2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是矩形
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合题意，正确；
B选项，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不符合题意，错误；
C选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意，错误；
D选项，对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意，错误。
故答案为：A。
【分析】判断事物的语句叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，根据四边形的判定方法进行判断即可。
2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，∴∠A=∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；
B选项，根据平行四边形的性质可得，∠A=∠C，∴根据∠A=∠C不等判断平行四边形ABCD为矩形；
C选项，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD的对角线相等，∴平行四边形ABCD为矩形；
D选项，∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形。
故答案为：B。
【分析】根据矩形的判定定理，检验四个条件是否符合题意即可。
3．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（ ）
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC＝BD时，它为矩形
【答案】C
【知识点】中点四边形
【解析】【解答】连接AC，在三角形ACD中，HG为三角形的中位线，AC=2HG；同理可得，在三角形ABC中，AC=2EF，∴HG=EF
同理可得，HE=CF。
∴四边形ABCD为平行四边形，A选项错误；
∵平行四边形为中心对称图形，∴B选项错误；
当AC=BD时，四边形GHEF的四条边均相等，四边形GHEF为菱形，是轴对称图形，∴C选项正确，D选项错误。
【分析】根据平行四边形，图形的中心对称，矩形以及图形的轴对称的知识即可进行作答。
二、填空题
4．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是： ．(不再添加线或字母，写出一种情况即可)
【答案】AD＝BC(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加条件AD=BC
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵∠D=90°
∴四边形ABCD为矩形。
故答案为：AD=BC。
【分析】根据题意添加一个条件，根据现有条件证明四边形ABCD为平行四边形，根据∠D=90°，证明矩形即可。
三、解答题
5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF,
即BF=CE
又∵AF=DE
∴△ABF≌△DCE
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=90°
∴平行四边形ABCD为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合三角形全等的判定定理即可证明△ABF≌△DCE；
（2）根据（1）中的结论，∠B=∠C=90°，根据一个内角为90°的平行四边形为矩形即可求得结论。
6．如图，已知AB＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
（1）求证：△DCA≌△EAC.
（2）只需添加一个条件，即 ▲ ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
【答案】（1）证明：在△DCA和△EAC中，
∵DC=EA，AD=CE，AC=CA，
∴△DCA≌△EAC。
（2）添加条件AD=BC，
∵AB=DC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵CE⊥AE，∴∠E=90°
根据（1）可得△DCA≌△EAC
∴∠A=∠E=90°
∴四边形ABCD为矩形。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据SSS证明△DCA≌△EAC即可。
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，根据全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得到结论。
7．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE
∵点E为AD的中点
∴AE=DE
在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE，∠EAF=∠CDE，AE=DE
∴△AEF≌△DEC
（2）解：若AB=AC，∴四边形AFBD为矩形，理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD
∴四边形AFBD是平行四边形
∵△AEF≌△DEC
∴AF=CD
∵AF=BD
∴CD=BD
∵AB=AC,BD=CD
∴∠ADB=90°
∴平行四边形AFBD为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出角度相等，根据角角边的判定定理证明三角形全等；
（2）根据（1）的条件，可以证明四边形AFBD为平行四边形，根据等腰三角形的三线合一定理求得∠ADB=90°，证明四边形AFBD为矩形即可。
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一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是矩形
2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
3．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（ ）
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC＝BD时，它为矩形
二、填空题
4．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是： ．(不再添加线或字母，写出一种情况即可)
三、解答题
5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
6．如图，已知AB＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
（1）求证：△DCA≌△EAC.
（2）只需添加一个条件，即 ▲ ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
7．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合题意，正确；
B选项，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不符合题意，错误；
C选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意，错误；
D选项，对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意，错误。
故答案为：A。
【分析】判断事物的语句叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，根据四边形的判定方法进行判断即可。
2．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，∴∠A=∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；
B选项，根据平行四边形的性质可得，∠A=∠C，∴根据∠A=∠C不等判断平行四边形ABCD为矩形；
C选项，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD的对角线相等，∴平行四边形ABCD为矩形；
D选项，∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形。
故答案为：B。
【分析】根据矩形的判定定理，检验四个条件是否符合题意即可。
3．【答案】C
【知识点】中点四边形
【解析】【解答】连接AC，在三角形ACD中，HG为三角形的中位线，AC=2HG；同理可得，在三角形ABC中，AC=2EF，∴HG=EF
同理可得，HE=CF。
∴四边形ABCD为平行四边形，A选项错误；
∵平行四边形为中心对称图形，∴B选项错误；
当AC=BD时，四边形GHEF的四条边均相等，四边形GHEF为菱形，是轴对称图形，∴C选项正确，D选项错误。
【分析】根据平行四边形，图形的中心对称，矩形以及图形的轴对称的知识即可进行作答。
4．【答案】AD＝BC(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加条件AD=BC
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵∠D=90°
∴四边形ABCD为矩形。
故答案为：AD=BC。
【分析】根据题意添加一个条件，根据现有条件证明四边形ABCD为平行四边形，根据∠D=90°，证明矩形即可。
5．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF,
即BF=CE
又∵AF=DE
∴△ABF≌△DCE
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=90°
∴平行四边形ABCD为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合三角形全等的判定定理即可证明△ABF≌△DCE；
（2）根据（1）中的结论，∠B=∠C=90°，根据一个内角为90°的平行四边形为矩形即可求得结论。
6．【答案】（1）证明：在△DCA和△EAC中，
∵DC=EA，AD=CE，AC=CA，
∴△DCA≌△EAC。
（2）添加条件AD=BC，
∵AB=DC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵CE⊥AE，∴∠E=90°
根据（1）可得△DCA≌△EAC
∴∠A=∠E=90°
∴四边形ABCD为矩形。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据SSS证明△DCA≌△EAC即可。
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，根据全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得到结论。
7．【答案】（1）证明：∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE
∵点E为AD的中点
∴AE=DE
在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE，∠EAF=∠CDE，AE=DE
∴△AEF≌△DEC
（2）解：若AB=AC，∴四边形AFBD为矩形，理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD
∴四边形AFBD是平行四边形
∵△AEF≌△DEC
∴AF=CD
∵AF=BD
∴CD=BD
∵AB=AC,BD=CD
∴∠ADB=90°
∴平行四边形AFBD为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出角度相等，根据角角边的判定定理证明三角形全等；
（2）根据（1）的条件，可以证明四边形AFBD为平行四边形，根据等腰三角形的三线合一定理求得∠ADB=90°，证明四边形AFBD为矩形即可。
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