2023-2024学年云南省红河州重点中学高二（上）开学数学试卷（word版含解析）

2023-2024学年云南省红河州重点中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，从集合中任取不同的两个数作为点的坐标，则事件“点落在轴上”包含的基本事件共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4. 设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 在中，若为边上的中线，点在上，且，则( )
A. B. C. D.
7. 天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等，目视星等和观测距离单位：光年之间的关系．已知天狼星的绝对星等为，老人星的绝对星等为，在地球某地测得天狼星的目视星等为，老人星的目视星等为，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为( )
A. B. C. D.
8. 已知正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，若三棱锥的体积为，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
10. 若，则( )
A. B. C. D.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
12. 如图，已知正方体的棱长为，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则( )
A. ，，三点共线
B. 异面直线与所成的角为
C. 点到平面的距离为
D. 过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知事件和相互独立，且，则 ______ ．
14. 已知在上单调递减，则的取值范围是______ ．
15. 若，，其中，，则的值为______ ．
16. 若两个正实数、满足，并且恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，，且．
求实数的值
求向量与的夹角．
18. 本小题分
“无故障里程”是指汽车从出厂到首次出现故障时共行驶的里程，某市场研究机构从某品牌出现过故障的汽车中随机抽取了辆，再查这些汽车的无故障里程单位：百公里，将调查数据按照，，，分成组．得到下面的频率分布直方图．
Ⅰ将频率分布直方图补充完整；
Ⅱ求该品牌汽车无故障里程的平均数的估计值；每组以该组数据所在区间的中点值为代表
Ⅲ该品牌汽车的广告宣称：该品牌汽车无故障里程不低于百公里的汽车至少占全部汽车的请你根据样本数据判断：该广告内容是否属实？
19. 本小题分
已知函数
求函数的单调增区间；
将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．
20. 本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．
证明：平面；
若是上一点，且，求三棱锥的体积．
21. 本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求的取值范围．
22. 本小题分
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费元．已知这种水果的市场售价大约为元千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为单位：元．
求函数关系式；
当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
可求出集合，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：，
．
故选B．

2.【答案】
【解析】解：列举出满足条件的点的坐标，即可得解“点落在轴上”包含的基本事件有：、、、、、、，共个．
故选：．
利用列举法一一列举即可求解．
本题考查了事件的概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知复数满足，
即，，
故选：．
根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．
解得的范围，即可判断出结论．
【解答】
解：由，解得或，
故”是“”的充分不必要条件，
故选：．

5.【答案】
【解析】解：根据题意，，其定义域为，
有，函数为奇函数，排除，
在区间上，，则有，排除，
又由，排除，
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除，再分析区间上函数的符号，排除，又由，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值的分析，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，
因为为边上的中线，
所以，
又点在上，且，
所以，
所以．
故选：．
利用三角形法则和平行四边形法则表示向量．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于中档题．
利用题中的数据，设出地球与天狼星的距离为，地球与老人星的距离为，即可解出．
【解答】
解：设地球与天狼星的距离为，地球与老人星的距离为，
由题意可得，
，
，
，
故选：．

