2023-2024学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高三（上）入学数学试卷（word版含解析）

2023-2024学年平江县颐华高级中学高三（上）入学
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知集合，，若，则有( )
A. B. C. D.
2. 已知函数若函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
3. 已知，，在所在平面内，且，且，则点，，依次是的( )
A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心
4. 设是等比数列，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5. 设，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7. 设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片，现有块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为块，块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为，则甲厂生产该芯片的次品率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且，，则( )
A. B. C. D.
9. 下列说法正确的是( )
A. 设随机变量服从二项分布，则
B. 已知随机变量服从正态分布，且，则
C. 甲、乙、丙三人均准备在个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有个景点未被选择的条件下，恰有个景点未被选择的概率是
D. ，
10. 已知函数的图象关于点对称，则( )
A. 在单调递增
B. 直线是曲线的一条对称轴
C. 直线是曲线的一条切线
D. 在上有两个极值点
11. 正四面体的棱长为，，分别是棱，上的点，且，，则( )
A. 直线与直线异面 B. 存在，使得平面
C. 存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为
12. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为 B.
C. 的面积为 D.
二、非选择题（共90分）
13. 已知，则的值为______ ．
14. 在的展开式中，的系数是 ．
15. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线的左支交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为______ ．
16. 函数有两个零点，且极大值小于，则实数的取值范围是______ ．
17. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，，求的周长与面积．
18. 设数列满足，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
19. 如图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
证明：平面平面；
当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正切值．
20. 由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了，两个地区的名观众，得到如表所示的列联表．
非常喜欢 喜欢 合计
_____
_____
合计 _____ _____ _____
已知在被调查的名观众中随机抽取名，该观众来自地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为．
现从名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的，地区的人数各是多少？
完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的分布列和期望．
附：，，
21. 已知点在双曲线：上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为．
求的斜率；
若，求的面积．
22. 已知函数．
讨论的单调性；
设，为两个不相等的正数，且，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，
当即时，方程无实数根，
所以，，符合题意．
当，即时，
若，则，，
，，符合题意；
若，则，，
，，不符合题意．
当，即或时，
设方程的两个根为，，则，
若，则方程有两个不相等的负根，，不符合题意；
若，则方程有两个不相等的正根，，符合题意．
综上所述，的取值范围是．
故选：．
用判别式进行分类讨论，结合求得正确答案．
本题主要考查了集合交集的性质，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：函数，
．
时，，令，解得．
同理可得：时，，解得．
时，，解得．
时，，解得．
综上可得：函数的零点个数为．
故选：．
函数，通过对分类讨论可得进而解出即可．
本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形四心等基础知识，属于基础题．
由题意根据三角形四心的定义，判断即可．
【解答】
解：，到三角形三个顶点的距离相等，是三角形的外心；
由，则，取的中点，则，
所以，所以是的重心
，，，，
同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，，
，解得．
则．
故选：．
利用等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
将变形为，然后前两项和后两项分别用均值不等式，即可求得最小值．
本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基本不等式求出最值．
【解答】
解：
当且仅当取等号
即取等号．
的最小值为
故选：．

6.【答案】
【解析】解：四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，，
如图所示：
首先求四棱锥的外接球的球心；
首先作平面的中心的垂线，和过的中点作平面的垂线，相交于点；即四棱锥的球心．
故A；
所以．
故选：．
首先确定四棱锥的外接球的球心，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：四棱锥和外接球的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设甲条生产线生产芯片的次品率为，则甲生产块芯片可能出现的次品为，乙生产块可能出现的次品为，
所以生产块芯片的次品率为，解得，
所以甲厂生产该芯片的次品率为．
故选：．
设甲条生产线生产芯片的次品率为，根据题意列方程求出的值．
本题考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，则，即，
，，
，则，
的周期为，
令，得，解得，
又，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据题意求得函数的周期为，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．
本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，若随机变量服从二项分布，
则，故A正确；
选项B，随机变量服从正态分布，
正态曲线的对称轴是直线，
，
，
，故B正确；
选项C，设事件为至少有个景点末被选择，事件为恰有个景点末被选择，
则，
，故C正确；
选项D，，，故D不正确．
故选：．
根据正态分布和二项分布的性质进行计算可判断，，根据条件概率的计算公式计算可得判断，根据期望和方差的性质可判断．
本题考查了二项分布，正态分布的概率计算，条件概率以及期望与方差的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：函数的图象关于点对称，
，，，
在上，，故函数在上单调递减，故A错误；
令，求得，可得函数关于点对称，故B错误；
令，可得，
故有或，，
即或，．
故可取，此时，，
故函数在点处的切线方程为，即，故C正确．
