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沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系 命题及证明 过关检测卷
一、选择题
1．（2023八上·南充期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．5，8，13 C．4，4，7 D．3，4，8
2．（2022八上·宝应期中）如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·渭滨期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．若直线和直线平行，则
C．三角形的外角大于任一内角
D．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长一定是
4．（2022八上·右玉期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．或 B． C． D．或
5．（2022八上·顺义期末）利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八上·长兴期末）对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2022八上·利辛月考）如图，中，的垂直平分线分别交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·南宁期末）如图，中，是高，，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2023八上·鄞州期末）下列四个命题：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
10．（2023八上·南充期末）如图，D为边BC延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023八上·鄞州期末）将命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 ．
12．如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则 °．
13．（2021八上·通州期末）小豪发现一个命题：“如果两个无理数，，满足，那么这两个无理数的和是无理数．”这个命题是 （填写“真命题”，“假命题”）；请你举例说明 ．
14．（2023七下·姜堰期中）如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ．
三、作图题
15．（2023八上·金东期末）在如图所示的方格纸中，
⑴在中，作BC边上的高AD.
⑵作AC边上的中线BE.
⑶求的面积.
四、解答题
16．（2022八上·老河口期中）如图，，，，求的度数.
17．（2023八上·韩城期末）如图所示，在中，平分交于点E，交于点D，，，求的度数.
18．（2022八上·右玉期末）先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数．
19．（2021八上·义乌期中）已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
五、综合题
20．（2022八上·南昌期中）在中，，．
（1）求，，的度数；
（2）按边分类，属于 三角形，按角分类，属于 三角形．
21．（2022八上·霍邱月考）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角中，， ▲ ；
求证： ▲ ．
（2）证明：
22．（2023八上·金华期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
23．（2023八上·凤翔期末）综合与探究：
（1）【情境引入】如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由.
（2）【深入探究】
①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 ▲ ；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由.
24．（2022八上·薛城期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，．
（1）A点坐标为 ，B点坐标为 ；
（2）求直线BC的解析式；
（3）点P为直线BC上一个动点，当时，求点P坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3＜6，∴2、3、6三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵5+8=13，∴5、8、13三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵4+4＞7，∴4、4、7三条线段能为围成三角形，故此选项符合题意；
D、∵3+4＜8，∴3、4、8三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由三角形三边关系，只需要判断较小两边的和是否大于最大边长即可，从而一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C=70°
∴∠DBC=180°-70°×2=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，分别求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.
3．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，故本选项是真命题，不符合题意；
B.若直线和直线平行，则，故本选项是真命题，不符合题意；
C. 三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，故本选项是假命题，符号题意；
D. 等腰三角形的两边长分别为和，它的三边只能是5，5，2，则它的周长一定是；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据两直线平行的条件可判断B；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，据此判断C；根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长，据此判断D.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图(1)，当是锐角三角形时，
，，
，
，
；
如图(2)，当是钝角三角形时，
，，
，
，
，；
综上所述，它的顶角度数为：或，
故答案为：A．
【分析】分两种情况：①当是锐角三角形时，②当是钝角三角形时，再分别画出图象并利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：
A、作法不符合题意，不符合题意；
B、作法不符合题意，不符合题意；
C、作法符合题意，符合题意；
D、作法不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：在A中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在B中，，，不满足，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在C中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在D中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值能说明该命题为假命题；
故答案为：D.
【分析】原命题为假命题时，应满足a2>b2，但a≤b，据此判断.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，则∠B＝∠EAG，
设∠B＝∠EAG＝x度，
∵FA＝FC，则∠C＝∠FAH，
设∠C＝∠FAH＝y，
∵∠BAC＝115°，
∴x+y+∠EAF＝115°，
根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠EAF＝180°，
解得∠EAF＝50°．
故答案为：B．
【分析】利用垂直平分线的性质及三角形的内角和求解即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点E使得，连接，则，
∵是的高，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】在上取一点E使得，连接，利用线段垂直平分线的性质可得AE=AB，利用等边对等角可得，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE，结合∠B=2∠C可得，利用等角对等边可得，即得.
