人教版九年级上册第22章《二次函数》单元测试卷（含解析）

人教版九年级上册第22章《二次函数》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列函数是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．在抛物线上的一个点是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．均在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
8．无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点是（ ）
A． B． C． D．
9．当时，二次函数恰好有最大值2，则值是（ ）
A．0 B．0和 C． D．
10．如图，一个边长为的菱形，，过点作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为，则与直线平移的距离之间的函数图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题（共32分）
11．若函数是关于的二次函数，则 ．
12．二次函数的一次项系数是 ．
13．对于二次函数，图象的顶点坐标为 ．
14．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为 ．

15．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
16．已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的根情况是 ．

17．已知，是二次函数的图象上两点，当时，二次函数的值是 ．
18．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ．

三、解答题（共58分）
19．（6分）已知二次函数
（1）完成下表；
（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
20．（6分）已知抛物线经过点(1，0)，(0，3)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
21．（6分）如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
22．（9分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求花圃面积的最大值．
23．（9分）某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量（个）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．
(1)销售单价定为多少元时，每天可获利336元？
(2)写出每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求体育用品商店日销售的最大利润．
24．（10分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，在直线下方的抛物线取一点M，过点M作平行于轴的直线交于N，求线段的最大值．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m，n（）分別是方程的两根．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴左侧），连接OD，AD．
①求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
②当为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标
参考答案
1．D
【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．
【详解】A．y=ax2+bx+c，二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数；
B．y=2x﹣3，是一次函数；
C．y=x2，不是含自变量的整式，不是二次函数；
D．是二次函数．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．C
【分析】把点的坐标逐一代入函数的解析式，相等就是在抛物线上．
【详解】∵，
故A不符合题意；
∵，
故B不符合题意；
∵，
故C符合题意；
∵，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了点与图像的关系，熟练掌握判定的基本方法是解题的关键．
3．B
【分析】根据抛物线的对称轴是直线求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
4．B
【分析】根据二次函数图象的平移规律进行求解即可：左加右减，上加下减．
【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得到的抛物线为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移规律是解题的关键．
5．B
【分析】可先确定每一选项中的一次函数图象，得到a、c的符号，再验证二次函数图象是否一致即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象得，，则二次函数图象开口向上，故该选项不符合题意；
B、由一次函数的图象得，，则二次函数图象开口向下，与y轴正半轴相交，故该选项符合题意；
C、由一次函数的图象得，，则二次函数图象开口向下，故该选项不符合题意；
D、由一次函数的图象得，，则二次函数图象开口向下，故该选项不符合题意，
故答案为：B．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数的图象与系数的关系是解答的关键．
6．C
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【详解】解：，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴时，y随x的增大而减小，
∵的对称点为，且，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
7．B
【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答．
【详解】解：令，
，
∵，
∴，
∴，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程的判别式，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程的解的问题．
8．A
【分析】无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点，即该定点坐标与的值无关，根据整理后式子中，该项中的，求解定点坐标即可．
【详解】原式可化为，
无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点，即该定点坐标与的值无关，
，
解得：，
此时，
图像一定过的点是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解定点坐标与的值无关，即整理后式子中，该项中的是解题的关键．
9．C
【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标为，然后由抛物线的增减性得到当时，二次函数恰好有最大值2，代入求出a的值即可．
【详解】解：∵，
∴该抛物线开口向下，且顶点坐标是，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，二次函数恰好有最大值2，且，
即，
解得 ，（舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和增减性是解题的关键．
10．A
【分析】利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图象即可解答．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，
①当时，如图，
，
，图象开口向上的抛物线的一部分；
②当时，如图，

，图象是线段；
③当时，如图，

，图象开口向下的抛物线的一部分；
故选：．
【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是：弄清楚不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．
11．
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是关于的二次函数，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．
12．
【分析】根据二次函数一次项系数的定义，解答即可．
【详解】解：∵二次函数的一次项为，
∴二次函数的一次项系数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的系数，解本题的关键在熟练掌握二次函数一次项系数的定义．在中，二次项前面的系数叫做二次项系数，一次项前面的系数叫做一次项系数，叫做常数项．
13．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
【详解】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象，本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．
15．6
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
∵
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当时，升到最高点．
故答案为：6．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．有两个相等的实数根
【分析】根据图象中二次函数的最小值为，可得的根的情况．
【详解】解：由图象可知，二次函数最小值为，
一元二次方程有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．
【分析】根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得．
【详解】解：∵，是二次函数的图象上的两点，
又∵点A、B的纵坐标相同，
∴A、B关于对称轴对称，
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
18．
【分析】连接交于D，根据菱形的性质得到，设，将点B坐标代入函数解析式，解得t的值，即可得到的值，即可求得菱形的面积．
【详解】解：如图，连接交于D，

