人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（四） 同步练习
一、选择题
1．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA等于（ ）
A．12 B．6 C．8 D．10
2．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若BO=6cm，OC=8cm 则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
3．如图， 是四边形 的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E.则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）
A．4：5 B．5：6 C．6：7 D．7：8
5．如图，⊙ 与正方形 的两边 相切，且 与⊙ 相切于点 .若 ， ，则⊙ 的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·深圳）如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣ x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在以点B为圆心的 上，过点E作 所在圆的切线分别交边AD，CD于点F，G，连接AE，DE，若∠DEA=90°，则FG的长为（ ）
A．4 B． C． D．3
二、填空题
9．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
10．如图，已知：⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，若AB＝4，AC＝5，AD＝1，则BC＝ ．
11．（2018·资中模拟）PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB= cm．
12．如图，AC是⊙O的直径，∠ACB=60°，连接AB，过A、B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P．若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长为 ．
13．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为 .
14．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N.若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为 .
三、解答题
15．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．
16．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根，求△PCD的周长．
17．已知：如图，过圆O外一点B作圆O的切线BM，M为切点，BO交圆O于点A，过点A作BO的垂线，交BM于点P，BO＝3，圆O的半径为1．求：MP的长.
18．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：EB=EC；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ODEC是正方形？证明你的结论．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2 ，则DE= ；
②当∠B= 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∵△PDE的周长为12，
∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12，
∴PA=PB=6.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知PA=PB、DA=DC、EC=EB，再根据△PDE的周长为12即可求解。
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可知BE=BF、CF=CG、∠OBF=∠EBC、∠OCF=∠GCB，根据两直线平行同旁内角互补易得∠BOC=90°，借助勾股定理可得BC的长，据此即可选择。
3．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴多边形的每条边都与⊙O相切.
根据切线长定理可知，AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DE＝DH，即②正确；
∵四边形形状不定，
∴①④无法判定；
又∵AB＋CD＝AF＋BF＋CH＋DH，AD＋BC＝AE＋AD＋BG＋CG；
∴AB＋CD＝AD＋BC，③正确.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知AF＝AE、BF＝BG、CG＝CH、DE＝DH，借助等式性质逐个即可判断。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设EF=x，DF=y，则DE=x+y
则在△ADE中根据勾股定理得：（y-x）2+y2=（x+y）2，
∴ADE的周长=12x，直角梯形EBCD周长=14x
∴周长之比为12x：14x=6：7．
故答案为：C．
【分析】由切线长定理可知BE=EF、DF=DC，设EF=x、DF=y，结合正方形性质则可表示出DE、AE、AD的长，在△ADE中根据勾股定理建立x、y的方程，从而找出x、y的数量关系，据此即可解答。
5．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，作辅助线 .
由题可知 ，
又∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据经过圆心垂直于切线的直线必过切点可知M、N是切点，由切线长定理可得DE=DM、AM=AN，借助四边形ABCD是正方形此时易得四边形ANOM是正方形，再由AB、DE长即可求出⊙O的半径。
6．【答案】D
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），
∵∠DAC=60°，
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°，
在Rt△AOB中，
∵AB=3，
∴tan∠BAO= ，
∴OB=AB×tan∠60°=3 ，
∴光盘的直径为6 .
故答案为：D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO= ，代入数值即可得半径OB长，由直径是半径的2倍即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：设P点坐标为（p，- p+3），则有
PQ2=PA2-AQ2=（p+1）2+(- p+3)2-12= ，
∵ >0，
∴PQ2最小为8，
∴PQ最小为2 ，
故答案为：D.
【分析】由切线性质易知∠AQP=90°，设P点坐标为（p，-p+3），利用勾股定理表示出PA2、PQ2，建立PQ2与p的二次函数关系式，再根据二次函数的最值即可求解。
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD=AB=4，
∵点B为圆心，AB为半径，
∴DA、DC分别为⊙B的切线，
又∵EF为⊙B的切线，
∴AF=EF，EG=CG，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠DEA=90°，
∴∠FAE+∠FDE=90°，∠FEA+∠FED=90°，
∴∠FDE=∠FED，
∴DF=FE，
∴AF=FD=2，
∴FE=2，
∵FG=FE+EG，
∴EG=FG-2，
∵DG=DC-CG，
∴DG=4-（FG-2）=6-FG，
在Rt△FGD中，∠FDG=90°，∴FG2=DF2+DG2，
即FG2=22+（6-FG）2，
∴FG= .