9．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；角平分线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 ，所以原说法错误，是假命题；
②根据角平分线的性质定理知： 角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，是真命题；
③根据平行公理知：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以原说法错误，是假命题；
④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，所以原说法错误，是假命题.
故答案为：B.
【分析】根据点到直线的距离定义、角平分线的性质定理、平行公理及垂线的定义即可一一判断得出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=，
同理可得
……
以此类推，，
又∵，
∴，∴.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义及三角形外角性质得据此可得规律，从而即可求解.
11．【答案】如果一个点在线段垂直平分线上，那么这个点到线段两端的距离相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：解：把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
故答案为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
【分析】如果后面的是条件，那么后面跟的是结论，从题意可知条件是线段的垂直平分线上的点，结论是点到这条线段的两个端点的距离相等从而可得出答案．
12．【答案】
【知识点】三角形的外角性质
13．【答案】假命题；与
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：设无理数，则，即
“如果两个无理数，，满足，那么这两个无理数的和是无理数．”是假命题
故答案为：假命题，例如：与（答案不唯一）
【分析】根据无理数的定义和假命题的定义求解即可。
14．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：链接FC，如图所示：
∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC= 12，
∴S△BEC = S△ABE= S△ABD = S△ABC= 6，
∴S△ABF+S△AEF=S△ABF +S△BDF，
∴S△AEF=S△BDF.
∵S△CEF=S△AEF ，S△DBF=S△CDF，
∴S△CEF= S△DBF= S△CDF，
∴S△BCF= S△BEC= 4.
∵S△BCF =BC·FH = 4，BC = 6，
∴FH =.
故答案为：.
【分析】连接FC，由三角形的中线与面积的关系可得S△BEC = S△ABE= S△ABD = S△ABC= 6，然后可得S△CEF= S△DBF= S△CDF，则有S△BCF= S△BEC=4，接下来利用三角形的面积公式进行计算.
15．【答案】解：⑴如图所示AD即为所求.
⑵如图所示BE即为所求.
⑶，，
，
为边上中线，
，
即面积为4.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作法进行作图；
（2）找出线段AC的中点E，然后连接BE即可；
（3）根据中线的概念结合三角形的面积公式可得S△ABE=S△ABC，据此计算.
16．【答案】解：如图，延长BC交AD于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴.
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】 延长BC交AD于点E，由外角的性质可得∠BED=∠A+∠B，∠BCD=∠BED+∠D，据此计算.
17．【答案】解：∵，
∴
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠ADC=90°，根据角平分线的定义得∠CAE=40°，由角的和差可得∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠C与∠B的度数.
18．【答案】解：原式
且、、、
即
又因为a，2，4为的三边长，
，
当
所以：
原式
【知识点】分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值取值范围，最后将a的值代入计算即可。
19．【答案】解：由题意得：，
解得：a=3，
则b=7，
若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．
若c=b=7，此时周长为17．
【知识点】二次根式有意义的条件；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a-3≥0且3-a≥0，则a=3，代入可得b=7，然后分b为底、b为腰，结合等腰三角形的性质以及三角形三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
20．【答案】（1）解：在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）等腰；直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴按边分类，属于等腰三角形；
∵，
∴按角分类，属于直角三角形；
故答案为：等腰，直角．
【分析】（1）利用三角形的内角和及，，求出，，的度数即可；
（2）根据三角形的定义求解即可。
21．【答案】（1）解：已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD=∠A．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°∠A，
∴∠BCD=∠ACB∠ACD=（90°∠A）（90°∠A）=∠A．
【知识点】角的运算；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）根据命题的定义求解即可；
（2）先求出∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，再利用角的运算和等量代换可得∠BCD=∠A。
22．【答案】（1）72
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC.
