2022-2023学年山东省烟台市招远市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市招远市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果，那么下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
2. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 全等三角形的对应角相等 B. 互为相反数的两个数绝对值相等
C. 等边三角形是锐角三角形 D. 同旁内角互补，两直线平行
3. 如图，与相交于点，，要使≌，则需添加的一个条件可以是( )
A.
B.
C.
D.
4. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是( )
A. B. C. D.
6. 如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置，与线绳线绳垂直于地面的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如果两数、满足，那么的值为( )
A. B. C. D.
8. 一个书包的成本为元，定价为元，为使得利润率不低于，在实际售卖时，该书包最多可以打几折( )
A. B. C. D.
9. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，则下列结论中正确的个数( )
平分；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个关于的不等式，使，都是它的解，这个不等式可以为______ ．
12. 在中，，当______，为等腰三角形．
13. 如图，中，，点是上一点，、的垂直平分线分别交、于点、，则的度数为______ ．
14. 在平面直角坐标系中，如果点在第四象限，则的取值范围是______．
15. 如图，中，，点为各内角平分线的交点，过作的垂线，垂足为，若，，那么的值为______ ．
16. 已知关于的不等式组，下列四个结论：
若它的解集是，则；
当，不等式组有解；
若它的整数解仅有个，则的取值范围是；
若它无解，则．
其中正确的结论是______ 填写序号．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
把解集在数轴上表示出来．
18. 本小题分
已知，如图，在中，．
作的平分线，交于点；作的垂直平分线交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，连接，若，求的度数．
19. 本小题分
小明和小亮两位同学做投掷骰子质地均匀的正方体试验，他们共做了次试验，试验的结果如下：
朝上的点数
出现的次数
“点朝上”的频率为______ ，“点朝上”的频率为______ ；
小明说：“根据试验，一次试验中出现点朝上的概率最大”他的说法正确吗？为什么？
小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不大于的概率．
20. 本小题分
王老师在上课时遇到下面问题：
已知，满足方程组，求的值？
小明说：把方程组解出来，再求的值．
小刚说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以，解得．
请你参考小明或小刚同学的做法，解决下面的问题：
已知关于，的方程组的解满足，求的值；
已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围．
21. 本小题分
整式的值为．
当时，求的值；
若某个关于的不等式的解集如图所示，为该不等式的一个解，求的负整数值；
关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围．
22. 本小题分
如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、．
分别求出这两个函数的解析式；
求的面积；
根据图象直接写出不等式的解集．
23. 本小题分
如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证≌得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系______；
问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
24. 本小题分
为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生晓华毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥，已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多元，购买吨甲种有机肥和吨乙种有机肥共需元．
甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
若晓华准备购买甲、乙两种有机肥共吨，且总费用不能超过元，则晓华最多能购买甲种有机肥多少吨？
25. 本小题分
在中，，，点为线段的中点，动点以的速度从点出发在线段上运动运动到点停止．
若，求出发几秒后，为等边三角形？
若，点与点同时出发，其中点以的速度从点出发在线段上运动．
若点运动到点停止，当点的速度为多少时，和全等；
若点与点的速度不相同，点到达点后折返一次，返回到点后停止运动，则在运动的过程中，点的速度为多少时，存在和全等；请直接写出点的速度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变，该选项符合题意；
B、不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变，，该选项不符合题意；
C、不等式两边减同一个数或式子，不等号的方向不变，，该选项不符合题意；
D、不等式两边加同一个数或式子，不等号的方向不变，，该选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐项判断即可．
本题主要考查不等式的性质，牢记不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】
【解析】解：原命题为：全等三角形的对应角相等，
逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，此命题为假命题，
故A项不符合题意；
原命题为：互为相反数的两个数绝对值相等，
逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，此命题为假命题，
故B项不符合题意；
原命题为：等边三角形是锐角三角形，
逆命题为：锐角三角形是等边三角形，此命题为假命题，
故C项不符合题意；
原命题为：同旁内角互补，两直线平行，
逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，
故D项符合题意．
故选：．
利用全等三角形的性质，实数的性质，等边三角形的定义，平行线的判定方法对每一项判定即可解答．
本题考查了原命题与逆命题，全等三角形的性质，实数的性质，等边三角形的定义，平行线的判定，掌握原命题与逆命题的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：已知，对顶角相等，
A、当时，无法证明≌，不符合题意；
B、当时，可以证明≌，符合题意；
C、当时，无法证明≌，不符合题意；
D、，两个条件无法证明≌，不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由，得：，
由，得：，
在数轴上表示为：
故选：．
先求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，由题意知：B、垂直于．
在中，，
在中，，
．
故选：．
先构造直角三角形，再利用三角形的内角和及角的和差关系求解即可．
本题考查了直角三角形的内角和定理及角的和差关系，构造直角三角形是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
得：，
；
得：，
，
故选：．
利用加减消元法求出方程组的解，再代入所求式子计算即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法有加减消元法和代入消元法．
8.【答案】
【解析】解：设在实际售卖时，该书包可以打折，
依题意得：，
解得：，
即该书包最多可以打折．
故选：．
设在实际售卖时，该书包可以打折，根据利润售价成本，结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：一次函数和的图象相交于点，
