沪科版八年级数学上册 第十三章单元检测b卷
一、选择题
1．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的两边之和需大于第三边，两边之差需小于第三边。
2．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD（不包括∠FCD）相等的角有（ ）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如下图，
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE=∠ABF=∠CDF=90°，
∵∠1=∠F=45°，
∴∠FCD=180°-90°-45°=45°，∠A=180°-90°-45°=45°，∠2=90°-45°=45°，
∴∠FCD=∠F=∠1=∠A=∠2=45°，即和∠FCD相等的角有4个.
故答案为：D.
【分析】根据角的运算可得出与∠FCD相等的角。
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）
A．120° B．80° C．60° D．40°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠B的度数为：60°．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和以及三个角之比，求出三角形的度数。
4．（2016八上·鄱阳期中）下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
故选D．
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
5．（2018·洪泽模拟）如图，直线l1 ∥ l2 ，CD⊥AB于点D ，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．30°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠ABC=∠1=50°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°，
∴∠BCD=40°，
故答案为：A．
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠1=50°，根据垂直的定义及三角形的内角和得出∠BCD的度数。
6．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图：
∴
.
故答案为：C．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，计算∠1+∠2的和。
7．如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为（ ）
A．26°40′ B．27°20′
C．27°40′ D．73°20′
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】解：∵l1∥l2，∠1=50°，
∴∠4=∠1=50°，
∵∠4=∠2+∠3，∠2=23°20′，
∴∠3=26°40′，
故选A
【分析】由两直线平行内错角相等得到∠4=∠1，再利用三角形外角性质即可确定出所求角的度数．
8．如图，在△ABC中，∠A=60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（ ）度.
A．140 B．190 C．320 D．240
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED
∴∠1+∠2
=∠A+∠ADE+∠A+∠AED
=∠A+(∠ADE+∠A+∠AED)
=60°+180°
=240°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可求出∠1+∠2的度数。
9．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点E，D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（ ）
A．34° B．40° C．42° D．46°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，
故答案为：C
【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，根据三角形的内角和得出2x+y=180°﹣120°=60°①，x+2y=180°﹣102°=78°②，根据等式的性质，由①+②得3x+3y=138°，最后根据三角形的内角和及整体代入即可算出答案。
10．如图有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论正确的是（ ）
A．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠7
C．∠1+∠4+∠6=180° D．∠2+∠3+∠5=360°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、由图可知，∠2=∠7+∠8，
∠4≠∠8，
所以，∠2=∠4+∠7不成立，故本选项不符合题意；
B、根据三角形的外角性质，∠3等于∠1、∠7的对顶角的和，
所以，∠3=∠1+∠7，故本选项符合题意；
C、∠4=∠1+∠6，
由图可知，∠4是钝角，
所以，∠1+∠4+∠6=180°不成立，故本选项不符合题意；
D、根据多边形的外角和定理，∠2+∠4+∠5=360°，
∵l3、l4不平行，
∴∠3≠∠4，
∴∠2+∠3+∠5=360°不成立，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据对顶角、内错角、同旁内角的定义，进行角的运算，得出正确的结论。
11．△ABC中，已知点D，E，F 分别是BC，AD，CE边上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEF的值为（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm2
【答案】B
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边BC、AD上的中点，
∴S△ABD= S△ABC，S△ACD= S△ABC，
S△BDE= S△ABD，S△CDE= S△ACD，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE= S△ABD+ S△ACD= S△ABC，
∵点F是边CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= × S△ABC= S△ABC，
∵S△ABC=4，
∴S△BFF= ×4=1.
故答案为：B.
【分析】根据所给的三角形的面积以及中点的性质，可得出S△BFF。
12．如图，已知直线AB∥CD，∠C=135°，∠A=45°，则△AEF的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠C=135°，
∴∠BFC=180°﹣∠C=180°﹣135°=45°，
∴∠AFE=∠BFC=45°，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠AFE=45°，
∴∠E=180°﹣45°×2=90°
∴△AEF是等腰直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据同旁内角以及对顶角的定义，可得知△AEF是等腰直角三角形。
二、填空题
13．若要与长为4、7的两根木条组成三角形，那么第三条木棍x取值范围应为 。
【答案】3【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵要与长为4、7的两根木条组成三角形，
∴7-4故答案为：3【分析】根据三角形的边长关系，可得出第三边的取值范围。
14．（2018·白银）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c= ．
【答案】7
【知识点】三角形三边关系；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案是：7．
【分析】根据几个非负数之和为0，则每一个数都为0，求出a、b的值，再利用三角形的三边关系定理求出c的取值范围，由c为奇数，可求出c的值。
15．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|= ．
【答案】2b﹣2a
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．
故答案为：2b﹣2a.
【分析】根据三角形的三边关系以及绝对值的非负性可以化简原式。
16．（2015七下·农安期中）一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°．则∠BFD的度数是 ．
【答案】15°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠CDF=60°，
∵∠CDF是△BDF的外角，∠B=45°，
∴∠BFD=∠CDF﹣∠B=60°﹣45°=15°．
故答案为：15°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
17．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC=2BE，BD是边AC上的中线，若S△ABC=18，则S△ADF-S△BEF= ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
即 .
故答案为：3.
