可判断；
(2)根据公式计算即可求解，从而可求第10天的纯利润；
(3)根据古典概型概率公式结合组合数即可求解.
19．如图，四棱锥的底面是菱形，，，.
（1）求证：平面PBD；
（2）若E为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：连接，连接，
因为底面为菱形，所以为的中点，
又，
又平面，，
平面.
（2）解：连结，由（1）知平面，
平面，
是二面角的平面角，
由题意知都是边长为2的等边三角形，所以，
又为的中点，，
因为，且为的中点，，
在Rt中，，
，
，即，
所以
二面角的余弦值为.
【知识点】两角和与差的余弦公式；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)连结PG，推导出AC⊥PG，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD.
(2)连结EG，由(1)知AC⊥平面PBD，进而∠EGB是二面角E-AC-B的平面角，由此能求出二面角E-AC-B的余弦值.
20．已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．
【答案】（1）解：由题意知，点在椭圆上，即，解得：，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
因为平分，所以直线的斜率为，
则直线为：，直线为：，
联立直线与椭圆：
消得：
解得：，，
同理可得：，，
所以
所以，
即直线的斜率为定值.
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】本题考查椭圆标准方程和过椭圆的直线问题，
（1）由题中已知条件可以确定又焦点F2的横坐标为2，又因为点A在椭圆上联立方程即可求出a2、b2的值，从而得到椭圆C的方程；
（2）因为M、N是椭圆上位于AB两侧的动点，所以AM、AN的斜率存在，设出AM、AN的斜率，写出AM、AN的方程，联立方程组求解即可.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：由，
若，则恒成立，即在上单调递增，
若，令得，即在上单调递增，
令得，即在上单调递减，
综上所述当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：由（1）得当时，在上单调递增，
当趋近于时，趋近于，不符合题意，
故，则，
所以，
令，
当时，，当时，，
故在时单调递减，在上单调递增，即，
所以，即
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0，+oo)上单调递增；a>0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性；
(2)构造新的函数，利用(1)的结论和函数极值进行求解即可.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程，的直角坐标方程；
（2）已知为曲线的圆心，点M为曲线上一动点，求的最大值．
【答案】（1）解：因为，所以，两式平方相加得：；
因为，即，即，化简得：；
所以曲线的普通方程，的直角坐标方程.
（2）解：由题意知，
点在椭圆上，则，即，且
所以，
所以当时，，
所以的最大值为.
【知识点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】本题主要考查曲线参数方程的运用，以及简单曲线的极坐标方程，
（1）根据题中所给出的C1参数方程公式变形得出，再根据C2的极坐标方程整理化简得出，即可求得曲线的普通方程，的直角坐标方程；
（2）因为N为曲线C1的圆心，故为定点，再结合题目（1）中求出的C2直角坐标方程，写出两点的距离公式从而求出最值.
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四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．命题，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．水果收购商为了了解某种水果的品质，想用分层抽样的方法从500个大果，300个中果，200个小果中抽取一部分送去质检部门检验，若抽取的小果为30个，则他抽取的大果为（ ）个.
A．150 B．75 C．45 D．15
4．已知函数，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．e
5．已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．若实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．3
7．若如图所示的程序框图输出的S是43，则条件①可以为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，直线与平行，则k的值为（ ）
A． B． C． D．1
9．已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（ ）
A．2 B． C． D．3
10．已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．64
11．正三棱锥各顶点在同一个球面中，侧棱长为4，侧棱与底面所成角为，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．若在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知复数z满足，则z的模长为 ．
14．已知函数是R上的奇函数，则点到直线的距离为 ．
15．2022年12月26日凉山进入动车时代，由于客流高峰小李只买到站票，从西昌出发的动车除车头外有8节车厢，小李随机上了其中一节车厢，并在车厢内任意位置原地等候.据数据中心信息第6节车厢最中间，有一位乘客下一站下车且该座位无人购买（不考虑该座位被人抢占），求小李行走不超过1.5节车厢能坐到该座位的概率 ．
16．已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 .
三、解答题
17．已知函数在时取得极值．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
18．会理作为一座千年文化古城，气候四季如春，会理黑山羊更是当地深受人们喜爱的地方小吃.羊肉是温性食物，具有很高的营养价值，体质虚寒的人，多吃羊肉可以保暖，特别是在冬天能起到一定的效果.随着气温的连续升高，羊肉店生意也受到很大影响，一家羊肉馆特推出凡进店消费均可获赠冷饮一杯的活动，经过前一天的大力宣传后，第x天的纯利润y（百元）的数据散点图统计如下：
（1）根据散点图，判断y与x是呈正相关还是负相关（说出结论即可）；
（2）取上图中前5组数据，求y关于x的线性回归方程，为反馈新老客户，计划在第10天，投入5百元做顾客福利，请预测第10天的纯利润；
（3）从以上后5天中任取2天，求这两天恰有一天纯利润不低于2千元的概率.
参考公式：，.
