2022-2023学年湖南省株洲市天元区重点中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省株洲市天元区重点中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若一个边形内角和为，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点，则当时，的取值范围是( )
A. 或 B.
C. 或 D. 或
6. 一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为( )
A. B. C. D.
8. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，绕点顺时针旋转后得到，则点的对应点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
10. 正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，在直线上，点，，，在轴上，已知点是直线与轴的交点，则的纵坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 方程的根为______ ．
12. 如果点在函数的图象上，那么 ______ ．
13. 如果关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为______ ．
15. 如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为
16. 如图，平行四边形的周长为，，、相交于点，交于点，则的周长为______ ．
17. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，，把矩形沿折叠，点落在点处，交于点，则点的坐标为______ ．
18. 平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
先化简，再求值，其中．
21. 本小题分
如图，矩形的对角线，相交于点，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的周长．
22. 本小题分
定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值．
23. 本小题分
随着经济水平的提升，人们越来越重视体育健康，为了解中学生身体素质指标合格情况，研究影响中学生生长发育的内外因素，某校对全校中学生进行了一次体检，李老师随机抽取了名学生体检结果的身高数据进行处理，如图的频数分布直方图和扇形统计图是根据抽取数据制作而成每组含最低值不含最高值，单位：
请根据以上信息，完成下列问题：
______ ， ______ ；
样本中数据的中位数所在的范围是______ ；
为了全面了解学生的身体健康状况，还需对学生的体重进行分析，已知青少年身体质量指数，一个健康人的身体指数在之间，请计算一下你本人的身体质量指数，确定你的身体健康状况．
24. 本小题分
甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各件的任务甲快递站前期先派送了件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送甲快递站经过小时后总共派送件由于人员变化，派送速度变慢，结果小时完成派送任务乙快递站小时完成派送任务在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数件与派送时间小时之间的关系如图所示．
乙快递站每小时派送______ 件，的值为______ ；
甲快递站派送速度变慢后，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
25. 本小题分
如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接、、．
试判断，，之间的数量关系，并写出证明过程．
如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程．
如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出线段，，之间数量关系．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点．
求该反比例函数和一次函数的表达式；
在轴上找一点使最大，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题意知，，
解得，
故选：．
根据，计算求解即可．
本题考查了多边形内角和，熟练掌握边形内角和为是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点中心对称的点的坐标为．
故选：．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4.【答案】
【解析】解：，的坐标分别是，，
，
四边形为平行四边形，
，且，
点纵坐标与点纵坐标相同为，点横坐标为：，
点坐标为，
故选：．
由、坐标可求得的长，根据平行四边形的一组对边平行且相等，即可得出结论．
本题主要考查平行四边形的性质以及坐标与图形性质，掌握平行四边形的一组对边分别平行且相等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：直线与双曲线相交于点和点，
由图象可知，当时，或；
故选：．
由图象可以直接写出当时所对应的的取值范围．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
6.【答案】
【解析】解：一次函数的值随的增大而增大，
，
解得：，
在第二象限，
故选：．
根据一次函数的性质求出的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断点所处的象限即可．
本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：当时，函数的图象位于第一、三象限，函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D符合题意，选项C不符合题意；
当时，函数的图象位于第二、四象限，函数的图象经过第一、二、三象限，故选项A不符合题意，选项B不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：当时，，则点坐标为；
当时，，解得，则点坐标为，
则，，
绕点顺时针旋转后得到，
，，，，
即轴，轴，
点坐标为．
故选：．
先根据坐标轴上点的坐标特征求出点坐标为，点坐标为，则，，再根据旋转的性质得，，，，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点坐标．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
9.【答案】