由图可得，不等式的解集是．
故选：．
写出直线落在直线下方时所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：过作于，
、的角平分线、交于点，，，
，，
，
在的角平分线上，即平分，故正确；
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
同理≌，
，
，
，
，故正确；
平分，平分，
，
又，
，
，故正确；
≌，≌，
，故正确；
即正确的个数是，
故选：．
过作于，根据角平分线的性质得出，，求出，求出，根据全等三角形的判定得出≌，≌，再逐个判断即可．
本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：由，均小于可得，
所以符合条件的不等式可以是，
故答案为：答案不唯一．
由，均小于可得，在此基础上求解即可．
本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
12.【答案】，，
【解析】解：当时，
，
．
当时，
，
．
当时，
，
综上所述，的值为或或，
故答案为：，，．
分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题
本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．
13.【答案】
【解析】解：、的垂直平分线分别交、于点、，
，，
，，
，
，，
．
故答案为：．
先根据线段的垂直平分线的性质得到，，则根据等腰三角形的性质得到，，然后利用平角的定义得，利用三角形内角和定理得到，所以．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
14.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，
解得：，
即的取值范围是：，
故答案为：．
根据定在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了点的坐标与解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，，，过点作于点，过点作于点，如图所示：
点为各内角平分线的交点，
，
设，
，，，
根据勾股定理，得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，，，过点作于点，过点作于点，根据点为各内角平分线的交点，可得，设，根据，，可得，进一步求解即可．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
解不等式，得．
解不等式，得，
所以不等式组的解集为，
它的解集是，
，
解得，故正确；
，
，
故不等式组无解，故错误；
它的整数解仅有个，
，
解得．
则的取值范围是，故正确；
不等式组无解，
，
，故正确．
故答案为：．
首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：把代入得：，
解之得：，
把代入得：，
方程组的解为；
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．
将解集表示在数轴上如下：

【解析】利用代入消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：作法如图所示；
设，
平分，
，
是的中垂线，
，，
，
，
，
解得：，
，
的度数为．
【解析】根据“作角平分线”和“作线段的垂直平分线”的基本作法作图；
根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和定理求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：“点朝上”的频率为，“点朝上”的频率为，
故答案为：；；
小明的说法是错误的．
原因：只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近；
任意投掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果有种，投掷出的点数分别是、、、、、．
因为骰子是质地均匀的，所以每一种结果的可能性相等．投掷出点数不大于的结果有种，分别是、、、，
所以．
根据频率频数总数求解即可；
只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近，据此可得答案；
根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
20.【答案】解：，
得：，
，
又，
，
；
，
得，
，
又，
，
．
【解析】把两方程相加可得：，再整体代入可得，即可得解；
把两方程相减可得：，再整体代入可得，即可得解．
本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，二元一次方程组与不等式的关系，掌握整体求解，整体代入的方法是解题的关键．
21.【答案】解：，
，
，
；
，
由图可得：，
，
的负整数值为；
由题意得：，
解不等式得：，
关于的不等式组恰有两个整数解，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解分别是，，
，
．
【解析】将代入代数式解答即可；
根据题意可得不等式解不等式即可解答；
根据不等式组有两个整数解可知进而即可解答．
本题考查了一元一次方程，一元一次不等式组，一元一次不等式，熟练一元一次不等式组是解题的关键．
22.【答案】解：将点代入，得，
解得；
将点代入，得，
解得，
这两个函数的解析式分别为和；
在中，令，得，
．
，
在中，令，得，
．
，
，
；
，
，
由函数图象可知，当时，．
当时，．
【解析】利用待定系数法求解析式即可求解；
分别求出点和点坐标，进一步即可求出的面积；
根据图象即可确定的取值范围．
本题考查了一次函数的解析式，一次函数与三角形的面积，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象与待定系数法求解析式是解题的关键．
23.【答案】解：
理由如下：如图，延长交的延长线于点
是的中点，
，
，
且，
≌
是的平分线
，
，
，
，
，

【解析】解：
理由如下：是的平分线
，
点是的中点
，且，
≌
见答案．
由“”可证≌，可得，即可得结论；
延长交的延长线于点，由“”可证≌，可得，即可得结论；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24.【答案】解：设甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元，由题意得：
，
解得：，
答：甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元；
设晓华购买甲种有机肥吨，则其购买乙种有机肥吨，由题意得：
，
解得：，
答：晓华最多能购买甲种有机肥吨．
【解析】设甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元，根据“甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多元，购买吨甲种有机肥和吨乙种有机肥共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种有机肥吨，则购买乙种有机肥吨，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：，
当时，为等边三角形，
，点为线段的中点，
，
，
动点的运动时间为：秒，
出发秒后，为等边三角形；
设运动时间为秒，则，，，
，
，
，是的中点，
，
当，时，≌，
，
，
，
，
，
，
当，时，≌，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，当或时，和全等；
设运动时间为秒，则，，
，
，
，是的中点，
，
当，时，≌，
，
，
，
点未到达点后时，
，
，
，
，
当点到达点后折返时，，
，
，
，
，
当，时，≌，
，
，
，
点未到达点后时，
，
，
，
，
点与点的速度不相同，
舍去，
当点到达点后折返时，，
，
，
，
，
综上，的速度为：或或．
【解析】根据等边三角形的判定即可解答；
根据全等三角形全等三角形应满足的条件探求边之间的关系；
根据路程速度时间，先求的的运动时间，再求点的运动速度．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定、等边三角形的判定是解题的关键．
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