参考数据：，.
19．如图，四棱锥的底面是菱形，，，.
（1）求证：平面PBD；
（2）若E为的中点，求二面角的余弦值.
20．已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程，的直角坐标方程；
（2）已知为曲线的圆心，点M为曲线上一动点，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以，
故选：C.
【分析】本题考查集合中的交集，属于基础题，直接在B集合中找符合A集合的子集即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】所有的x＞0，sinx＞0，量词否定，存在一些x＞0，即 ，否定结论， ，
故选：C.
【分析】本题考查全称命题、特称命题的否定，否定命题是，有量词改变量词，否定结论.
3．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设大果抽取个数为x，因为使用分层抽样法，
则，x=75.
故选：B.
【分析】本题考查分层抽样法的实际应用，题中给出大、中、小果的数量，使用分层抽样法，即每层抽取比例相等，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由题意可知，f(4)=0，f(0)=1，所以f(f(4))=1.
故选：C.
【分析】本题考查分段函数的求解，根据题中所给的分段函数，先求f(4)，再求f(f(4))即可.
5．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的参数方程
【解析】【解答】如图所示：
由题意可知，抛物线的焦点为F（1，0），
又因为点P到y轴的距离为2，
所以点P为或，
根据勾股定理可得，
.
故选：B.
【分析】本题考查抛物线在直角坐标系中的简单应用，首先根据抛物线方程得出焦点为F（1，0），再根据题中P到y轴的距离和抛物线的方程确认P点坐标，最后根据勾股定理计算的长即可.
6．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】如图所示作出不等式方程组的平面区域图，
因为，所以，
在平面区域图中作出的图像，根据图像可知平移到点A时可得z的最大值，
由图可知点A（0，3），将坐标代入可得z=3.
故选：D.
【分析】本题主要考查线性规划最值问题，根据题目中所给不等式作出平面区域图，在平面区域中作 的图像，数形结合，观察最大值的取值点即可.
7．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】由框图可知，
将n=1，S=1输入得n=1+2=3，S=1+21=3，
n=3，S=3输入得n=3+2=5，S=3+23=11，
n=5，S=11输入得n=5+2=7，S=11+25=43，此时n=7
终止循环，输出结果，
故条件①可以为n<7 .
故选：B
【分析】按程序框图计算验证即可.
8．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】∵函数f(x)=2cosx，
∴f'(x)=-2sin2x
直线l1：x-ky+1=0与l2：平行，直线l2即：x+y+6=0，
∴，求得k=-1.
故选：C.
【分析】本题主要考查求函数的导数，两条直线平行的性质，由题意利用两条直线平行的性质，求得k的值.
9．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆整理可得，，
故圆心坐标为C（0，a），半径，
设圆心到直线的距离为d，过圆内一点的直线被圆所截得的弦长为h，
则，
当d最大时弦长h最小，当直线与CA所在的直线垂直时d最大，此时
，
因所截得的最短弦的长度为2，故
，解得a=3，
故选：D.
【分析】本题主要考查直线与圆相切的弦长公式，根据题中所给圆的方程得出圆心坐标为C（0，a），半径，因为圆心到直线的距离最大时弦长是最小的，再结合直线与圆相切的弦长公式即可求出a值.
10．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图所示在椭圆上取P点，连接PF1、PO、PF2，
根据题意可知椭圆方程中的a=4，b=2，，故焦点坐标分别为，，
又因为 ，所以，
故O为△PF1F2的外心，为直径的圆过点P，所以∠F1PF2=90°，
根据椭圆定义和勾股定理的，
故，
故选：A.
【分析】本题考查椭圆性质，根据已知条件可以求出a=4，b=2，，由此可以知道，结合椭圆的性质和勾股定理即可求解.
11．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图：设PM⊥底面ABC于M，则M为底面的外心，连接PM，则外接圆圆心O在PM上，且∠PAM为侧棱PA与底面所成的角，即，
∴，，
设OA=OP=R，则OM=2-R，
在△0AM中，由勾股定理得0A2=0M2+AM2，
即R2=(2-R)2+12，解得R=4，
该球的体积为.
故选：A.
【分析】本题考查多面体外接球体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力。由题意画出图形，求出三棱锥的高，设出外接球半径为R，在三角形OAM中由勾股定理列式求解R，则球的体积可求.
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为，所以，
令f(x)=ex+x，则，
因为y=ex，y=x在R上都是增函数，所以(x)在R上是增函数，
所以在[1，e]上有解，即，
令，则，所以当1≤x≤e时，g'(x)≥0，g(x)在[1，e)上单调递增，
所以a≥g(1)=0.
故选：B
【分析】由变形为，令f(x)=ex+x，从而利用(x)的单调性可得在[1，e]上有解，参变分离后可得，令，求导后利用单调性即可求解.
13．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，
所以，
故答案为：.
【分析】本题考查复数的基本概念和运算，直接使用复数模的计算公式求解即可.
