2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习
一、基础达标
1．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）下列命题中错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4－2 D．3 －4
3．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）在平行四边形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是 .(填序号)
4．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，求证：△ABE≌△BCF.
二、能力提升
5．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.
求证：AB＝EF.
6．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
7．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE＝1.若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A选项中对角线互相平分的四边形是平行四边形是真命题；
B选项中对角线相等的平行四边形是矩形是真命题；
C选项中一条对角线平分一组对角的四边形并不一定是菱形，所以这是假命题；
D选项中对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题。
故答案为：C
【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理3；对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定定理2；对角线互相垂直的矩形是正方形是正方形的判定方法；而一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形是菱形的判定方法，而C选项中的命题少了“平行”这个条件，所以是不正确的。
2．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】连接AC，交BD与点O
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=45°，∠AOE=90°
∵∠BAE=22.5°，
∴∠EAO=22.5°
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∵AE=AE，
∴ΔAEF≌ΔAEO（AAS）
∴OE=EF
设EF=x，由勾股定理可知，BO=AO=，BE=BF=EF，
∵BO=BE+EO，∴，解得：x=，
即EF=
故答案为：C。
【分析】根据正方形的性质可得AC与BD互相垂直且平分，由∠BAC与∠BAE的度数可知∠EAO与∠BAE相等，再由∠EFA与∠AOE都是直角，加上AE这条公共边可知三角形AEF全等于三角形AEO，所以OE=EF，因为三角形BEF是等腰直角三角形，所以BF=EF，根据勾股定理可知BE=，BO=，设EF=x，则BO=BE+EO，即，解得x的值即为EF的值。
3．【答案】①③④
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①AB⊥AD说明有一个角是直角，AB=AD说明有一组邻边相等，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以正确；
②AB=BD说明一条边与对角线相等，AB⊥BD说明一条边与对角线垂直，没有这样的判定条件可以判定平行四边形是正方形，所以错误；
③OB=OC说明对角线相等，OB⊥OC说明对角线互相垂直，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，所以正确；
④AB=AD说明有一组邻边相等，AC=BD说明对角线相等，有一组邻边相等，对角线相等的平行四边形是正方形，所以正确。
故答案为：①③④
【分析】①中有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形，这是正方形的定义，所以能判定平行四边形ABCD是正方形；③中对角线相等说明这个平行四边形是矩形，且对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形，所以这个平行四边形是正方形；④中一组邻边相等说明这个平行四边形是菱形，对角线相等说明这个平行四边形是矩形，所以这个平行四边形是正方形，唯独②中的条件不能判定这个平行四边形是正方形。
4．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°
∵BE=CF，
∴ΔABE≌ΔBCF（SAS）
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【分析】由正方形的性质可知AB与BC相等，且∠ABC与∠C都是直角，再加上已知条件给出的BE与CF相等，就可以判定三角形ABE与三角形BCF全等。
5．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAC=90°
∵EF⊥AM，
∴∠EFA=90°
∵∠MAB+∠MAE=90°，∠EAM+∠E=90°，
∴∠MAB=∠E
∵AE=AM，
∴ΔABM≌ΔEFA
∴AB=EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形是正方形，可知角B与角BAC都是直角，再由EF与AM垂直，可知角E与角EAF互余，由同角的余角相等可知角E与角BAM相等，与已知条件中的AE与AM相等，即可判断三角形AEF与三角形ABM全等，再由全等三角形的对应边相等，即可证得AB与EF相等。
6．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
7．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】做点E关于BD的对称点交BC于点F，连接AF，由轴对称的性质可知BE=BF=1，与DB相交于点P，此时AF的长即为PA+PE的最小值，根据勾股定理AF==
故答案为：
【分析】此题是将军饮马问题，解决这个问题首先做点E关于BD的对称点，再根据两点之间线段最短，连接A与F两点，与BD的交点即为PA+PE的最小值，再通过勾股定理即可求得PA+PE的最小值。
