2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵△ACE≌△BDF，
∴AC=BD、CE=DF、AE=BF，
∵AB=CD=EF，
∴平行四边形有 ACDB、 CEFD、 AEFB三个，
故答案为：C.
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，将平行四边形ABCD沿 翻折，使点 恰好落在 上的点 处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AF=EF B．AB=EF C．AE=AF D．AF=BE
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD沿AE翻折，∴△ABE≌△AFE，∴AB=AF，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAF，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF，∴AF=BE，∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF=AF=BE.
故答案为：C.
【分析】先利用折叠性质证得相应的边与角相等，再由与平行性质与等角对等边证得AF=EF，进而利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形.
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AB=1，则EF的长是（ ）
A．1.5 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=1，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB=1
∴CE=CD+DE=2，
∵EF⊥BC，∠ECF=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形.
∴EF=CF，EF2+CF2=CE2=4，
∴2EF2=4，
∴EF= .
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等，可得CD=AB=1，∠ECF=∠ABC=45°，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形可知四边形ABDE是平行四边形，进而可得DE=AB=1，再结合垂直即可知三角形CEF为等腰直角三角形，进而可求得EF.
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）已知四边形ABCD的四条边分别是a、b、c、d．其中a、c是对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：已知等式整理得：a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd=0，即（a﹣c）2+（b﹣d）2=0，
可得a﹣c=0，b﹣d=0，即a=c，b=d，
则四边形一定为平行四边形，
故选A
【分析】已知等式整理后，利用完全平方公式化简，利用非负数的性质得到两组对边相等，即可确定出四边形形状．
5．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图是某城市部分街道，已知AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么（ ）
A．甲将先到F站 B．乙将先到F站
C．甲、乙将同时到达 D．不能确定
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵BA∥DE，BD∥AE
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AB=DE，
∵AF∥BC，EC⊥BC，EF=CF，
∴AF是EC的垂直平分线，
∴DE=CD，
∴BA+AE+EF=BD+CD+EF，
∵两车速度相同，途中耽误的时间相同，
∴甲乙两个人同时到达.
故答案为：C.
【分析】由两组对边分别平行可知四边形ABDE为平行四边形，从而可得AB=DE，AE=BD，再结合EF=CF，可知两条路线的差别在于AB与CD的大小关系，进而为CD与DE的大小关系，再由线段中垂线的性质可知CD=DE，即可知这两条路线一样长.
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵AC⊥BC，BF⊥BC， ∴AC∥BF.
又∵DE∥AB， ∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD，DF=DE+EF=AB，
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.
故答案为：A.
【分析】通过两组对边分别平行的四边形为平行四边形可证得四边形ABFD是平行四边形，从而可证得BF+CD=AD+CD=AC，DF=DE+EF=AB，从而可知△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，故两个三角形周长之和不变.
7．（新人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形《平行四边形的判定》同步练习）如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明平行四边形AFDE的周长等于AB+AC．∵DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF∴BF=FD，DE=EC，所以：平行四边形AFDE的周长等于AB+AC=10．故选B．
【分析】据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题
二、填空题
8．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是 ，理由是 ．
【答案】平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】若四边形ABCD的边AB=CD，BC=DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：平行，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有 个平行四边形，它们分别是 ．
【答案】3； ABCE， ABGC， AFBC
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】图中共有3个平行四边形，它们分别是
理由如下：
∵AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，
∴AB∥EC，EA∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
同理可证，四边形ABGC是平行四边形；
四边形AFBC是平行四边形.
故答案为：3， ABCE， ABGC， AFBC
【分析】利用两组对边分别平行可证四边形为平行四边形.
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D，E分别是AB，AC的中点，点G，F在BC边上(均不与端点重合)，DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是 .
【答案】 ≤l＜13
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接DE，作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中， ∵∠BAC=90°，AB＝4，AC＝3，
，
，
，
，
∴四边形DGEF是平行四边形，
根据题意 ， ，
∴四边形MNFG是平行四边形，
∴当MG=NF=AH时，可得四边形MNFG周长的最小值= ，
当G与B重合时可得周长的最大值为13，
∵G不与B重合，
∴ ≤l＜13.
故答案为： ≤l＜13.
【分析】连接DE，作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中利用勾股定理求得BC＝5， 再利用等面积法求得斜边上的高AH=，由三角形中位线定理可知
，再结合DG∥EF可证四边形DGEF是平行四边形，从而可求得GF的长，再利用两组对边分别平行证得
四边形MNFG是平行四边形， 又当MG=NF=AH时，可得四边形MNFG周长的最小值= ，
当G与B重合时可得周长的最大值为13， 且G不与B重合， 故可求得l的取值范围是 ≤l＜13.
