2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.2菱形（2）同步练习
一、基础达标
1．下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，并且有一条对角线平分一组内角
C．两条对角线互相平分，并且有一组邻角相等
D．一组对边平行，一组对边相等，并且对角线互相垂直
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A选项一组对边平行且相等，可以判断这是个平行四边形，有一个角是直角的平行四边形可以判定是矩形，所以不对；
B选项两组对边分别相等，可以判断这是个平行四边形，有一条对角线平分一组内角的平行四边形可以判定是菱形，所以正确；
C选项两条对角线互相平分，可以判断这是个平行四边形，一组邻角相等可以判断这两个角都是直角，可以判定是矩形，所以不对；
D选项一组对边平行，一组对边相等，不能判断是个平行四边形，即使有对角线互相垂直也不能判定是菱形，所以不对。
故答案为：B
【分析】判定一个四边形是否是菱形，先判定这个四边形是否是平行四边形，判定一个四边形是否是平行四边形，可以有一组对边平行且相等，两组对边分别相等，两条对角线互相平分，而一组对边平行，一组对边相等不能判定一个四边形是否是平行四边形，所以D不对，而A中的有一个角是直角不能判定是菱形，一组邻角相等判定两个角是直角，也不能判定是菱形，所以只有B选项是正确的。
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加的下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A选项中AC⊥BD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形；
B选项中AB=BC加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形；
C选项中AC=BD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是矩形；
D选项中∠1=∠2加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形。
故答案为：C
【分析】判定一个平行四边形是否是菱形，在平行四边形这个条件上加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角，而对角线相等这个条件只能判定这个平行四边形是矩形，并不是菱形。
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD。求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C
∵AE=CF，∠AED=∠CFD，
∴ΔAED≌ΔCFD（ASA）
（2）证明：∵ΔAED≌ΔCFD，
∴AD=DC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可知∠A=∠C，再加上已知条件中AE=CF，∠AED=∠CFD，即可证得ΔAED≌ΔCFD；
（2）由（1）中ΔAED≌ΔCFD可知全等三角形的对应边相等，即AD=DC，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得四边形ABCD是菱形。
4．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
（2）连接BE，DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）解：直线EF即为所求；
（2）解：四边形BEDF是菱形。理由是：
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，BF=FC，BO=DO，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠BOF=∠EOD，
∴ΔBOF≌ΔDOE（ASA）
∴DE=BF
∴四边形BEDF是菱形。
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）做线段BD的垂直平分线是基本作图之一，分别以这两个点为圆心，以大于BD一半的长为半径画弧，在BD的两侧有两个交点，过这两个交点画出的直线就是BD的垂直平分线；
（2）先判断四边形BEDF是菱形，再说明理由，由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可以得EB=ED，BF=FC，再根据全等三角形的判定得到三角形BOF与三角形DOE全等，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形BEDF是平行四边形，即可证得四边形BEDF是菱形。
二、能力提升
5．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴ΔDAO≌ΔBCO（AAS）
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD==24
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由AD与BC平行可知∠ADO与∠CBO，∠DAO与∠BCO这两组内错角相等，再由O为AC的中点可知AO与CO相等，可以判定三角形ADO与三角形BCO全等，而全等三角形的对应边相等，可知BO=DO，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形；
（2）由AC垂直于BD，再加上（1）中的四边形ABCD是平行四边形，可知四边形ABCD是菱形，而菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得四边形ABCD的面积。
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
（1）求证：AF＝CE.
（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE∥AC且AC=2DE，
∵EF=2DE，∴EF=AC
∴四边形ACEF是平行四边形
∴AF=CE
（2）解：四边形ACEF是菱形。理由是：
∵∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴CE=AE，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=AE，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形。
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可知，AC与DF平行且DE等于AC的一半，再由已知条件DE等于EF的一半，所以EF与AC即平行又相等，所以四边形ACEF是平行四边形，再由平行四边形的对边相等，即可证得AF=CE；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知AE与EC相等，再由已知中30度所对的直角边等于斜边的一半，可知AC=AE，由此得到AC=CE，再由（1）中的四边形ACEF是平行四边形，即可说明四边形ACEF是菱形。
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝ ，BD＝2，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC
同理得：AD=AB，
∴AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∵BD=2BO=2，∴BO=1
∵AO=
∴AO=2，
∴AC=2AO=4
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，AO=CO，
∴OE==2
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由AB与DC平行，可知∠DCA与∠CAB这一组内错角相等，再由已知条件中AC平分∠BAD，可知∠DAC与∠CAB相等，即可得到∠DAC与∠DCA相等，由等角对等边可知AD与DC相等，同理可知AD与AB相等，所以AB与DC这一组对边相等，再由AB与DC平行，可以判定四边形ABCD是平行四边形，再由已知中的AB与AD这一组邻边相等，即可证得四边形ABCD是菱形；
（2）由四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理可以求得AO的长，即可得到AC的长，再由CE与AE垂直，可知三角形ACE是直角三角形，点O是斜边AC上的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得OE的长。
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一、基础达标
1．下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，并且有一条对角线平分一组内角
C．两条对角线互相平分，并且有一组邻角相等
D．一组对边平行，一组对边相等，并且对角线互相垂直
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加的下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD。求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
4．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
（2）连接BE，DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
二、能力提升
5．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
（1）求证：AF＝CE.