（3）证明：如图2中，延长BD到T.使得CD＝CT，
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图1中，设∠C＝x.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72；
【分析】设∠C＝x，则∠ABC＝2x，进而根据角平分线的定义、等边对等角及三角形外角性质可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可解决问题；
（2）根据等角对等边得BD=CD，从而利用AAS证明△ABD≌△ECD，根据全等三角形的对应边相等得AB=EC；
（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT，则BD=CT，由等边对等角及对顶角相等得 ∠T＝∠CDT＝∠ADB， 用AAS证明△ABD≌△ECT，根据全等三角形的对应边相等得AB=EC．
23．【答案】（1）解：∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
故答案为：；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得 ，， 根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠D=180°-（∠1+∠2），从而代入并逆用乘法分配律变形化简得出答案；
（2）①，理由如下：根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和及角平分线的定义可得 ，， 进而根据三角形内角和定理得∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），然后整体代入变形即可得出结论；
②与之间的等量关系是：，理由如下： 根据三角形外角性质及角平分线的定义得∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC=2∠DCE，从而可得∠A=2∠D，据此即可得出结论.
24．【答案】（1）（3，0）；（0，1）
（2）解：过点C作CE⊥x轴于点E，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠OBA=∠EAC．
在△ABO和△CAE中，
，
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴AE=BO=1，CE=AO=3，
∴OE=OA+AE=4，
∴点C的坐标为（4，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（0，1），C（4，3）代入y=kx+b，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=x+1．
（3）解：∵S△AOP=3S△AOB，即OA |yP|=3×OA OB，
∴×3|yP|=3××3×1，
∴yP=±3．
当y=3时，x+1=3，
解得：x=4，
∴点P坐标为（4，3）；
当y=-3时，x+1=-3，
解得：x=-8，
∴点P的坐标为（-8，-3）．
∴当S△AOP=3S△AOB时，点P的坐标为（4，3）或（-8，-3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）当y=0时，-x+1=0，
解得：x=3，
∴点A的坐标为（3，0）；
当x=0时，y=-x+1=1，
∴点B的坐标为（0，1）．
故答案为：（3，0）；（0，1）．
【分析】（1）分别代入y=0，x=0，求出与之对应的x、y的值，进而得出点A、B的坐标；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，证出△ABO≌△CAE（AAS），得出OE=OA+AE=4，从而得出点C的坐标，根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（3）利用三角形的面积公式结合S△AOP=3S△AOB，即可得出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上的坐标特征即可得出点P的坐标。
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沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系 命题及证明 过关检测卷
一、选择题
1．（2023八上·南充期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．5，8，13 C．4，4，7 D．3，4，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3＜6，∴2、3、6三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵5+8=13，∴5、8、13三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵4+4＞7，∴4、4、7三条线段能为围成三角形，故此选项符合题意；
D、∵3+4＜8，∴3、4、8三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由三角形三边关系，只需要判断较小两边的和是否大于最大边长即可，从而一一判断得出答案.
2．（2022八上·宝应期中）如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C=70°
∴∠DBC=180°-70°×2=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，分别求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.
3．（2023八上·渭滨期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．若直线和直线平行，则
C．三角形的外角大于任一内角
D．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长一定是
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，故本选项是真命题，不符合题意；
B.若直线和直线平行，则，故本选项是真命题，不符合题意；
C. 三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，故本选项是假命题，符号题意；
D. 等腰三角形的两边长分别为和，它的三边只能是5，5，2，则它的周长一定是；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据两直线平行的条件可判断B；三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，据此判断C；根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长，据此判断D.
4．（2022八上·右玉期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图(1)，当是锐角三角形时，
，，
，
，
；
如图(2)，当是钝角三角形时，
，，
，
，
，；
综上所述，它的顶角度数为：或，
故答案为：A．
【分析】分两种情况：①当是锐角三角形时，②当是钝角三角形时，再分别画出图象并利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
5．（2022八上·顺义期末）利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：
A、作法不符合题意，不符合题意；
B、作法不符合题意，不符合题意；
C、作法符合题意，符合题意；
D、作法不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
6．（2023八上·长兴期末）对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：在A中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在B中，，，不满足，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在C中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值不能说明该命题为假命题；
在D中，，，满足，且，故该选项中，a、b的值能说明该命题为假命题；
故答案为：D.
【分析】原命题为假命题时，应满足a2>b2，但a≤b，据此判断.