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一、基础达标
1．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）下列命题中错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A选项中对角线互相平分的四边形是平行四边形是真命题；
B选项中对角线相等的平行四边形是矩形是真命题；
C选项中一条对角线平分一组对角的四边形并不一定是菱形，所以这是假命题；
D选项中对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题。
故答案为：C
【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理3；对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定定理2；对角线互相垂直的矩形是正方形是正方形的判定方法；而一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形是菱形的判定方法，而C选项中的命题少了“平行”这个条件，所以是不正确的。
2．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4－2 D．3 －4
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】连接AC，交BD与点O
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=45°，∠AOE=90°
∵∠BAE=22.5°，
∴∠EAO=22.5°
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∵AE=AE，
∴ΔAEF≌ΔAEO（AAS）
∴OE=EF
设EF=x，由勾股定理可知，BO=AO=，BE=BF=EF，
∵BO=BE+EO，∴，解得：x=，
即EF=
故答案为：C。
【分析】根据正方形的性质可得AC与BD互相垂直且平分，由∠BAC与∠BAE的度数可知∠EAO与∠BAE相等，再由∠EFA与∠AOE都是直角，加上AE这条公共边可知三角形AEF全等于三角形AEO，所以OE=EF，因为三角形BEF是等腰直角三角形，所以BF=EF，根据勾股定理可知BE=，BO=，设EF=x，则BO=BE+EO，即，解得x的值即为EF的值。
3．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）在平行四边形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是 .(填序号)
【答案】①③④
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①AB⊥AD说明有一个角是直角，AB=AD说明有一组邻边相等，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以正确；
②AB=BD说明一条边与对角线相等，AB⊥BD说明一条边与对角线垂直，没有这样的判定条件可以判定平行四边形是正方形，所以错误；
③OB=OC说明对角线相等，OB⊥OC说明对角线互相垂直，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，所以正确；
④AB=AD说明有一组邻边相等，AC=BD说明对角线相等，有一组邻边相等，对角线相等的平行四边形是正方形，所以正确。
故答案为：①③④
【分析】①中有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形，这是正方形的定义，所以能判定平行四边形ABCD是正方形；③中对角线相等说明这个平行四边形是矩形，且对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形，所以这个平行四边形是正方形；④中一组邻边相等说明这个平行四边形是菱形，对角线相等说明这个平行四边形是矩形，所以这个平行四边形是正方形，唯独②中的条件不能判定这个平行四边形是正方形。
4．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，求证：△ABE≌△BCF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°
∵BE=CF，
∴ΔABE≌ΔBCF（SAS）
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【分析】由正方形的性质可知AB与BC相等，且∠ABC与∠C都是直角，再加上已知条件给出的BE与CF相等，就可以判定三角形ABE与三角形BCF全等。
二、能力提升
5．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.
求证：AB＝EF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAC=90°
∵EF⊥AM，
∴∠EFA=90°
∵∠MAB+∠MAE=90°，∠EAM+∠E=90°，
∴∠MAB=∠E
∵AE=AM，
∴ΔABM≌ΔEFA
∴AB=EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形是正方形，可知角B与角BAC都是直角，再由EF与AM垂直，可知角E与角EAF互余，由同角的余角相等可知角E与角BAM相等，与已知条件中的AE与AM相等，即可判断三角形AEF与三角形ABM全等，再由全等三角形的对应边相等，即可证得AB与EF相等。
6．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
7．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE＝1.若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】做点E关于BD的对称点交BC于点F，连接AF，由轴对称的性质可知BE=BF=1，与DB相交于点P，此时AF的长即为PA+PE的最小值，根据勾股定理AF==
故答案为：
【分析】此题是将军饮马问题，解决这个问题首先做点E关于BD的对称点，再根据两点之间线段最短，连接A与F两点，与BD的交点即为PA+PE的最小值，再通过勾股定理即可求得PA+PE的最小值。
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