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，则∠1的度数为 ．
【答案】35°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BF，∵DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF，∴∠CDF=∠ABR，∵∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于E，
∴∠EBF=35°，∴∴∠1=35°，
故答案为：35°
【分析】利用两边分别平行可证得四边形EBFD是平行四边形，从而利用平行四边形对角相等可知∠EBF=∠EDF，再结合角平分线的性质即可求得∠EBF=35°，即可求得∠1=35°.
三、解答题
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°点E是AB的中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE，求证四边形ACEF是平行四边形．
【答案】证明：如图，
∵点E为AB中点，∴AE=EB．又∵∠ACB=90°，∴CE=AE=EB．又∵AF=CE，∴AF=AE，∴∠3=∠F．又∵EB=EC，ED⊥BC，∴∠1=∠2（三线合一）．又∵∠2=∠3，∴∠1=∠F，∴CE∥AF，∴四边形ACEF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=EB．从而证得AF=AE，利用等边对等角得∠3=∠F．又利用三线合一可证得∠1=∠2，从而证得∠1=∠F，利用同位角相等两直线平行证得CE∥AF，即可根据一组对边平行且相等证得四边形ACEF是平行四边形．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图所示，在 ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足AE＝CF，BG＝DH，连接EF，GH．试说明EF和GH互相平分．
【答案】解：连接EG，GF，FH，HE．如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，AD＝BC．又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE=BF．又∵DH＝BG，∴△BFG≌△DEH(SAS)，∴GF＝EH，同理GE=FH，∴四边形EGFH平行四边形，∴EF和GH互相平分
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连接EG，GF，FH，HE ，证 EF和GH互相平分即证四边形GFHE为平行四边形。利用平行四边形对角相等，对边相等及AE=CF，可证得DE=BF，再结合DH＝BG，证得△BFG≌△DEH，从而证得GF=GH，同理可证GE=FH，从而利用两组对边分别相等证得四边形EGFH平行四边形，即可证得EF和GH互相平分 .
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
【答案】证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC．∵BF=DH，∴AH=CF．∵AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=FG（全等三角形的对应边相等）．
同理可证：HG=EF，∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD是平行四边形的对角相等，对边相等得到的条件证得 △AEH≌△CGF 与 △DHG≌△BFE，从而得证EH=GF，HG=EF，从而由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证得四边形EFGH是平行四边形.
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=
求证：四边形ABCD是 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇同学的思路写出证明过程；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题.
【答案】（1）CD；平行
（2）证明：连接BD．
在△ABD和△CDB中，∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形
（3）解：平行四边形两组对边分别相等
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SSS；逆命题
【解析】【解答】解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据所给想法补全已知与求证即可；
（2）利用边边边证 △ABD≌△CDB ，从而得到对应角相等，那么利用内错角相等两直线平行即证得四边形ABCD的两组对边分别平行即可证得其为平行四边形；
（3）逆命题即原命题的条件与结论互换.
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，
∴AE∥BD，
∵∠ADE=∠BAD，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD=5，
设BF=x，
则52-x2=62-（5-x）2，
解得，x= ，
∴AF= ，
∴AC=2AF= ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直于同一直线的两直线平行可得AE∥BD，又∠ADE=∠BAD，故由内错角相等两直线平行可证得DE∥AB，所以由两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形ABDE是平行四边形；（2）由等角对等边可知AB=BD=5，再设BF=x，在Rt△ADF与Rt△ABF中利用勾股定理同时表示AF的长，可求列出关于x的方程，解方程即可求得BF的长，进而可根据勾股定理求得AF的长，即可由AC=2AF求得AC长.
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
【答案】（1）解：△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF．
（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°，∴∠BDE=∠FEC=120°．
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．
又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE，∴FD=AC=BC，∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠AEF=∠CED=60°．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴△ABE≌△ACF
（2）解：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形，∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，∴AB∥DF，BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形
（3）解：由（2）知，四边形ABDF是平行四边形，∴EF∥AB，EF≠AB，∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG= ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）全等三角形的判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL（直角三角形）；（2）由等边三角形的三个角都等于60°，可得 ∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ，从而利用同位角相等、内错角相等两直线平行可证得 AB∥DF，BD∥AF，从而利用两组对边分别平行可证得四边形ABDF是平行四边形 ；（3）由四边形ABDF是平行四边形可知四边形ABEF是梯形，因为△ABC为等边三角形，所以BC=AB=6，又BD=2AC，所以BD=4，又三角形AEF为等边三角形，所以AE=AF=BD=4，过E作EG⊥AB于G ，在Rt△AEG中，∠GAC=60°，即可求得EG=2，从而利用梯形的面积公式即可求得其面积.