【解析】解：点、分别是、的中点，
，，
，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
点的坐标是，
四边形是正方形，
点的纵坐标是，
当时，，
点的坐标是，
四边形是正方形，
点的纵坐标是，
同理，点的坐标是，
点的纵坐标是，
点的纵坐标是，
点的纵坐标是，
故选：．
根据一次函数的图象上点的坐标特征和正方形的性质求出，，的坐标，求出，，的坐标，根据求出的结果得出规律，再根据规律得出答案即可．
本题考查了点的坐标，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
11.【答案】，
【解析】解：，
，
即，．
故答案为：，．
把看成整体，然后直接开方求解．
本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12.【答案】
【解析】解：点在函数的图象上，
．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意知，，且．
解得或且，
．
故答案是：．
根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有的次数是，即，系数不等于，即，联合起来解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，过作于点，
，
，
为的平分线，
，
，，
，
，
即此时这个人到的最短距离为，
故答案为：．
过作于点，根据角平分线的性质得出，再求出的长即可．
本题考查的是角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：平行四边形的周长为，
，，
，
，
的周长为：．
故答案为：．
由平行四边形的周长为，可求得，，又由，可得是线段的垂直平分线，即可证得，继而可得的周长．
此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．注意得到是线段的垂直平分线是关键．
17.【答案】
【解析】解：，，
，，
四边形是矩形，
，
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为，
故答案为：．
由，，得，，由，得，由折叠得，则，所以，根据勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，作轴于．
，，
，，
，，
，，
，
≌，
，，
，
令，，
，
点在直线上运动，设直线交轴于，交轴于，
作于，则直线的解析式为，
由，解得，
，
根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，此时，
故答案为：
如图，作轴于由≌，推出，，可得，令，，推出，推出点在直线上运动，设直线交轴于，交轴于，作于，根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，构建方程组确定交点坐标即可解决问题；
本题考查坐标与图形的变化旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．
19.【答案】解：．
．
【解析】先算乘方，再化简绝对值，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、乘方及绝对值的意义是解决本题的关键．
20.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，互相平分，
，
四边形是菱形；
解：，，
是等边三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
设，则，
，
解得负值舍去，
四边形的周长等于．
【解析】根据已知条件得出四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可得证；
证明是等边三角形，勾股定理求得的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22.【答案】解：一元二次方程是黄金方程，理由如下：
由题意得，，，，
，
一元二次方程是黄金方程；
是关于的黄金方程，
，
，
原方程为，
是此黄金方程的一个根，
，即，
，
解得或．
【解析】根据黄金方程的定义进行求解即可；
根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意得，；
，即．
故答案为：；；
样本中数据的中位数所在的范围是．
故答案为：；
假如我的体重为，身高为，
则身体质量指数，
因为在之间，所以我的身体健康状况良好．答案不唯一．
用样本容量分别减去其他三组的频数可得的值；用乘的频率可得的值；
根据中位数的定义解答即可；
根据青少年身体质量指数，可得答案．
此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．
24.【答案】
【解析】解：由图象可知，乙快递站每小时派送件；
小时前甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送，
，
故答案为：，；
设，将，代入解析式得：
，
解得：，
关于的函数解析式为；
把代入得，
件，
答：乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递有件．
由图象可以求出乙快递站每小时派送的件数；再根据小时前甲、乙两家快递站派送的速度相同求出的值；
用待定系数法求函数解析式即可；
先根据解析式求出当时，再用即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
25.【答案】解：证明如下：
由旋转，可知：
，，，
点、、共线，
，
．
在和中，
≌．
，
，
；
证明如下：
在上取连接，
，，
≌，
，，
，
．
在和中，
≌，
，
，
；
将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
点、、共线，
由同理可得≌，
，
．
【解析】首先利用证明≌，得，从而得出答案；
在上取连接，首先由≌，得，，再利用证明≌，得，即可证明结论；
将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由同理可得≌，得，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
26.【答案】解：把代入，可得，
反比例函数的解析式为．
把点代入，可得，
．
把，代入，可得．
．
一次函数的解析式为．
一次函数的解析式为，令，则．
一次函数与轴的交点为，
此时，最大，即为所求，
令，则，
．
过点向轴作垂线，
由勾股定理可得：
．
故所求的最大值为．
【解析】依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题．
求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．
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