14．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：∵函数是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x），
令x=1，则（m-1）+1=-（m-1）+1，m=1，
∴p（1，2），
∴点到直线的距离：，
故答案为：1.
【分析】本题考查奇函数的性质以及点到直线的距离公式，先根据奇函数的性质求得m=1，再依据点到直线的距离公式求得距离即可.
15．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】如图所示，点A为第6节车厢最中间位置，
如果小李行走不超过1.5节车厢能坐到该座位，那么小李在5、6、7节车厢上车均可，
又因为一共8节车厢，所以概率为.
故答案为：.
【分析】本题考查几何概型，根据题意画出图形，确定下一站下车客人的位置，并根据图形分析出小李在哪个车厢上车行走不超过1.5节车厢能坐到该座位上，再根据写出概率即可.
16．【答案】
【知识点】双曲线的参数方程
【解析】【解答】如图所示，设M(x0，y0)，F2(c，0)，则，
所以，
又M在第一象限，即x0＞a，故∣MF2∣=ex0-a，
因为∠MPF2=30°，过M作MD⊥x轴于D，，
故，
即，
故，
解得（负值舍去）.
故答案为：.
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可.
17．【答案】（1）解：由题得，所以.
当时，，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
此时函数在时取得极值，所以.
所以，又，所以切点为(0，1)，切线斜率为1.
所以在处的切线方程.
所以在处的切线方程为.
（2）解：由（1）得，
因为，，，
.
所以在区间上的最大值为1，最小值为.
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】本题主要是利用导数研究函数的最值，
（1）因为在极值点处函数可导，所以极值点处导数为零，将函数 求导可求出a值，验证a值为2后求出切点坐标，以及斜率即可求出切线方程；
（2）由题（1）可知f（x）可能存在的极值点为f（0）、f（-2）、f（-1）、，分别求出对应值即可得出 在区间上的最大值为1，最小值为-1.
18．【答案】（1）解：根据散点图可知y与x是呈正相关.
（2）解：，
，
所以，则，
所以y关于x的线性回归方程，
当时，，
则第10天的纯利润为（百元）
（3）解：后5天中有2天纯利润不低于2千元，
记从以上后5天中任取2天，这两天恰有一天纯利润不低于2千元为事件A，
则.
【知识点】散点图；线性回归方程；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据散点图即可判断；
(2)根据公式计算即可求解，从而可求第10天的纯利润；
(3)根据古典概型概率公式结合组合数即可求解.
19．【答案】（1）解：连接，连接，
因为底面为菱形，所以为的中点，
又，
又平面，，
平面.
（2）解：连结，由（1）知平面，
平面，
是二面角的平面角，
由题意知都是边长为2的等边三角形，所以，
又为的中点，，
因为，且为的中点，，
在Rt中，，
，
，即，
所以
二面角的余弦值为.
【知识点】两角和与差的余弦公式；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)连结PG，推导出AC⊥PG，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD.
(2)连结EG，由(1)知AC⊥平面PBD，进而∠EGB是二面角E-AC-B的平面角，由此能求出二面角E-AC-B的余弦值.
20．【答案】（1）解：由题意知，点在椭圆上，即，解得：，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
因为平分，所以直线的斜率为，
则直线为：，直线为：，
联立直线与椭圆：
消得：
解得：，，
同理可得：，，
所以
所以，
即直线的斜率为定值.
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】本题考查椭圆标准方程和过椭圆的直线问题，
（1）由题中已知条件可以确定又焦点F2的横坐标为2，又因为点A在椭圆上联立方程即可求出a2、b2的值，从而得到椭圆C的方程；
（2）因为M、N是椭圆上位于AB两侧的动点，所以AM、AN的斜率存在，设出AM、AN的斜率，写出AM、AN的方程，联立方程组求解即可.
21．【答案】（1）解：由，
若，则恒成立，即在上单调递增，
若，令得，即在上单调递增，
令得，即在上单调递减，
综上所述当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：由（1）得当时，在上单调递增，
当趋近于时，趋近于，不符合题意，
故，则，
所以，
令，
当时，，当时，，
故在时单调递减，在上单调递增，即，
所以，即
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0，+oo)上单调递增；a>0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性；
(2)构造新的函数，利用(1)的结论和函数极值进行求解即可.
22．【答案】（1）解：因为，所以，两式平方相加得：；
因为，即，即，化简得：；
所以曲线的普通方程，的直角坐标方程.
（2）解：由题意知，
点在椭圆上，则，即，且
所以，
所以当时，，
所以的最大值为.
【知识点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】本题主要考查曲线参数方程的运用，以及简单曲线的极坐标方程，
（1）根据题中所给出的C1参数方程公式变形得出，再根据C2的极坐标方程整理化简得出，即可求得曲线的普通方程，的直角坐标方程；
（2）因为N为曲线C1的圆心，故为定点，再结合题目（1）中求出的C2直角坐标方程，写出两点的距离公式从而求出最值.
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