五校联考（高二期中数学（文科）试卷）
一、选择题
1. 集合，，则等于（ ）
A. {，1，3} B. {1，3}
C. {0，1，2，3，4} D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义计算即可；
【详解】解：，，
．
故选：B．
2. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用实数的性质，可判定A错误；由，，结合，可判定B正确；由指数函数的单调性，可判定C错误；由反例法可判定D错误.
【详解】由，可得，所以，所以A不正确；
由，，
因为，可得，所以，所以B正确；
由函数为上的递减函数，因为，可得，所以C错误；
例如：当时，，此时，所以D错误.
故选：B.
3. 用反证法证明：“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为（ ）
A. 中至少有一个正数 B. 全为正数
C. 中至多有一个负数 D. 全都大于或等于0
【答案】D
【解析】
【分析】用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定,注意“至少有一个”的否定是“一个也没有”，“全都是相反的情况”，再就是注意“负数”反面是“大于等于0”.
【详解】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，
由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，
故选：D．
4. 下列四个集合中，是空集的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内元素是否存在即可选出.
【详解】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解，.
选:D.
5. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（ ）
A. B. 2 C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】首先求，再计算，最后根据公式计算模.
【详解】由题意得，，
∴，
∴.
故选：A.
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用消元，再利用基本不等式求得的最小值即可
【详解】将代入，可得：
（当且仅当时，取得等号）
故选：D
7. 在等差数列中，若，则有等式(且)成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有（ ）
A. (且)
B. (且)
C. (且)
D. (且)
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的加法运算类比等比数列的乘法运算以及等差和等比数列的性质即可得答案.
【详解】在等差数列中，若则，
若，则，
所以成立，
当时，(且)成立，
在等比数列中，若则，
若，则，
所以成立，
当时，＝(且)成立，
故选：B.
8. 若实数满足，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，将等式转化为不等式，求的最大值.
【详解】,
，
，
解得，，
的最大值是.
故选B.
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.
9. 要证：，只要证明（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式得，，根据这两个不等式可判定选项A，B，利用作差法证明，可根据该不等式判定选项C，利用可判定选项D.
【详解】选项A：因为，所以，故选项A错误；
选项B：因为，所以，故选项B错误；
选项C：因为，所以，
，故选项C错误；
选项D：因为，所以
要证：，只要证明，
只要证明，故选项D正确；
故选：D．
10. 直线（t为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（ ）
A 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】求直线倾斜角，需先求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，确定倾斜角的值即可，
将直线与圆的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，得出直线的斜率取值．
详解】直线普通方程为：，
记，则直线方程为．
圆的普通方程为：．
直线与圆相切，
，解得：．
直线方程为．
又倾斜角取值范围为,，且．
直线倾斜角为或．
故选：A．
11. 设复数满足，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，复数满足时轨迹方程为复平面内的单位圆，
而表示与复数所对应的点在复平面内的距离，
结合圆的性质可知，的最大值为.
本题选择C选项.
点睛】
12. 已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分类讨论或两种情况，求出，再根据子集的定义分析求解即可.
【详解】当时，即，解得：，
此时，所以当时，，
当，即，解得：，
此时或，
因为，所以或，解得：或，
又，所以，
综上，使成立的实数m的取值范围是或，
故选：D.
二、填空题
13. 已知不等式的解集为，则实数a等于_________．
【答案】3
【解析】
【分析】由绝对值不等式的解法得到解集，然后求解即可.
【详解】由不等式，得，
依题意，解得：，
所以实数，
故答案为：3.
14. 在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为_________
【答案】3+5i
【解析】
【详解】试题分析：三点对应的复数分别是，，
设，则：，
在平行四边形中，有，即，
，即对应的复数为：.
故答案应填：．
考点：复的几何意义．
15. 观察等式：f()＋f()＝1；f()＋f()＋f()＝；f()＋f()＋f()＋f()＝2；f()＋f()＋f()＋f()＋f()＝；
…
由以上几个等式的规律可猜想＝_________.
【答案】1009
【解析】
【分析】
从所给四个等式看：等式右边依次为将其变为可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，计算即可得解.
【详解】从所给四个等式看：等式右边依次为将其变为可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，
所以.
故答案为：1009.
16. 实数x，y满足，则的最大值______．
【答案】5.
