2023年辽宁省大连市中考数学试卷（含解析）

2023年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 如图，几何体的主视图是( )
A. B.
C. D.
3. 年月日“大连号连理卫星”搭乘天舟六号货运飞船飞向太空，它的质量为数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图，，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 解方程去分母，两边同乘后的式子为( )
A. B.
C. D.
7. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是( )
A. B. C. D.
8. 某种蓄电池的电压单位：为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系当时，，则当时，的值是( )
A. B. C. D.
9. 已知二次函数，当时，函数的最大值为( )
A. B. C. D.
10. 年月日，大连日报公布下一站，去博物馆问卷调查结果本次调查共收回份有效问卷，其中将“您去博物馆最喜欢看什么？”这一问题的调查数据制成扇形统计图，如图所示下列说法错误的是( )
A. 最喜欢看“文物展品”的人数最多
B. 最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的
C. 最喜欢看“布展设计”的人数超过人
D. 统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 不等式的解集是______ ．
12. 一个不透明的口袋中有个完全相同的小球，分别标号为，随机摸出一个小球记录标号后放回，再随机摸出一个小球记录标号，两次摸出小球标号的和等于的概率是______ ．
13. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，是的中点，则的长是______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是______ ．
15. 我国古代著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱问人数、鸡价各是多少”设共有人合伙买鸡，根据题意，可列方程为______ ．
16. 如图，正方形中，，点在的延长线上，且连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击次，射击队记录他们的成绩单位：环，并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
Ⅰ甲运动员的射击成绩是：；
Ⅱ乙运动员的射击成绩是：
成绩环
次数
Ⅲ丙运动员射击成绩的折线统计图为：
Ⅳ分析上述数据，得到下表：
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
丙
根据以上信息，回答下列问题：
表格中的 ______ ， ______ ， ______ ， ______ ．
射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
19. 本小题分
如图，，，的延长线与相交于点，求证：．
20. 本小题分
某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加年购书费用为元，年购书费用为元，求年到年该校购书费用的年平均增长率．
21. 本小题分
图是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图所示的示意图已知，，垂足分别为，，，测得，，求云梯顶端到地面的距离的长结果取整数参考数据：，，
22. 本小题分
某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了此后两组队员开始匀速跑，直到终点已知男子组匀速跑的速度为男、女两组队员跑步的路程单位：与匀速跑的时间单位：的图象如图所示．
此次跑步训练的全程是______
求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程．
23. 本小题分
如图，点，，在上，是的直径，平分，与相交于点连接，与相交于点．
求的度数．
如图，过点作的切线，与的延长线相交于点，过点作，与相交于点若，，求的长．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，直线与直线相交于点，点是线段上一个动点不与点重合，过点作轴的垂线与直线相交于点设点的横坐标为与重叠部分的面积为关于的函数图象如图所示其中与时，函数的解析式不同．
点的坐标是______ ，的面积是______ ．
求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
25. 本小题分
综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片，，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，点的对应点为，如图所示．
如图，小明发现，当点落在边上时，．
如图，小红发现，当点是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长．
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题，请你解答．
问题：在中，，，点是边上一点，将沿翻折得到．
如图，当点在边上时，求证：．
如图，当点是的中点时，连接，若，，求的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的面角改为锐角，尝试画图，并提出问题，请你解答．
问题：如图，点是外一点，，，，求的长．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：为常数相交于点，，点，的横坐标分别为和过点作轴，与抛物线相交于点，分别以，的长为边长向上方作矩形．
求抛物线的解析式．
将矩形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到矩形，点的对应点在抛物线上
求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
直线与相交于点，与相交于点，当是的中点时，求的值；
抛物线与边，分别相交于点，，点，在抛物线对称轴的同侧，当时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据绝对值的性质求解．
本题考查了绝对值，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：从正面看，可得如下图形：
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：如图，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等得出，再根据三角形外角的性质得出，从而求出的度数．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意；
B.，该该选项不正确，不符合题意；
C.，该该选项不正确，不符合题意；
D.，该选项正确，符合题意．
故选：．
根据零指数幂、二次根式的加法以及二次根式的性质、立方根的性质，进行计算即可．
本题考查平方根与立方根，掌握平方根与立方根的定义便可解决问题．
6.【答案】
【解析】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据弧长的公式，该弧长为：．
故选：．
根据弧长的公式，直接求值即可．
本题考查有关扇形弧长的计算．正确地记准公式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，，
，
当时，，
故选：．
设出反比例函数关系式，用待定系数法求出解析式，然后得出结论即可．
本题主要考查反比例函数的知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由二次函数的表达式为可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线．
又，
所以当时，函数取得最大值，
．
故选：．
根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题．
本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：
A.最喜欢看“文物展品”的人数最多，占，说法正确，故本选项不符合题意；
B.最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的，说法正确，故本选项不符合题意；