故答案为：C.
【分析】由条件可得DA、DC分别为⊙B的切线，利用切线长定理可知AF=EF、EG=CG，在Rt△DEA中借助等边对等角、直角三角形两锐角互余易得AF=FE=FD=2，再在Rt△FGD中利用勾股定理可列出关于FG的方程，据此即可解答。
9．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
10．【答案】7
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∵AB=4，AC=5，AD=1，
∴AE=1，BD=3，CE=CF=4，
∴BC=BF+CF=3+4=7．
故答案为：7.
【分析】由切线长定理可知AD=AE、BD=BF、CE=CF，再结合已知条件即可求解。
11．【答案】3
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】根据切线长定理得：
故答案为：3.
【分析】根据切线长定理即可求解。
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°，
∴CB=1，AB= ，
∵AP为切线，
∴∠CAP=90°，
∴∠PAB=60°，
又∵AP=BP，
∴△PAB为正三角形，
∴△PAB的周长为3 ．
故答案为： .
【分析】根据直径所对的圆周角是直角易得∠ABC=90°，此时结合条件易求出AB长、∠BAC=30°，同时又切线长定理和切线的性质可知AP=BP、∠CAP=90°，据此可知△PAB为正三角形，即可求解。
13．【答案】6cm2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4-x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4-1=3cm，
∴S△ADE=AD DE÷2=3×4÷2=6(cm2)．
故答案为：6cm2.
【分析】由切线长定理可知AF=AB、EF=EC，设EF=EC=x，在Rt△ADE中利用正方形四边相等和勾股定理，即可列出x的方程求出x，再根据三角形面积公式即可求解。
14．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接PO，
因为，PA，PB是⊙O的切线，∠P＝60°
所以，∠APO= ∠P=30°，PA=PB，
所以，OP=2OA=2×2=4，
所以，在直角三角形APO中，PA= ，
又因为MN与⊙O相切，
所以，MC=MA，NC=NB，
所以△PMN的周长=PA+PB=4 .
故答案为：4 .
【分析】连接PO，由切线长定理可知PA=PB、∠APO= ∠P=30°，由切线性质有∠PAO=90°，从而可得OP=2OA=4、PA=2，又由切线长定理知MC=MA、NC=NB，据此即可求解。
15．【答案】解：∵EB、EC是⊙O的两条切线，∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，又∵∠E=46°，∠E+∠EBC+∠ECB=180°，∴∠ECB=67°，又∵∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°，∴∠BCD=180°-67°-32°=81°，又∵∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°-81°=99°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理可知EB=EC，故∠ECB=∠EBC，借助等边对等角和三角形内角和可得∠ECB的度数，结合∠DCF的度数可得∠BCD，再利用圆内接四边形对角互补即可解答。
16．【答案】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根，
∴PA+PB=m，PA PB=m-1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB= ，
即 =m-1，
即m2-4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系；切线长定理
【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系可用m的式子表示PA、PB，再根据方程根的意义代入方程即可求出m，从而可得PA、PB长，最后利用切线长定理即可解答。
17．【答案】解：连接OM，则OM⊥BM，
在Rt△BOM中，OM=1，BO=3，
根据勾股定理，得BM= ；
∵AP⊥OB，
∴AP是圆的切线，
又PM是圆的切线，
∴AP=MP；
在Rt△APB中，
设AP=x，AB=3-1=2，BP=2 -x；
根据勾股定理得：（2 -x）2=x2+4
解得x= .
∴AP=.
故MP的长为 .