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，将平行四边形ABCD沿 翻折，使点 恰好落在 上的点 处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AF=EF B．AB=EF C．AE=AF D．AF=BE
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AB=1，则EF的长是（ ）
A．1.5 B． C． D．2
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）已知四边形ABCD的四条边分别是a、b、c、d．其中a、c是对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图是某城市部分街道，已知AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么（ ）
A．甲将先到F站 B．乙将先到F站
C．甲、乙将同时到达 D．不能确定
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
7．（新人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形《平行四边形的判定》同步练习）如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题
8．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是 ，理由是 ．
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有 个平行四边形，它们分别是 ．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D，E分别是AB，AC的中点，点G，F在BC边上(均不与端点重合)，DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是 .
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，则∠1的度数为 ．
三、解答题
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°点E是AB的中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE，求证四边形ACEF是平行四边形．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图所示，在 ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足AE＝CF，BG＝DH，连接EF，GH．试说明EF和GH互相平分．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=
求证：四边形ABCD是 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇同学的思路写出证明过程；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题.
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册18.2 平行四边形的判定（1）同步练习）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵△ACE≌△BDF，
∴AC=BD、CE=DF、AE=BF，
∵AB=CD=EF，
∴平行四边形有 ACDB、 CEFD、 AEFB三个，
故答案为：C.
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD沿AE翻折，∴△ABE≌△AFE，∴AB=AF，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAF，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF，∴AF=BE，∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF=AF=BE.
故答案为：C.
【分析】先利用折叠性质证得相应的边与角相等，再由与平行性质与等角对等边证得AF=EF，进而利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=1，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB=1
∴CE=CD+DE=2，
∵EF⊥BC，∠ECF=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形.
∴EF=CF，EF2+CF2=CE2=4，
∴2EF2=4，
∴EF= .
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等，可得CD=AB=1，∠ECF=∠ABC=45°，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形可知四边形ABDE是平行四边形，进而可得DE=AB=1，再结合垂直即可知三角形CEF为等腰直角三角形，进而可求得EF.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：已知等式整理得：a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd=0，即（a﹣c）2+（b﹣d）2=0，
可得a﹣c=0，b﹣d=0，即a=c，b=d，
则四边形一定为平行四边形，
故选A
【分析】已知等式整理后，利用完全平方公式化简，利用非负数的性质得到两组对边相等，即可确定出四边形形状．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵BA∥DE，BD∥AE
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AB=DE，
∵AF∥BC，EC⊥BC，EF=CF，
∴AF是EC的垂直平分线，
∴DE=CD，
∴BA+AE+EF=BD+CD+EF，
∵两车速度相同，途中耽误的时间相同，
∴甲乙两个人同时到达.
故答案为：C.
【分析】由两组对边分别平行可知四边形ABDE为平行四边形，从而可得AB=DE，AE=BD，再结合EF=CF，可知两条路线的差别在于AB与CD的大小关系，进而为CD与DE的大小关系，再由线段中垂线的性质可知CD=DE，即可知这两条路线一样长.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵AC⊥BC，BF⊥BC， ∴AC∥BF.
又∵DE∥AB， ∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD，DF=DE+EF=AB，
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.
故答案为：A.
【分析】通过两组对边分别平行的四边形为平行四边形可证得四边形ABFD是平行四边形，从而可证得BF+CD=AD+CD=AC，DF=DE+EF=AB，从而可知△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，故两个三角形周长之和不变.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明平行四边形AFDE的周长等于AB+AC．∵DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF∴BF=FD，DE=EC，所以：平行四边形AFDE的周长等于AB+AC=10．故选B．
【分析】据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题
8．【答案】平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】若四边形ABCD的边AB=CD，BC=DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：平行，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
9．【答案】3； ABCE， ABGC， AFBC
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】图中共有3个平行四边形，它们分别是
理由如下：
∵AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，
∴AB∥EC，EA∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
同理可证，四边形ABGC是平行四边形；
四边形AFBC是平行四边形.
故答案为：3， ABCE， ABGC， AFBC
【分析】利用两组对边分别平行可证四边形为平行四边形.
10．【答案】 ≤l＜13
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接DE，作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中， ∵∠BAC=90°，AB＝4，AC＝3，
，
，
，
，
∴四边形DGEF是平行四边形，
根据题意 ， ，
∴四边形MNFG是平行四边形，
∴当MG=NF=AH时，可得四边形MNFG周长的最小值= ，
当G与B重合时可得周长的最大值为13，
∵G不与B重合，
∴ ≤l＜13.
故答案为： ≤l＜13.