【解析】
【详解】分析：根据题意，设，，则有，进而分析可得，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x，y满足，即，
设，，
则，，
又由，
则，
即的最大值5；
故答案为5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x、y．
三、解答题
17. 已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝
（2）（﹣∞，）
【解析】
【分析】（1）利用交集及其运算求解即可．
（2）利用集合间的关系列出不等式组，求解即可．
【小问1详解】
当a＝2时，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}，
∵A＝{x|2≤x＜4}，
∴A∩B＝ ．
【小问2详解】
若B A，
①当B＝ 时，则a+2＞3a，∴a＜1，
②当B≠ 时，则，∴1≤a，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，）．
18. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）去掉绝对值，分类讨论，求各段的范围，最后取并集.
（2）依据题意，根据（1）的条件计算，可得结果.
【详解】（1）依题意，
则①，②，③
故不等式的解集为
（2）由（1）可得，当时，最小值，
对于恒成立，
∴，即，
∴，
解之得，
∴实数的取值范围是
【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式以及不等式恒成立问题，重在计算，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的极坐标方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意设的坐标为，设的坐标为，由，可得，消去参数后化为普通方程，再将其化为极坐标方程，可得的极坐标方程，将曲线的参数方程化为普通方程，再转化为极坐标方程
（2）将分别与的极坐标方程联立，求出两点的极坐标，再由极径的几何意义求解即可
【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为为参数)，为上的动点，
所以可设的坐标为.
设的坐标为，由，
得到，消去参数得：，
转化为极坐标方程得：，
即曲线的极坐标方程为：，
同理可求的极坐标方程：.
（2）设，则，
解得：，所以；
设，则
解得：，所以.
所以
20. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若为曲线上第一象限的动点，A，B分别为曲线与直角坐标轴正半轴的交点，求四边形OAQB面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；
（2）利用三角形面积公式，结合辅助角公式进行求解即可．
【小问1详解】
，即；
【小问2详解】
因为为曲线上第一象限的动点，所以设，
，
所以、两点的坐标为：，，
设四边形面积为，
，
当时，有最大值，最大值为．
21. 小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？
（利润=累积收入+销售收入-总支出）
【答案】（1）第三年；（2）第5年.
【解析】
【分析】
（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；
（2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．
【详解】（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50＝﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）
由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5，
∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，
小张的年平均利润为＝19﹣（x+）≤19﹣10＝9，当且仅当x＝5时，等号成立，
∴小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．
【点睛】思路点睛：
首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.
22. （1）已知，求证：．
（2）已知，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意利用反证法即可证得题中的结论；
（2）将不等式进行等价变形，然后结合题意即可证得题中的结论．
【详解】证明：（1）假设，则，
为上的单调递增函数，
，
即，
，
，
，
，这与已知矛盾，
假设不成立，从而成立．
（2）
，
，，
，，，
三个不等式中的等号不能同时成立，
，
即，
．
不等式成立．五校联考（高二期中数学（文科）试卷）
一、选择题
1. 集合，，则等于（ ）
A {，1，3} B. {1，3}
C. {0，1，2，3，4} D.
2 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 用反证法证明：“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为（ ）
A. 中至少有一个正数 B. 全为正数
C. 中至多有一个负数 D. 全都大于或等于0
4. 下列四个集合中，是空集的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则（ ）
A. B. 2 C. D. 10
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在等差数列中，若，则有等式(且)成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有（ ）
A (且)
B. (且)
C. (且)
D. (且)
8. 若实数满足，则的最大值是
A. B. C. D.
9. 要证：，只要证明（ ）
A. B.
C. D.
10. 直线（t为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（ ）
A 或 B. 或 C. 或 D. 或
11. 设复数满足，则的最大值为
A. B. C. D.
12. 已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
二、填空题
13. 已知不等式的解集为，则实数a等于_________．
14. 在复平面内，平行四边形ABCD三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为_________
15. 观察等式：f()＋f()＝1；f()＋f()＋f()＝；f()＋f()＋f()＋f()＝2；f()＋f()＋f()＋f()＋f()＝；
…
由以上几个等式的规律可猜想＝_________.
16. 实数x，y满足，则的最大值______．
三、解答题
17. 已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
18. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的极坐标方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
20. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若为曲线上第一象限的动点，A，B分别为曲线与直角坐标轴正半轴的交点，求四边形OAQB面积的最大值．
21. 小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？
（利润=累积收入+销售收入-总支出）
22. （1）已知，求证：．
（2）已知，求证：．