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OM，由切线的性质可知OM⊥BM，在Rt△BOM中借助勾股定理可得BM的长，由条件可知AP、PM都是圆的切线，根据切线长定理有AP=MP，设AP=x，在Rt△APB中借助勾股定理列出x的方程，据此解答即可。
18．【答案】解：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OD、OE，由切线长定理可知AF=AD、BE=BF、CE=CD，同时根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得OD⊥AD、OE⊥BC，结合∠ACB=90°易得四边形ODCE是正方形，设⊙O的半径为r，由前面的推理即可建立r的方程，据此解答即可。
19．【答案】（1）证明：连接CD，∵AC是直径，∠ACB=90°，∴BC是⊙O的切线，∠ADC=90°．∵DE是⊙O的切线，
∴DE=CE（切线长定理）．
∴∠DCE=∠CDE，又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB．
∴DE=BE，
∴CE=BE．
（2）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ODEC是正方形.证明如下：△ABC是等腰直角三角形．则∠B=45°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，则∠DEB=90°，
又∵OC=OD，∠ACB=90°，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴∠ODE=90°，
∴四边形ODEC是矩形，
∵EC=ED，∴四边形ODEC是正方形.
【知识点】正方形的判定；圆周角定理；切线的判定与性质；等腰直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】（1）由条件可知BC、DE都是⊙O的切线，根据切线长定理可得DE=CE，连接CD，由直径所对的圆周角是直角又知∠ADC=90°，在Rt△CDB中借助等边对等角及互余的性质可得DE=BE，据此即可证明；
（2）由△ABC是等腰直角三角形可知∠B=45°，借助(1)的推理可得∠DEB=90°，从而可知四边形ODEC是矩形，再根据同圆半径相等即可得结论。
20．【答案】（1）证明：连接DO．
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC.
（2）3；45
【知识点】勾股定理；正方形的判定；切线的性质；切线长定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 ，
∴AB=2AC=4 ，
∴BC= =6，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE= BC=3，
故①答案为：3；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故②答案为：45．
【分析】（1）由条件易得EC、ED都为⊙O的切线，根据切线长定理可知EC=ED，连接DO由切线的性质可知∠EDO=90°，利用同圆半径相等及等角的余角相等可得∠BDE=∠B，从而有BE=ED，据此即可证明；
（2）①在Rt△ACB中由∠B、AC 利用30°的性质及勾股定理可求得AB、BC，由（1）即可得DE长；②当∠B=45°时易得∠DOC=90°，故四边形DECO是矩形，再由同圆半径相等即可得证。
1 / 1人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（四） 同步练习
一、选择题
1．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA等于（ ）
A．12 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∵△PDE的周长为12，
∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12，
∴PA=PB=6.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知PA=PB、DA=DC、EC=EB，再根据△PDE的周长为12即可求解。
2．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若BO=6cm，OC=8cm 则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可知BE=BF、CF=CG、∠OBF=∠EBC、∠OCF=∠GCB，根据两直线平行同旁内角互补易得∠BOC=90°，借助勾股定理可得BC的长，据此即可选择。
3．如图， 是四边形 的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴多边形的每条边都与⊙O相切.
根据切线长定理可知，AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DE＝DH，即②正确；
∵四边形形状不定，
∴①④无法判定；
又∵AB＋CD＝AF＋BF＋CH＋DH，AD＋BC＝AE＋AD＋BG＋CG；
∴AB＋CD＝AD＋BC，③正确.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知AF＝AE、BF＝BG、CG＝CH、DE＝DH，借助等式性质逐个即可判断。
4．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E.则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）
A．4：5 B．5：6 C．6：7 D．7：8
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设EF=x，DF=y，则DE=x+y
则在△ADE中根据勾股定理得：（y-x）2+y2=（x+y）2，
∴ADE的周长=12x，直角梯形EBCD周长=14x
∴周长之比为12x：14x=6：7．
故答案为：C．
【分析】由切线长定理可知BE=EF、DF=DC，设EF=x、DF=y，结合正方形性质则可表示出DE、AE、AD的长，在△ADE中根据勾股定理建立x、y的方程，从而找出x、y的数量关系，据此即可解答。
5．如图，⊙ 与正方形 的两边 相切，且 与⊙ 相切于点 .若 ， ，则⊙ 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，作辅助线 .
由题可知 ，
又∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据经过圆心垂直于切线的直线必过切点可知M、N是切点，由切线长定理可得DE=DM、AM=AN，借助四边形ABCD是正方形此时易得四边形ANOM是正方形，再由AB、DE长即可求出⊙O的半径。
6．（2018·深圳）如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），
∵∠DAC=60°，
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°，
在Rt△AOB中，
∵AB=3，
∴tan∠BAO= ，
∴OB=AB×tan∠60°=3 ，
∴光盘的直径为6 .