【分析】连接DE，作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中利用勾股定理求得BC＝5， 再利用等面积法求得斜边上的高AH=，由三角形中位线定理可知
，再结合DG∥EF可证四边形DGEF是平行四边形，从而可求得GF的长，再利用两组对边分别平行证得
四边形MNFG是平行四边形， 又当MG=NF=AH时，可得四边形MNFG周长的最小值= ，
当G与B重合时可得周长的最大值为13， 且G不与B重合， 故可求得l的取值范围是 ≤l＜13.
11．【答案】35°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BF，∵DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF，∴∠CDF=∠ABR，∵∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于E，
∴∠EBF=35°，∴∴∠1=35°，
故答案为：35°
【分析】利用两边分别平行可证得四边形EBFD是平行四边形，从而利用平行四边形对角相等可知∠EBF=∠EDF，再结合角平分线的性质即可求得∠EBF=35°，即可求得∠1=35°.
12．【答案】证明：如图，
∵点E为AB中点，∴AE=EB．又∵∠ACB=90°，∴CE=AE=EB．又∵AF=CE，∴AF=AE，∴∠3=∠F．又∵EB=EC，ED⊥BC，∴∠1=∠2（三线合一）．又∵∠2=∠3，∴∠1=∠F，∴CE∥AF，∴四边形ACEF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=EB．从而证得AF=AE，利用等边对等角得∠3=∠F．又利用三线合一可证得∠1=∠2，从而证得∠1=∠F，利用同位角相等两直线平行证得CE∥AF，即可根据一组对边平行且相等证得四边形ACEF是平行四边形．
13．【答案】解：连接EG，GF，FH，HE．如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，AD＝BC．又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE=BF．又∵DH＝BG，∴△BFG≌△DEH(SAS)，∴GF＝EH，同理GE=FH，∴四边形EGFH平行四边形，∴EF和GH互相平分
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连接EG，GF，FH，HE ，证 EF和GH互相平分即证四边形GFHE为平行四边形。利用平行四边形对角相等，对边相等及AE=CF，可证得DE=BF，再结合DH＝BG，证得△BFG≌△DEH，从而证得GF=GH，同理可证GE=FH，从而利用两组对边分别相等证得四边形EGFH平行四边形，即可证得EF和GH互相平分 .
14．【答案】证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC．∵BF=DH，∴AH=CF．∵AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=FG（全等三角形的对应边相等）．
同理可证：HG=EF，∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD是平行四边形的对角相等，对边相等得到的条件证得 △AEH≌△CGF 与 △DHG≌△BFE，从而得证EH=GF，HG=EF，从而由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证得四边形EFGH是平行四边形.
15．【答案】（1）CD；平行
（2）证明：连接BD．
在△ABD和△CDB中，∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形
（3）解：平行四边形两组对边分别相等
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SSS；逆命题
【解析】【解答】解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据所给想法补全已知与求证即可；
（2）利用边边边证 △ABD≌△CDB ，从而得到对应角相等，那么利用内错角相等两直线平行即证得四边形ABCD的两组对边分别平行即可证得其为平行四边形；
（3）逆命题即原命题的条件与结论互换.
16．【答案】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，
∴AE∥BD，
∵∠ADE=∠BAD，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD=5，
设BF=x，
则52-x2=62-（5-x）2，
解得，x= ，
∴AF= ，
∴AC=2AF= ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直于同一直线的两直线平行可得AE∥BD，又∠ADE=∠BAD，故由内错角相等两直线平行可证得DE∥AB，所以由两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形ABDE是平行四边形；（2）由等角对等边可知AB=BD=5，再设BF=x，在Rt△ADF与Rt△ABF中利用勾股定理同时表示AF的长，可求列出关于x的方程，解方程即可求得BF的长，进而可根据勾股定理求得AF的长，即可由AC=2AF求得AC长.
17．【答案】（1）解：△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF．
（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°，∴∠BDE=∠FEC=120°．
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．
又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE，∴FD=AC=BC，∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠AEF=∠CED=60°．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴△ABE≌△ACF
（2）解：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形，∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，∴AB∥DF，BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形
（3）解：由（2）知，四边形ABDF是平行四边形，∴EF∥AB，EF≠AB，∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG= ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）全等三角形的判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL（直角三角形）；（2）由等边三角形的三个角都等于60°，可得 ∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ，从而利用同位角相等、内错角相等两直线平行可证得 AB∥DF，BD∥AF，从而利用两组对边分别平行可证得四边形ABDF是平行四边形 ；（3）由四边形ABDF是平行四边形可知四边形ABEF是梯形，因为△ABC为等边三角形，所以BC=AB=6，又BD=2AC，所以BD=4，又三角形AEF为等边三角形，所以AE=AF=BD=4，过E作EG⊥AB于G ，在Rt△AEG中，∠GAC=60°，即可求得EG=2，从而利用梯形的面积公式即可求得其面积.
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