高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.2两条直线平行和垂直的判定

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.2两条直线平行和垂直的判定
一、单选题
1．（2018高二上·拉萨月考）若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是（　　）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合
2．若过点 和点 的直线与方向向量为 的直线平行，则实数 的值是（　　）
A． B． C．2 D．-2
3．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是 （　　）
①l1的斜率为2，l2过点A(1，2)、B(4，8)；②l1经过点P(3，3)、Q(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过P点；③l1经过点M(－1，0)、N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)、S(0，5)．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．已知直线 的倾斜角为60°，直线 经过点 ， ，则直线 ， 的位置关系是（　　）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
5．已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（　　）
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
6．若直线 经过点 和 ，且与斜率为 的直线垂直，则实数 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．下列条件中，使得 的是（　　）
① 的斜率为 ， 经过点 ， ；② 的倾斜角为 ， 经过点 ， ；③ 经过点 ， ， 经过点 ， ．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．已知四边形 的顶点 ，则四边形 的形状为（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
9．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知 的三个顶点分别是 ，则 是　 　．（填 的形状）
11．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为　 　．
12．已知直线 经过点 , ，直线 经过点 ， ，若 ，则a的值是　 　.
13．已知点 ， ，点 在 轴上，且 ，则点 的坐标是　 　．
三、解答题
14．已知正方形 的边长为4，若 是 的中点， 是 的中点，求证： ．
15．已知直线l的倾斜角为 ，点 在直线l上，将直线l绕点 按逆时针方向旋转 后到达直线 的位置，此时直线 与 平行或重合，且 是线段 的垂直平分线，其中 ，试求 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】 直线l1的倾斜角为135°， 其斜率 ，
直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)， 其斜率 ，
显然满足 ，
l1与l2平行或重合.
故答案为：D.
【分析】利用两点坐标，计算直线的斜率，比较两直线斜率，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意得， 与 共线，所以 ，
解得 ，经检验知， 符合题意。
故答案为：B．
【分析】利用直线方向向量的定义结合已知条件，再利用向量的坐标表示结合已知条件求出向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出实数m的值。
3．【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】kAB＝ ＝2，
∴l1与l2平行或重合，故①不正确，排除A、C、D，
故答案为：B．
【分析】利用两直线平行斜率相等结合两点求斜率公式，进而找出满足要求的序号。
4．【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，即直线 ， 的位置关系是垂直．
故答案为：C．
【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系式求出直线 的斜率，再利用两点求斜率公式求出直线 的斜率，再利用两直线斜率之积等于-1则两直线垂直，进而判断出两直线 ， 的位置关系 。
5．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；
此时AB∥CD，当kAB=kCD时， ，得到m=1，此时AB∥CD.
故答案为：D.
【分析】特别需要考虑两直线斜率都不存在时两直线平行的情况.
6．【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】由题意得，直线 的斜率为 ，
，解得： 。
故答案为：A
【分析】利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出实数a的值。
7．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】①： 的斜率为 ，因为 ，所以 ，①正确；
②： 的斜率为 ， 的斜率为 ，由 ，
则 不成立，故②不正确；
③： 的斜率为 ， 的斜率为 ，由 ，
则 成立，故③正确.
故答案为：B．
【分析】利用两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系结合已知条件，再结合两点求斜率公式和直线的倾斜角与直线斜率的关系式，进而找出满足要求的序号。
8．【答案】D
【知识点】用斜率判定两直线平行；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为矩形。
故答案为：D.
【分析】利用两直线平行斜率相等结合已知条件，进而推出线线平行，即 和 ，再结合平行四边形的定义推出四边形 为平行四边形，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而推出线线垂直，即 ，从而推出四边形 为矩形。
9．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
10．【答案】直角三角形
【知识点】用斜率判定两直线垂直；三角形的形状判断
【解析】【解答】由已知得， 边所在直线的斜率 ，
边所在直线的斜率
边所在直线的斜率 ，
所以 ，所以 ，所以 是直角三角形。
故答案为：直角三角形。
【分析】利用两点求斜率公式结合已知条件求出三角形三条边所在直线的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1等价关系，进而判断出三角形的形状。
11．【答案】－1
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】 线段PQ的垂直平分线的斜率为－1。
【分析】利用两点求斜率公式求出直线PQ的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1 的等价关系，进而得出线段PQ的垂直平分线的斜率。
12．【答案】5或-6
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】设直线 的斜率分别为 ，
∵直线 经过点 , ，且 ，
∴ 的斜率存在；当 时， 不存在， ,则 ；当 ,即 时, 存在，由 ，得 ，解得 ，综上可知，a的值为5或-6。
【分析】利用分类讨论的方法结合两点求斜率公式，再结合两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系，从而求出a的值。
13．【答案】（0，-11）
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】设 ，由题意知， ， 存在，
又知 ，所以 ，解得 ，
所以点 的坐标是（0，-11）。
故答案为：（0，-11）。
【分析】设 ，由题意知， ， 存在，又知 ，所以两直线垂直，再利用两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系，进而求出y的值，从而求出点P的坐标。
14．【答案】证明：建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ，
所以斜率 ， ．.又 ，所以
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而证出线线垂直，即证出 。
15．【答案】解：如图，直线 的倾斜角为 ，
直线 的斜率 ．
与 平行或重合，
的斜率为 ．
是线段 的垂直平分线，
，
解得
【知识点】用斜率判定两直线平行；用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】利用已知条件得出直线 的倾斜角为 ，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，进而求出直线 的斜率，再利用两直线平行或重合斜率相等，进而求出直线 的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而结合两点求斜率公式，从而利用直线 是线段AB的垂直平分线，进而求出实数m的值。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.2两条直线平行和垂直的判定
一、单选题
1．（2018高二上·拉萨月考）若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是（　　）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合
【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】 直线l1的倾斜角为135°， 其斜率 ，
直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)， 其斜率 ，
显然满足 ，
l1与l2平行或重合.