故答案为：D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO= ，代入数值即可得半径OB长，由直径是半径的2倍即可得出答案.
7．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣ x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：设P点坐标为（p，- p+3），则有
PQ2=PA2-AQ2=（p+1）2+(- p+3)2-12= ，
∵ >0，
∴PQ2最小为8，
∴PQ最小为2 ，
故答案为：D.
【分析】由切线性质易知∠AQP=90°，设P点坐标为（p，-p+3），利用勾股定理表示出PA2、PQ2，建立PQ2与p的二次函数关系式，再根据二次函数的最值即可求解。
8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在以点B为圆心的 上，过点E作 所在圆的切线分别交边AD，CD于点F，G，连接AE，DE，若∠DEA=90°，则FG的长为（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD=AB=4，
∵点B为圆心，AB为半径，
∴DA、DC分别为⊙B的切线，
又∵EF为⊙B的切线，
∴AF=EF，EG=CG，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠DEA=90°，
∴∠FAE+∠FDE=90°，∠FEA+∠FED=90°，
∴∠FDE=∠FED，
∴DF=FE，
∴AF=FD=2，
∴FE=2，
∵FG=FE+EG，
∴EG=FG-2，
∵DG=DC-CG，
∴DG=4-（FG-2）=6-FG，
在Rt△FGD中，∠FDG=90°，∴FG2=DF2+DG2，
即FG2=22+（6-FG）2，
∴FG= .
故答案为：C.
【分析】由条件可得DA、DC分别为⊙B的切线，利用切线长定理可知AF=EF、EG=CG，在Rt△DEA中借助等边对等角、直角三角形两锐角互余易得AF=FE=FD=2，再在Rt△FGD中利用勾股定理可列出关于FG的方程，据此即可解答。
二、填空题
9．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
10．如图，已知：⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，若AB＝4，AC＝5，AD＝1，则BC＝ ．
【答案】7
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∵AB=4，AC=5，AD=1，
∴AE=1，BD=3，CE=CF=4，
∴BC=BF+CF=3+4=7．
故答案为：7.
【分析】由切线长定理可知AD=AE、BD=BF、CE=CF，再结合已知条件即可求解。
11．（2018·资中模拟）PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB= cm．
【答案】3
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】根据切线长定理得：
故答案为：3.
【分析】根据切线长定理即可求解。
12．如图，AC是⊙O的直径，∠ACB=60°，连接AB，过A、B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P．若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°，
∴CB=1，AB= ，
∵AP为切线，
∴∠CAP=90°，
∴∠PAB=60°，
又∵AP=BP，
∴△PAB为正三角形，
∴△PAB的周长为3 ．
故答案为： .
【分析】根据直径所对的圆周角是直角易得∠ABC=90°，此时结合条件易求出AB长、∠BAC=30°，同时又切线长定理和切线的性质可知AP=BP、∠CAP=90°，据此可知△PAB为正三角形，即可求解。
13．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为 .
【答案】6cm2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4-x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4-1=3cm，
∴S△ADE=AD DE÷2=3×4÷2=6(cm2)．
故答案为：6cm2.
【分析】由切线长定理可知AF=AB、EF=EC，设EF=EC=x，在Rt△ADE中利用正方形四边相等和勾股定理，即可列出x的方程求出x，再根据三角形面积公式即可求解。
14．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N.若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为 .
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接PO，
因为，PA，PB是⊙O的切线，∠P＝60°
所以，∠APO= ∠P=30°，PA=PB，
所以，OP=2OA=2×2=4，
所以，在直角三角形APO中，PA= ，
又因为MN与⊙O相切，
所以，MC=MA，NC=NB，
所以△PMN的周长=PA+PB=4 .
故答案为：4 .