（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由．
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝ ，BD＝2，求OE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A选项一组对边平行且相等，可以判断这是个平行四边形，有一个角是直角的平行四边形可以判定是矩形，所以不对；
B选项两组对边分别相等，可以判断这是个平行四边形，有一条对角线平分一组内角的平行四边形可以判定是菱形，所以正确；
C选项两条对角线互相平分，可以判断这是个平行四边形，一组邻角相等可以判断这两个角都是直角，可以判定是矩形，所以不对；
D选项一组对边平行，一组对边相等，不能判断是个平行四边形，即使有对角线互相垂直也不能判定是菱形，所以不对。
故答案为：B
【分析】判定一个四边形是否是菱形，先判定这个四边形是否是平行四边形，判定一个四边形是否是平行四边形，可以有一组对边平行且相等，两组对边分别相等，两条对角线互相平分，而一组对边平行，一组对边相等不能判定一个四边形是否是平行四边形，所以D不对，而A中的有一个角是直角不能判定是菱形，一组邻角相等判定两个角是直角，也不能判定是菱形，所以只有B选项是正确的。
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A选项中AC⊥BD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形；
B选项中AB=BC加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形；
C选项中AC=BD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是矩形；
D选项中∠1=∠2加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形。
故答案为：C
【分析】判定一个平行四边形是否是菱形，在平行四边形这个条件上加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角，而对角线相等这个条件只能判定这个平行四边形是矩形，并不是菱形。
3．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C
∵AE=CF，∠AED=∠CFD，
∴ΔAED≌ΔCFD（ASA）
（2）证明：∵ΔAED≌ΔCFD，
∴AD=DC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可知∠A=∠C，再加上已知条件中AE=CF，∠AED=∠CFD，即可证得ΔAED≌ΔCFD；
（2）由（1）中ΔAED≌ΔCFD可知全等三角形的对应边相等，即AD=DC，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得四边形ABCD是菱形。
4．【答案】（1）解：直线EF即为所求；
（2）解：四边形BEDF是菱形。理由是：
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，BF=FC，BO=DO，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠BOF=∠EOD，
∴ΔBOF≌ΔDOE（ASA）
∴DE=BF
∴四边形BEDF是菱形。
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）做线段BD的垂直平分线是基本作图之一，分别以这两个点为圆心，以大于BD一半的长为半径画弧，在BD的两侧有两个交点，过这两个交点画出的直线就是BD的垂直平分线；
（2）先判断四边形BEDF是菱形，再说明理由，由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可以得EB=ED，BF=FC，再根据全等三角形的判定得到三角形BOF与三角形DOE全等，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形BEDF是平行四边形，即可证得四边形BEDF是菱形。
5．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴ΔDAO≌ΔBCO（AAS）
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD==24
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由AD与BC平行可知∠ADO与∠CBO，∠DAO与∠BCO这两组内错角相等，再由O为AC的中点可知AO与CO相等，可以判定三角形ADO与三角形BCO全等，而全等三角形的对应边相等，可知BO=DO，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形；
（2）由AC垂直于BD，再加上（1）中的四边形ABCD是平行四边形，可知四边形ABCD是菱形，而菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得四边形ABCD的面积。
6．【答案】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE∥AC且AC=2DE，
∵EF=2DE，∴EF=AC
∴四边形ACEF是平行四边形
∴AF=CE
（2）解：四边形ACEF是菱形。理由是：
∵∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴CE=AE，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=AE，
∴AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形。
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可知，AC与DF平行且DE等于AC的一半，再由已知条件DE等于EF的一半，所以EF与AC即平行又相等，所以四边形ACEF是平行四边形，再由平行四边形的对边相等，即可证得AF=CE；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知AE与EC相等，再由已知中30度所对的直角边等于斜边的一半，可知AC=AE，由此得到AC=CE，再由（1）中的四边形ACEF是平行四边形，即可说明四边形ACEF是菱形。
7．【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC
同理得：AD=AB，
∴AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∵BD=2BO=2，∴BO=1
∵AO=
∴AO=2，
∴AC=2AO=4
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，AO=CO，
∴OE==2
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由AB与DC平行，可知∠DCA与∠CAB这一组内错角相等，再由已知条件中AC平分∠BAD，可知∠DAC与∠CAB相等，即可得到∠DAC与∠DCA相等，由等角对等边可知AD与DC相等，同理可知AD与AB相等，所以AB与DC这一组对边相等，再由AB与DC平行，可以判定四边形ABCD是平行四边形，再由已知中的AB与AD这一组邻边相等，即可证得四边形ABCD是菱形；
（2）由四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理可以求得AO的长，即可得到AC的长，再由CE与AE垂直，可知三角形ACE是直角三角形，点O是斜边AC上的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得OE的长。
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