∵四边形为菱形，
∴，，，，平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
把代入得：
，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的性质；菱形四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；菱形面积等于对角线乘积的一半，二次函数函数图像上点的坐标，熟知上述性质是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）选取合适的的值，求出对应的的值即可完成表格；
（2）利用描点法画出函数图象．
【详解】解：（1）完成表格如下：
0 1 2 3 4
0
（2）描点，画出该二次函数图象如下：
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，解题的关键是选取合适的的值，求出对应的的值．
20．（1）；（2）将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，解析式变为．
【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
（2）把函数化为顶点式，即可得到平移方式与平移后的函数表达式．
【详解】（1）把(1，0)，(0，3)代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为
（2）抛物线
将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，
解析式变为．
【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
21．（1）；（2）或．
【分析】（1）将，代入，用待定系数法求解即可；
（2）将点代入抛物线表达式即可求出的值．
【详解】解：（1）把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得：，
解得：，．
的值为或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数图像上点的坐标，掌握待定系数法求解是解题的关键．
22．（1）与的函数关系式为，自变量的取值范围为；（2）花圃面积的最大值为45平方米．
【分析】（1）先根据篱笆的长求出BC的长，再根据长方形的面积公式即可得；根据“墙的最大可用长度为9米”列出不等式，即可求出x的取值范围；
（2）根据（1）的结论，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由题意得：米，且
即
解得
故与的函数关系式为，自变量的取值范围为；
（2）由（1）知，
由二次函数的性质可知，当时，S随x的增大而减小
则当时，S取最大值，最大值为（平方米）
故花圃面积的最大值为45平方米．
【点睛】本题考查了根据实际问题求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，依据题意，正确求出函数的解析式和自变量x的取值范围是解题关键．
23．(1)销售单价定为32元时，每天可获利336元
(2)日销售最大利润为375元
【分析】（1）根据总利润每件的利润销量，列出方程，即可求解；
（2）根据总利润每件的利润销量，列出函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：依题知，得．
整理方程，得．
解得，．
，
，不合题意，舍去．
答：销售单价定为32元时，每天可获利336元．
（2）解：，
即．
，
∴抛物线的开口向下．
∴当时，w的值随着x值的增大而增大．
，
∴当时，．
答：日销售最大利润为375元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入抛物线的解析式中即可求解．
（2）先求得直线的解析式，然后根据与y轴的平行可设点，，则，依据二次函数的性质即可求得的最大值．
【详解】（1）将 、代入抛物线中，
解得：
∴抛物线的解析式为：．
（2）如下图，设直线的解析式为：
将点的坐标代入上述解析式，得
∴．
直线的解析式为：．
因平行于x轴，且点N在直线上，点M在抛物线上，
故设点，，
，
当时，MN的值最大，
最大值为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，利用点的坐标表示线段的长度，本题采用了转化的解题思路，即将线段长度的最值问题转化为二次函数的最值问题．理解和掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．(1)抛物线的解析式为：；
(2)①面积有最大值为，点D的坐标为；②点P的坐标为或或．
【分析】（1）解方程，得或1，故点A的坐标为，点B的坐标为，设抛物线的解析式为：，将点A、B的坐标代入上式，即可求解；
（2）①过点D作y轴的平行线交于点H，面积，即可求解；
②分三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：解方程，得或1，
∵，
∴，，
故点A的坐标为，点B的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
将点A、B的坐标代入得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线的解析式为，
∴，解得：，
将点A、B的坐标代入一次函数解析式并解得：
直线的解析式为：，故点C的坐标为，
同理可得：直线的解析式为：；
①过点D作y轴的平行线交于点H，

设点D的坐标为，则点H的坐标为，
的面积
，
∵，
故面积有最大值为：，此时，
故点D的坐标为；
②当时，
则点P在的中垂线上，故，则点P的坐标为；
当时，
设P点坐标为，则，
解得：（舍去正值），
故点P的坐标为；
当时，同理可得：点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）②要注意分类求解，避免遗漏．