8.【答案】
【解析】解：
由题意得，为等边三角形，取的中心，设球心为，易得，，共线，
设三棱锥的高为，，
则，则，
又，
由正弦定理得，，
在中，，即，
解得，
则球的表面积为．
故选：．
取的中心，设球心为，先由三棱锥的体积求出棱锥的高为，再由勾股定理求出球的半径，最后求表面积即可．
本题考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，指数函数是非奇非偶函数，故不符合题意；
对于，是奇函数，且在定义域内单调递减，符合题意；
对于，为奇函数，在和上单调递减，在其定义域内不具有单调性，不符合题意；
对于，，既是奇函数，在定义域内又是减函数，符合题意．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：需要，不能满足，选项错误；
由指数函数的性质，当时，有，选项正确；
由幂函数的性质，当时，有，即，选项正确；
当，时，满足，但不成立，选项错误．
故选：．
由不等式的性质，指数函数、对数函数和幂函数的性质，判断不等式是否成立．
本题主要考查了函数性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由图可知，，最小正周期，即选项A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，，
对于选项B，当时，，
所以，即B错误；
对于选项C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，即C正确；
对于选项D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，即D正确．
故选：．
先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项，即可．
本题考查三角函数的图象与性质，理解中，，的几何意义，熟练掌握正弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为为底面的中心，
所以为和的中点，则，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
所以点是平面与平面的公共点；
显然是平面与平面的公共点；
因为交平面于点，平面，
所以也是平面与平面的公共点，
所以，，三点都在平面与平面的交线上，
即，，三点共线，故A正确；
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，即异面直线与所成的角为，故B不正确；
根据证明的方法，同理可得，
因为，，平面，
所以平面，
则的长度就是点到平面的距离，
显然为正三角形的中心，
因为正方体的棱长为，
所以正三角形的边长为，
所以，
又，
所以，
即点到平面的距离为，故C正确；
取的中点，连，，，，
因为，
所以等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，如图：
因为，，，
所以等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，
即过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确．
故选：．
通过证明，，三点都是平面与平面的公共点，可知A正确；利用线面垂直的判定与性质可证异面直线与所成的角为，可知不正确；通过证明平面，得的长度就是点到平面的距离，计算的长度可知C正确；取的中点，可得等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，计算等腰梯形的面积可知，D正确．
本题考查立体几何知识的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：事件和相互独立，且，
则．
故答案为：．
由相互独立事件的概率乘法公式计算即可．
本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，已知在上单调递减，
则有，解可得即的取值范围为
故答案为：
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
本题考查分段函数的单调性，注意分段函数的解析式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，运用三角函数同角和公式，可得， 的值，再结合余弦函数的两角差公式，即可求解．
本题主要考查了余弦函数的两角和与两角差公式，以及三角函数的同角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式求解最值，把不等式恒成立问题转化为最值求解，属于中档题．
运用乘“”法得，展开后利用基本不等式得，将恒成立问题转化为不等式，求解即可．
【解答】
解：两个正实数、满足，
，
当且仅当时，取等号，
恒成立，
，
求解得出的范围：，
故答案为．

17.【答案】解：Ⅰ，，，，
分
．
分
解得分
Ⅱ由Ⅰ知，，
，分
分
，
分
【解析】由已知首先求出的坐标，然后利用向量的数量积公式关于的方程，解之；然后利用数量积公式求夹角．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算以及向量垂直的性质运用；属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ由，
知组对应的频率组距为，
补充完整的频率分布直方图如图所示．
Ⅱ该品牌汽车无故障里程的平均数的估计值为百公里．
Ⅲ该品牌汽车无故障里程低于百公里的汽车的频率为，
所以该品牌汽车无故障里程不低于百公里的汽车的频率为，
故该广告内容不属实．
【解析】Ⅰ由频率和为，可得组对应的频率，再补全图形，即可；
Ⅱ根据平均数的计算方法，即可得解；
Ⅲ计算该品牌汽车无故障里程不低于百公里的汽车的频率，与比较大小，即可判断．
本题考查统计与概率，熟练掌握频率分布直方图及其数字特征的计算方法是解题的关键，考查对数据的分析与处理能力，属于基础题．
19.【答案】解：函数，
令，求得，
可得函数的单调增区间为．
将函数的图象向右平移个单位，可得 的图象，
再向下平移个单位后得到函数的图象，可得的图象，
当时，，，
函数的值域．
【解析】由题意利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调增区间．
根据函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出当时，求函数的值域．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20.【答案】证明：四边形为菱形，．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
平面，．
又，，得．
又，平面，，
平面；
解：由得平面，
平面，，
，可得为等腰三角形．
在中，由余弦定理得．
，，则．
可得，
又，
．
【解析】由四边形为菱形，得，再由平面平面，由面面垂直的性质可得平面，得到求解三角形证明然后利用直线与平面垂直的判定可得平面；
由得平面，则，求得，得到为等腰三角形．证明，再由求解．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
21.【答案】解：由得：，
又，
，
由锐角得：；
，，设三角形外接圆的半径为，
根据正弦定理得：，又，
，
，，
又，，即，
，
为锐角三角形，
，
，
．
【解析】利用正弦定理化简已知的等式，根据不为，两边同时除以后，得到的值，由为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；
利用正弦定理得到，把与的值代入求出的值，进而表示出和，将表示出的，代入表示出，并由的度数，利用三角形的内角和定理得到的度数，用表示出，代入表示出的，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后提取，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据的范围求出这个角的范围，可得出此时正弦函数的值域，进而确定出的范围．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
22.【答案】解：因为肥料成本投入为元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费元．已知这种水果的市场售价大约为元千克，且，
所以，
即函数关系式为；
由得，
当时，元；
当时，元，当且仅当时，即时等号成立．
因为，所以当时，元．
所以当施用肥料为千克时，种植该果树获得的最大利润是元
【解析】利用，即可求解；
对进行化简，得到，分类在和时，求解的最大值，进而得到答案．
本题考查了函数模型在实际问题中的应用，属于中档题．
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