7．（2022八上·利辛月考）如图，中，的垂直平分线分别交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，则∠B＝∠EAG，
设∠B＝∠EAG＝x度，
∵FA＝FC，则∠C＝∠FAH，
设∠C＝∠FAH＝y，
∵∠BAC＝115°，
∴x+y+∠EAF＝115°，
根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠EAF＝180°，
解得∠EAF＝50°．
故答案为：B．
【分析】利用垂直平分线的性质及三角形的内角和求解即可。
8．（2023八上·南宁期末）如图，中，是高，，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点E使得，连接，则，
∵是的高，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】在上取一点E使得，连接，利用线段垂直平分线的性质可得AE=AB，利用等边对等角可得，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE，结合∠B=2∠C可得，利用等角对等边可得，即得.
9．（2023八上·鄞州期末）下列四个命题：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；角平分线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 ，所以原说法错误，是假命题；
②根据角平分线的性质定理知： 角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，是真命题；
③根据平行公理知：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以原说法错误，是假命题；
④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，所以原说法错误，是假命题.
故答案为：B.
【分析】根据点到直线的距离定义、角平分线的性质定理、平行公理及垂线的定义即可一一判断得出答案.
10．（2023八上·南充期末）如图，D为边BC延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=，
同理可得
……
以此类推，，
又∵，
∴，∴.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义及三角形外角性质得据此可得规律，从而即可求解.
二、填空题
11．（2023八上·鄞州期末）将命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 ．
【答案】如果一个点在线段垂直平分线上，那么这个点到线段两端的距离相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：解：把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
故答案为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
【分析】如果后面的是条件，那么后面跟的是结论，从题意可知条件是线段的垂直平分线上的点，结论是点到这条线段的两个端点的距离相等从而可得出答案．
12．如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则 °．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质
13．（2021八上·通州期末）小豪发现一个命题：“如果两个无理数，，满足，那么这两个无理数的和是无理数．”这个命题是 （填写“真命题”，“假命题”）；请你举例说明 ．
【答案】假命题；与
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：设无理数，则，即
“如果两个无理数，，满足，那么这两个无理数的和是无理数．”是假命题
故答案为：假命题，例如：与（答案不唯一）
【分析】根据无理数的定义和假命题的定义求解即可。
14．（2023七下·姜堰期中）如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：链接FC，如图所示：
∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC= 12，
∴S△BEC = S△ABE= S△ABD = S△ABC= 6，
∴S△ABF+S△AEF=S△ABF +S△BDF，
∴S△AEF=S△BDF.
∵S△CEF=S△AEF ，S△DBF=S△CDF，
∴S△CEF= S△DBF= S△CDF，
∴S△BCF= S△BEC= 4.
∵S△BCF =BC·FH = 4，BC = 6，
∴FH =.
故答案为：.
【分析】连接FC，由三角形的中线与面积的关系可得S△BEC = S△ABE= S△ABD = S△ABC= 6，然后可得S△CEF= S△DBF= S△CDF，则有S△BCF= S△BEC=4，接下来利用三角形的面积公式进行计算.
三、作图题
15．（2023八上·金东期末）在如图所示的方格纸中，
⑴在中，作BC边上的高AD.
⑵作AC边上的中线BE.
⑶求的面积.
【答案】解：⑴如图所示AD即为所求.
⑵如图所示BE即为所求.
⑶，，
，
为边上中线，
，
即面积为4.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作法进行作图；
（2）找出线段AC的中点E，然后连接BE即可；
（3）根据中线的概念结合三角形的面积公式可得S△ABE=S△ABC，据此计算.
四、解答题
16．（2022八上·老河口期中）如图，，，，求的度数.
【答案】解：如图，延长BC交AD于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴.
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】 延长BC交AD于点E，由外角的性质可得∠BED=∠A+∠B，∠BCD=∠BED+∠D，据此计算.
17．（2023八上·韩城期末）如图所示，在中，平分交于点E，交于点D，，，求的度数.
【答案】解：∵，
∴
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠ADC=90°，根据角平分线的定义得∠CAE=40°，由角的和差可得∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠C与∠B的度数.