C.最喜欢看“布展设计”的人数为：人，原说法错误，故本选项符合题意；
D.统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是：，说法正确，故本选项不符合题意．
故选：．
根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．
11.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
根据不等式的性质求解．
本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
一共有种等可能的情况，其中两次摸出小球标号的和等于有种可能，
两次摸出小球标号的和等于，
故答案为：．
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两次摸出小球标号的和等于的结果，再利用概率公式求出即可．
本题考查列举法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：菱形的对角线、相交于点，
，．
，
为等边三角形．
．
为的中点，，
．
故答案为：．
直接利用菱形的性质得出，，再结合，可得为等边三角形，从而，最后根据直角三角形中线的性质得出答案
此题主要考查了菱形的性质，正确得出的长是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：点，的坐标分别为和，
，，
，
，
以点为圆心，以长为半径画弧，
，
，
交轴正半轴于点，
点的坐标为．
故答案为：．
由勾股定理求出的长，进而得到的长，再求出的长，得出点的坐标，即可解决问题．
本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
根据“鸡的钱数不变”，列方程求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找到相等关系是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，，
平分，
，
，
四边形是正方形，
设，则，
，
∽，
，即，
解得：，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
如图，过作于，于，由平分，可知，可得四边形是正方形，，设，则，证明∽，则，即，解得，，由勾股定理得．
本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：甲次射击中，环出现的次数最多，故众数，
乙的平均数，
把乙次射击的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是和，故中位数，
丙次射击中，环出现的次数最多，故众数，
故答案为：，，，；
应该选择甲参赛，理由如下：
因为甲和乙的平均数相同，且比丙的高，所以在甲和乙中选其中一个参赛；又因为甲的方差比乙小，所以甲比乙稳定，故该选择甲参赛．
分别根据众数、算术平均数以及中位数的定义解答即可；
根据方差和平均数的意义解答即可．
此题主要考查了折线统计图、中位数、众数、算术平均数和方差，关键是掌握相关统计量的定义与计算方法．
19.【答案】证明：，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】由已知，可得到，再利用证明≌，从而得到．
本题考查全等三角形的判定，掌握判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：设年到年该校购书费用的年平均增长率为，
则：，
解得：，或舍去，
答：年到年该校购书费用的年平均增长率为．
【解析】根据“年购书费用为元，年购书费用为元”列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系的解题的关键．
21.【答案】解：延长交于，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
即云梯顶端到地面的距离的长大约米．
【解析】延长交于，解直角三角形求出，根据矩形的性质求出的长，然后求和即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：米，
故答案为：；
女子组的速度为：，
则男子组队员跑步的路程：，
女子组队员跑步的路程：，
解，
解得：，
米，
所以男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为米．
根据时间乘速度等于路程求解；
先求出他们的函数解析式，再求出追上时的路程，最后再相减．
本题考查了一元函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
23.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
；
连接，如图：
是的直径，
，
设半径为，则，
，，，
在中，，
，
解得或舍去，
，，
是切线，
，
，
，
，
，
解得．
【解析】根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，设与交于点，如图：
直线为函数的图象，
，
轴，
和均为等腰直角三角形，
，，
当与时，函数的解析式不同，
由图可知：，，当点与点重合时，，
点的坐标为，，
，
，
解得：舍去负值，
，
．
故答案为：，．
由可知：，，，
当时，点在线段上运动，，
，
当时，点在线段上运动时，点在上运动，则，如图：
，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
将点，点代入，
得：，解得：，
直线的解析式为：，
点的坐标为，
，
，，
，
又轴，
，
∽，
：：，
即：：：，
，
．
综上所述：．
过点作轴于点，设与交于点，先证和均为等腰直角三角形，从而得，，然后根据当与时，函数的解析式不同，结合函数的图象可得出，，当点与点重合时，，据此可得点的坐标，再由求出的值，进而可得的面积；
分两种情况讨论：当时，点在线段上运动，则，据此可得关于的函数解析式；当时，先根据得点利用待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出，然后证和相似得，最后再根据即可得出关于的函数解析式．
此题主要考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，弄清题意，读懂函数的图象，从函数的图象中提取解决问题的信息，熟练掌握相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的难点之一．
25.【答案】问题，
证明：将沿翻折得到，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，
作于，作于，
，
由折叠得，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
在中，由勾股定理得，
，
；
问题，
解：如图，
连接，作于，作，交的延长线于，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
．
【解析】问题，
由，得出结论；
作于，作于，根据等腰三角形的性质得出，进而得出的值，可证得≌，从而，，进而在中求得，进一步得出结果；
问题，
连接，作于，作，交的延长线于，可证得四边形是矩形，从而，，在中求得，进而求得，进而在中求得，从而得出，进而在中求得的值，进一步得出结果．
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
26.【答案】解：当时，，当时，，
即点、的坐标分别为：、，
则，，则点，
将点、的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：；
由知，点，则平移后点为，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
即；
由知，点的坐标为即，同样点的坐标为：，
则点、的坐标分别为，点，
则点中点的坐标为：，
当是的中点时，则，
解得：不合题意的值已舍去；
过点作，则，
而，
则，
设点，则点，
将点的坐标代入抛物线的表达式得：，
解得：，
则点的坐标为：，
当时，，
则点的坐标为：或
【解析】根据题意得出点，，利用待定系数法求解析式即可求解．
根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，即可求解．
根据题意得出，，求得中点坐标，根据题意即可求解．
作辅助线，利用勾股定理求得，设出点，点坐标，将点代入，求得点坐标，进而根据点的对应点落在抛物线上，即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质．
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