故答案为：D.
【分析】利用两点坐标，计算直线的斜率，比较两直线斜率，即可得出答案。
2．若过点 和点 的直线与方向向量为 的直线平行，则实数 的值是（　　）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意得， 与 共线，所以 ，
解得 ，经检验知， 符合题意。
故答案为：B．
【分析】利用直线方向向量的定义结合已知条件，再利用向量的坐标表示结合已知条件求出向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出实数m的值。
3．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是 （　　）
①l1的斜率为2，l2过点A(1，2)、B(4，8)；②l1经过点P(3，3)、Q(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过P点；③l1经过点M(－1，0)、N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)、S(0，5)．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】kAB＝ ＝2，
∴l1与l2平行或重合，故①不正确，排除A、C、D，
故答案为：B．
【分析】利用两直线平行斜率相等结合两点求斜率公式，进而找出满足要求的序号。
4．已知直线 的倾斜角为60°，直线 经过点 ， ，则直线 ， 的位置关系是（　　）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，即直线 ， 的位置关系是垂直．
故答案为：C．
【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系式求出直线 的斜率，再利用两点求斜率公式求出直线 的斜率，再利用两直线斜率之积等于-1则两直线垂直，进而判断出两直线 ， 的位置关系 。
5．已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（　　）
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；
此时AB∥CD，当kAB=kCD时， ，得到m=1，此时AB∥CD.
故答案为：D.
【分析】特别需要考虑两直线斜率都不存在时两直线平行的情况.
6．若直线 经过点 和 ，且与斜率为 的直线垂直，则实数 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】由题意得，直线 的斜率为 ，
，解得： 。
故答案为：A
【分析】利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出实数a的值。
7．下列条件中，使得 的是（　　）
① 的斜率为 ， 经过点 ， ；② 的倾斜角为 ， 经过点 ， ；③ 经过点 ， ， 经过点 ， ．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】①： 的斜率为 ，因为 ，所以 ，①正确；
②： 的斜率为 ， 的斜率为 ，由 ，
则 不成立，故②不正确；
③： 的斜率为 ， 的斜率为 ，由 ，
则 成立，故③正确.
故答案为：B．
【分析】利用两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系结合已知条件，再结合两点求斜率公式和直线的倾斜角与直线斜率的关系式，进而找出满足要求的序号。
8．已知四边形 的顶点 ，则四边形 的形状为（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
【答案】D
【知识点】用斜率判定两直线平行；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为矩形。
故答案为：D.
【分析】利用两直线平行斜率相等结合已知条件，进而推出线线平行，即 和 ，再结合平行四边形的定义推出四边形 为平行四边形，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而推出线线垂直，即 ，从而推出四边形 为矩形。
9．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
二、填空题
10．已知 的三个顶点分别是 ，则 是　 　．（填 的形状）
【答案】直角三角形
【知识点】用斜率判定两直线垂直；三角形的形状判断
【解析】【解答】由已知得， 边所在直线的斜率 ，
边所在直线的斜率
边所在直线的斜率 ，
所以 ，所以 ，所以 是直角三角形。
故答案为：直角三角形。
【分析】利用两点求斜率公式结合已知条件求出三角形三条边所在直线的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1等价关系，进而判断出三角形的形状。
11．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为　 　．
【答案】－1
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】 线段PQ的垂直平分线的斜率为－1。
【分析】利用两点求斜率公式求出直线PQ的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1 的等价关系，进而得出线段PQ的垂直平分线的斜率。
12．已知直线 经过点 , ，直线 经过点 ， ，若 ，则a的值是　 　.
【答案】5或-6
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】设直线 的斜率分别为 ，
∵直线 经过点 , ，且 ，
∴ 的斜率存在；当 时， 不存在， ,则 ；当 ,即 时, 存在，由 ，得 ，解得 ，综上可知，a的值为5或-6。
【分析】利用分类讨论的方法结合两点求斜率公式，再结合两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系，从而求出a的值。
13．已知点 ， ，点 在 轴上，且 ，则点 的坐标是　 　．
【答案】（0，-11）
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】设 ，由题意知， ， 存在，
又知 ，所以 ，解得 ，
所以点 的坐标是（0，-11）。
故答案为：（0，-11）。
【分析】设 ，由题意知， ， 存在，又知 ，所以两直线垂直，再利用两直线垂直斜率之积等于-1的等价关系，进而求出y的值，从而求出点P的坐标。
三、解答题
14．已知正方形 的边长为4，若 是 的中点， 是 的中点，求证： ．
【答案】证明：建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ，
所以斜率 ， ．.又 ，所以
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而证出线线垂直，即证出 。
15．已知直线l的倾斜角为 ，点 在直线l上，将直线l绕点 按逆时针方向旋转 后到达直线 的位置，此时直线 与 平行或重合，且 是线段 的垂直平分线，其中 ，试求 的值．
【答案】解：如图，直线 的倾斜角为 ，
直线 的斜率 ．
与 平行或重合，
的斜率为 ．
是线段 的垂直平分线，
，
解得
【知识点】用斜率判定两直线平行；用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】利用已知条件得出直线 的倾斜角为 ，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，进而求出直线 的斜率，再利用两直线平行或重合斜率相等，进而求出直线 的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而结合两点求斜率公式，从而利用直线 是线段AB的垂直平分线，进而求出实数m的值。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1