18．（2022八上·右玉期末）先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数．
【答案】解：原式
且、、、
即
又因为a，2，4为的三边长，
，
当
所以：
原式
【知识点】分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值取值范围，最后将a的值代入计算即可。
19．（2021八上·义乌期中）已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
【答案】解：由题意得：，
解得：a=3，
则b=7，
若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．
若c=b=7，此时周长为17．
【知识点】二次根式有意义的条件；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a-3≥0且3-a≥0，则a=3，代入可得b=7，然后分b为底、b为腰，结合等腰三角形的性质以及三角形三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
五、综合题
20．（2022八上·南昌期中）在中，，．
（1）求，，的度数；
（2）按边分类，属于 三角形，按角分类，属于 三角形．
【答案】（1）解：在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）等腰；直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴按边分类，属于等腰三角形；
∵，
∴按角分类，属于直角三角形；
故答案为：等腰，直角．
【分析】（1）利用三角形的内角和及，，求出，，的度数即可；
（2）根据三角形的定义求解即可。
21．（2022八上·霍邱月考）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角中，， ▲ ；
求证： ▲ ．
（2）证明：
【答案】（1）解：已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD=∠A．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°∠A，
∴∠BCD=∠ACB∠ACD=（90°∠A）（90°∠A）=∠A．
【知识点】角的运算；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）根据命题的定义求解即可；
（2）先求出∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，再利用角的运算和等量代换可得∠BCD=∠A。
22．（2023八上·金华期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
【答案】（1）72
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC.
（3）证明：如图2中，延长BD到T.使得CD＝CT，
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图1中，设∠C＝x.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72；
【分析】设∠C＝x，则∠ABC＝2x，进而根据角平分线的定义、等边对等角及三角形外角性质可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可解决问题；
（2）根据等角对等边得BD=CD，从而利用AAS证明△ABD≌△ECD，根据全等三角形的对应边相等得AB=EC；
（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT，则BD=CT，由等边对等角及对顶角相等得 ∠T＝∠CDT＝∠ADB， 用AAS证明△ABD≌△ECT，根据全等三角形的对应边相等得AB=EC．
23．（2023八上·凤翔期末）综合与探究：
（1）【情境引入】如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由.
（2）【深入探究】
①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 ▲ ；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
故答案为：；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得 ，， 根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠D=180°-（∠1+∠2），从而代入并逆用乘法分配律变形化简得出答案；
（2）①，理由如下：根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和及角平分线的定义可得 ，， 进而根据三角形内角和定理得∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），然后整体代入变形即可得出结论；
②与之间的等量关系是：，理由如下： 根据三角形外角性质及角平分线的定义得∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC=2∠DCE，从而可得∠A=2∠D，据此即可得出结论.
24．（2022八上·薛城期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，．
（1）A点坐标为 ，B点坐标为 ；
（2）求直线BC的解析式；
（3）点P为直线BC上一个动点，当时，求点P坐标．
【答案】（1）（3，0）；（0，1）
（2）解：过点C作CE⊥x轴于点E，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠OBA=∠EAC．
在△ABO和△CAE中，
，
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴AE=BO=1，CE=AO=3，
∴OE=OA+AE=4，
∴点C的坐标为（4，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（0，1），C（4，3）代入y=kx+b，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=x+1．
（3）解：∵S△AOP=3S△AOB，即OA |yP|=3×OA OB，
∴×3|yP|=3××3×1，
∴yP=±3．
当y=3时，x+1=3，
解得：x=4，
∴点P坐标为（4，3）；
当y=-3时，x+1=-3，
解得：x=-8，
∴点P的坐标为（-8，-3）．
∴当S△AOP=3S△AOB时，点P的坐标为（4，3）或（-8，-3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）当y=0时，-x+1=0，
解得：x=3，
∴点A的坐标为（3，0）；
当x=0时，y=-x+1=1，
∴点B的坐标为（0，1）．
故答案为：（3，0）；（0，1）．
【分析】（1）分别代入y=0，x=0，求出与之对应的x、y的值，进而得出点A、B的坐标；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，证出△ABO≌△CAE（AAS），得出OE=OA+AE=4，从而得出点C的坐标，根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（3）利用三角形的面积公式结合S△AOP=3S△AOB，即可得出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上的坐标特征即可得出点P的坐标。
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