【分析】连接PO，由切线长定理可知PA=PB、∠APO= ∠P=30°，由切线性质有∠PAO=90°，从而可得OP=2OA=4、PA=2，又由切线长定理知MC=MA、NC=NB，据此即可求解。
三、解答题
15．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．
【答案】解：∵EB、EC是⊙O的两条切线，∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，又∵∠E=46°，∠E+∠EBC+∠ECB=180°，∴∠ECB=67°，又∵∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°，∴∠BCD=180°-67°-32°=81°，又∵∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°-81°=99°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理可知EB=EC，故∠ECB=∠EBC，借助等边对等角和三角形内角和可得∠ECB的度数，结合∠DCF的度数可得∠BCD，再利用圆内接四边形对角互补即可解答。
16．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根，求△PCD的周长．
【答案】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根，
∴PA+PB=m，PA PB=m-1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB= ，
即 =m-1，
即m2-4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系；切线长定理
【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系可用m的式子表示PA、PB，再根据方程根的意义代入方程即可求出m，从而可得PA、PB长，最后利用切线长定理即可解答。
17．已知：如图，过圆O外一点B作圆O的切线BM，M为切点，BO交圆O于点A，过点A作BO的垂线，交BM于点P，BO＝3，圆O的半径为1．求：MP的长.
【答案】解：连接OM，则OM⊥BM，
在Rt△BOM中，OM=1，BO=3，
根据勾股定理，得BM= ；
∵AP⊥OB，
∴AP是圆的切线，
又PM是圆的切线，
∴AP=MP；
在Rt△APB中，
设AP=x，AB=3-1=2，BP=2 -x；
根据勾股定理得：（2 -x）2=x2+4
解得x= .
∴AP=.
故MP的长为 .
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OM，由切线的性质可知OM⊥BM，在Rt△BOM中借助勾股定理可得BM的长，由条件可知AP、PM都是圆的切线，根据切线长定理有AP=MP，设AP=x，在Rt△APB中借助勾股定理列出x的方程，据此解答即可。
18．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
【答案】解：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OD、OE，由切线长定理可知AF=AD、BE=BF、CE=CD，同时根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得OD⊥AD、OE⊥BC，结合∠ACB=90°易得四边形ODCE是正方形，设⊙O的半径为r，由前面的推理即可建立r的方程，据此解答即可。
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：EB=EC；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ODEC是正方形？证明你的结论．
【答案】（1）证明：连接CD，∵AC是直径，∠ACB=90°，∴BC是⊙O的切线，∠ADC=90°．∵DE是⊙O的切线，
∴DE=CE（切线长定理）．
∴∠DCE=∠CDE，又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB．
∴DE=BE，
∴CE=BE．
（2）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ODEC是正方形.证明如下：△ABC是等腰直角三角形．则∠B=45°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，则∠DEB=90°，
又∵OC=OD，∠ACB=90°，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴∠ODE=90°，
∴四边形ODEC是矩形，
∵EC=ED，∴四边形ODEC是正方形.
【知识点】正方形的判定；圆周角定理；切线的判定与性质；等腰直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】（1）由条件可知BC、DE都是⊙O的切线，根据切线长定理可得DE=CE，连接CD，由直径所对的圆周角是直角又知∠ADC=90°，在Rt△CDB中借助等边对等角及互余的性质可得DE=BE，据此即可证明；
（2）由△ABC是等腰直角三角形可知∠B=45°，借助(1)的推理可得∠DEB=90°，从而可知四边形ODEC是矩形，再根据同圆半径相等即可得结论。
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2 ，则DE= ；
②当∠B= 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
【答案】（1）证明：连接DO．
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC.
（2）3；45
【知识点】勾股定理；正方形的判定；切线的性质；切线长定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 ，
∴AB=2AC=4 ，
∴BC= =6，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE= BC=3，
故①答案为：3；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故②答案为：45．
【分析】（1）由条件易得EC、ED都为⊙O的切线，根据切线长定理可知EC=ED，连接DO由切线的性质可知∠EDO=90°，利用同圆半径相等及等角的余角相等可得∠BDE=∠B，从而有BE=ED，据此即可证明；
（2）①在Rt△ACB中由∠B、AC 利用30°的性质及勾股定理可求得AB、BC，由（1）即可得DE长；②当∠B=45°时易得∠DOC=90°，故四边形DECO是矩形，再由同圆半径相等即可得证。
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