在区间上，，
故函数只有一个极值点，为极小值点，故D错误．
故选：．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，求函数在某一点的切线方程，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为直线与平面交于点，平面，且不经过点，
所以直线与直线异面，故 A正确；
当时，，分别是棱，的中点，此时，
因为平面，平面，所以平面，故B正确；
设为的中心，连接，因为经过点有且只有一条直线垂直于平面，
所以经过点且垂直于平面的平面一定经过直线，
即当且仅当，，三点共线时，平面平面，
因为，，所以，，
设的中点为，连接，则，
因为，，三点共线，所以，
整理得，因为，所以此方程无解，
所以不存在，使得平面平面，故C错误；
易知，
在中，，，
所以的面积，
当且仅当时等号成立，
所以三棱锥体积的最大值为故D错误．
故选：．
对于，根据异面直线的定义即可判断；对于，当时，，分别是棱，的中点，得到，再根据线面平行的判定定理即可得解；对于，根据题意得到当，，三点共线时，平面平面，然后利用平面向量基本定理的推论判断即可；对于，先求出三棱锥的高，然后利用基本不等式求出面积的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值．
本题考查空间几何体的性质，考查面面垂直的证明，考查线面平行的判定，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：点在抛物线上，
，
，焦点为，准线为，对，
因为，
故，
故直线为：，
联立或，
，
，，
，错，
，对，
的面积为故C错，
故选：．
根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，以及三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
则．
故答案为：．
利用同角三角函数基本关系式化简所求表达式为余弦函数的形式，代入求解即可．
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
根据二项展开式的通项公式求出展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，即可求得的系数．
【解答】
解：的展开式的通项公式为，
令，
解得，
所以的系数是，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：如图，
，是的中点，为的中点，
，点到渐近线的距离，
又，，
连接，可知，
则由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理得，
整理得，
双曲线的离心率为，
故答案为：．
由，是的中点，可得为的中点，再由，到渐近线的距离为，且，得出的余弦值，在中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理以及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意知定义域为，，
当时，恒成立，即在上单调递增，
所以至多有一个零点，不合题意；
当时，令，解得：，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，
解得，
若有两个零点，则需，
解得，
所以，
此时，即，
又，，
所以在和存在两个零点，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为．
故答案为：．
求导后，分别在和的情况下讨论的单调性，从而确定极大值为，根据函数有两个零点和已知可确定，由此可得的范围，结合零点存在定理可说明此时有两个零点，由此可得结论．
本题考函数的零点，导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由正弦定理得，
故，
而在中，，
故，
又，所以，则，
则，，
故．
因为，且，，
所以，，
由得，，
则，
由正弦定理得，
则，，
故的周长为；
的面积为．
【解析】利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得；
先求得，然后利用正弦定理求得，，从而求得三角形的周长与面积．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
18.【答案】解：因为数列中，，且，
可得，，
可猜想：数列的通项公式为，
由数列满足，
可得，
则，
，
，
，
因为，所以，所以，
故数列的通项公式为．
由，可得，
则，
可得，
两式相减可得
，
所以．
【解析】根据题意，求得，，猜想，结合数列的递推公式加以证明，即可求解；
由得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解．
本题考查向量的通项公式的求解，错位相减法求和，化归转化思想，属中档题．
19.【答案】证明：由题设知，平面平面，交线为．
，平面，
平面，平面，
故BC，是上异于，的点，且为直径，
，又，，平面，
平面，而平面，
故平面平面；
解：以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
当三棱锥体积最大时，为的中点．
由题设得，，，，，
，
设平面的法向量为，则，
令，则平面的法向量，
又是平面的一个法向量，
因此，，
得，，，
面与面所成二面角的正切值是．
【解析】证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；
当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果．
本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得，解得，
所以应从地抽取人，从地抽取人；
完成表格如下：
非常喜欢 喜欢 合计
合计
零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关，，
所以没有的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；
从地区随机抽取人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，
从地区随机抽取人，则，
的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
故．
【解析】求出的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果；
补全列联表，再根据独立性检验求解即可；
由题意知，进而根据二项分布求解即可．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：将点代入双曲线方程得 ，
化简得，，故双曲线方程为，
由题显然直线的斜率存在，设：，设，
则联立双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线不过点，故；
设直线的倾斜角为，由，，得，
由，，得，即，
联立，及得，
代入直线 得，故，
而，
由，得，
故．
【解析】将点代入双曲线方程得，由题显然直线的斜率存在，设：，与双曲线联立后，根据直线，的斜率之和为，求解即可；设直线的倾斜角为，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．
22.【答案】解：由函数的解析式可得，
，，单调递增，
，，单调递减，
则在单调递增，在单调递减．
证明：由，得，
即，
由在单调递增，在单调递减，
所以，且，
令，，
则，为的两根，其中．
不妨令，，则，
先证，即证，即证，
令，
则在单调递减，
所以，
故函数在单调递增，
，，得证．
设，则，
结合，，可得：，
即：，故，
要证：，即证，
即证，
即证：，即证：，
令，，
则
先证明一个不等式：
设，则，
当时当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立
综上所述，
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．
首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，
利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造函数分别证明左右两侧的不等式即可．
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