2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 17.2勾股定理的逆定理 同步练习
一、选择题
1．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1， ，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
2．有五根木棒，它们的长度分别为2 cm，6 cm，8 cm，10 cm，12 cm，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（ ）
A．2 cm，6 cm，8 cm B．6 cm，8 cm，10 cm
C．6 cm，8 cm，12 cm D．2 cm，8 cm，10 cm
3．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
二、填空题
4．（2017八上·西安期末）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
三、解答题
5．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AC边上的一点，CD＝9，BC＝15，BD＝12.
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
6．如图是一块地的平面图，AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
7．阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①中，22+32≠42，∴不等构成直角三角形，不符合题意；
②中，32+42=52，可以构成直角三角形，符合题意；
③中，12+（）2=22，可以构成直角三角形，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据直角三角形勾股定理的逆运用，计算三角形两个较短边的和与最长边之间的关系。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可知，62+82=102。
∴6，8，10为三根木棒。
故答案为：B。
【分析】根据勾股定理，当三条木棒满足勾股定理时，即可构成直角三角形。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵52+122=132
∴沙田为直角三角形的形状
即面积=500512500=7500000m2=7.5km2
故答案为：A。
【分析】根据题意可知，该沙田为直角三角形，根据三角形的面积公式进行计算，进行单位换算即可。
4．【答案】假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题.
【分析】根据命题和逆命题的定义，即可写出已知命题的逆命题，再判断其真假。
5．【答案】（1）解：在三角形BDC中，∵92+122=152
∴△BDC为直角三角形。
（2）解：由（1）可知，三角形ABD也为直角三角形，设AD为x，根据勾股定理可得
x2+122=（x+9）2，解得x=。
∴S△ABC=（+9）12=75.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的三个边满足勾股定理，可求得其为直角三角形；
（2）可设AD为x，在三角形ABD中，根据勾股定理列出方程，求得x的值，计算面积即可。
6．【答案】解：连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得，AC==5（cm）
又∵AC2+BC2=52+122=AB2=132
∴三角形ACB为直角三角形
∴S△ACB=S△ABC-S△ACD=512-43=24（cm2）。
答：这块地的面积是24cm2.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可以求得AC的长度，同时根据勾股定理的逆定理可以求得三角形ABC为直角三角形，则地的面积等于两个三角形的面积差。
7．【答案】解：当n=1时，①a=（m2-1），②b=m，③c=（m2+1）
∵直角三角形的一边长为5
∴当a=5时，（m2-1）=5，m=±（舍去）；
当b=5时，m=5，代入①③中可得a=12，c=13；
当c=5时，（m2+1）=5，m=±3，即m=3，代入①②中可得a=4，b=3
∴另外两条边长为12，13或3，4.
【知识点】勾股数
【解析】【分析】将n=1代入勾股数组三个公式中，分别根据一条边的长为5，得到a=5，b=5，c=5三种情况，求另外两条边的边长即可。
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一、选择题
1．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1， ，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①中，22+32≠42，∴不等构成直角三角形，不符合题意；
②中，32+42=52，可以构成直角三角形，符合题意；
③中，12+（）2=22，可以构成直角三角形，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据直角三角形勾股定理的逆运用，计算三角形两个较短边的和与最长边之间的关系。
2．有五根木棒，它们的长度分别为2 cm，6 cm，8 cm，10 cm，12 cm，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（ ）
A．2 cm，6 cm，8 cm B．6 cm，8 cm，10 cm
C．6 cm，8 cm，12 cm D．2 cm，8 cm，10 cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可知，62+82=102。
∴6，8，10为三根木棒。
故答案为：B。
【分析】根据勾股定理，当三条木棒满足勾股定理时，即可构成直角三角形。
3．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵52+122=132
∴沙田为直角三角形的形状
即面积=500512500=7500000m2=7.5km2
故答案为：A。
【分析】根据题意可知，该沙田为直角三角形，根据三角形的面积公式进行计算，进行单位换算即可。
二、填空题
4．（2017八上·西安期末）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
【答案】假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题.
【分析】根据命题和逆命题的定义，即可写出已知命题的逆命题，再判断其真假。
三、解答题
5．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AC边上的一点，CD＝9，BC＝15，BD＝12.
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：在三角形BDC中，∵92+122=152
∴△BDC为直角三角形。
（2）解：由（1）可知，三角形ABD也为直角三角形，设AD为x，根据勾股定理可得
x2+122=（x+9）2，解得x=。
∴S△ABC=（+9）12=75.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的三个边满足勾股定理，可求得其为直角三角形；
（2）可设AD为x，在三角形ABD中，根据勾股定理列出方程，求得x的值，计算面积即可。
6．如图是一块地的平面图，AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
【答案】解：连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得，AC==5（cm）
又∵AC2+BC2=52+122=AB2=132
∴三角形ACB为直角三角形
∴S△ACB=S△ABC-S△ACD=512-43=24（cm2）。
答：这块地的面积是24cm2.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可以求得AC的长度，同时根据勾股定理的逆定理可以求得三角形ABC为直角三角形，则地的面积等于两个三角形的面积差。
7．阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．
【答案】解：当n=1时，①a=（m2-1），②b=m，③c=（m2+1）
∵直角三角形的一边长为5
∴当a=5时，（m2-1）=5，m=±（舍去）；
当b=5时，m=5，代入①③中可得a=12，c=13；
当c=5时，（m2+1）=5，m=±3，即m=3，代入①②中可得a=4，b=3
∴另外两条边长为12，13或3，4.
【知识点】勾股数
【解析】【分析】将n=1代入勾股数组三个公式中，分别根据一条边的长为5，得到a=5，b=5，c=5三种情况，求另外两条边的边长即可。
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