【分析】根据中线以及三角形面积的换算，可得出S△ADF-S△BEF的值。
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…．已知∠A=α，则∠An的度数为 （用含n、α的代数式表示）．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：△ABC中，∵∠A=∠ACD ∠ABC，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴
同理可得，
…
依此类推， .
即∠An= .
故答案为： .
【分析】根据角平分线的性质，表示出 ∠ A1、∠ A2、∠A3的度数，以此类推表示出∠An的度数。
三、解答题
19．已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
（2）在（1）的条件下，若a=5，b=4，c=3，求这个式子的值．
【答案】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
=a+b+c；
（2）解：当a=5，b=4，c=3时，
原式=5+4+3=12．
【知识点】代数式求值；三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据三角形三边长的关系以及绝对值的非负性化简原式。
（2）将a、b、c代入第（1）问化简得到的式子，求出代数式的值。
20．如图，在 中，∠A=30°，∠B=70°，CE⊥AB，垂足为 平分∠ACE，求∠FCE的度数．
【答案】解：
，
平分 ，
，
， ，
，
.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，通过角的运算，求出∠FCE的度数。
21．如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=50°，∠ADC=70°，求∠BAC、∠C的度数．
【答案】解：∵∠B=50°，∠ADC=70°，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=70°﹣50°=20°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAD=2×20°=40°，
在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣50°﹣40°=90°．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，可求得∠BAC、∠C的度数。
22．如图，在△ABC中，∠BAC=75°，AD、BE分别是BC、AC边上的高，AD=BD，求∠C和∠AFB的度数.
【答案】解：在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°.
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°.
在△ABC中，∠BAC=75°，
∴∠C=180°-（∠ABD+∠BAC）
=180°-(45°+75°)=60°.
在四边形DCEF中，
∠DFE=360°-(∠ADC+∠BEC+∠C)=360°-(90°+90°+60°)=120°.
∴∠AFB=∠DFE=120°.
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°，通过角的运算，得出∠C和∠AFB的度数。
23．已知：如图， 是 内一点．求证： ．
【答案】证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①
在△PCD中，PC＜PD+CD②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，可通过换算得出AB+AC>PB+PC 。
24．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E．
（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；
（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．
（2）解：∠ADE+2∠DEB=180°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，
∴∠ABC=2∠DEB，
∴∠ADE+2∠DEB=180°．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求证出∠ADE=2∠DEB。
（2）根据角平分线的性质，得出∠ADE与∠DEB的关系。
25．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°.
（2）解：∠EFD= （∠C﹣∠B），理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C）=90°﹣ （∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣ （∠C+∠B）=90°+ （∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C），
∴∠EFD= （∠C﹣∠B）.
（3）解：∠EFD= （∠C﹣∠B），理由如下：
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C），
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+ （180°-∠B-∠C）=90°+ （∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）
∴∠EFD= （∠C﹣∠B）．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，进行角的运算，得出∠EFD的度数。
（2）根据角平分线以及外角的性质，通过角的运算，得出∠EFD与∠C﹣∠B数量关系。
（3）根据角平分线性质和三角形外角的性质，得出∠EFD与∠C﹣∠B数量关系。
26．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① 的值不变，② 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
【答案】（1）解：过B作BF∥AD，
则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE.
（2）解：∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，
则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC= （∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴ （∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+ ∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F.
（3）解：② 的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP= ∠ABP= ∠CBP= ∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC= ∠ABC，
即 的值为 ．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据同旁内角的和等于180°可得出两条线为平行线。
（2）根据角平分线的性质，通过角的运算，得出∠ABC=2∠F。
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和以及角平分线的性质，得出结论。
1 / 1沪科版八年级数学上册 第十三章单元检测b卷
一、选择题
1．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
2．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD（不包括∠FCD）相等的角有（ ）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）
A．120° B．80° C．60° D．40°
4．（2016八上·鄱阳期中）下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
5．（2018·洪泽模拟）如图，直线l1 ∥ l2 ，CD⊥AB于点D ，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．30°
6．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为（ ）
A．26°40′ B．27°20′
C．27°40′ D．73°20′
8．如图，在△ABC中，∠A=60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（ ）度.
A．140 B．190 C．320 D．240
9．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点E，D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（ ）
A．34° B．40° C．42° D．46°
10．如图有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论正确的是（ ）
A．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠7
C．∠1+∠4+∠6=180° D．∠2+∠3+∠5=360°
11．△ABC中，已知点D，E，F 分别是BC，AD，CE边上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEF的值为（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm2
12．如图，已知直线AB∥CD，∠C=135°，∠A=45°，则△AEF的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
13．若要与长为4、7的两根木条组成三角形，那么第三条木棍x取值范围应为 。
14．（2018·白银）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c= ．
15．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|= ．
16．（2015七下·农安期中）一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°．则∠BFD的度数是 ．
17．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC=2BE，BD是边AC上的中线，若S△ABC=18，则S△ADF-S△BEF= ．
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…．已知∠A=α，则∠An的度数为 （用含n、α的代数式表示）．
三、解答题
19．已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
（2）在（1）的条件下，若a=5，b=4，c=3，求这个式子的值．
20．如图，在 中，∠A=30°，∠B=70°，CE⊥AB，垂足为 平分∠ACE，求∠FCE的度数．
21．如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=50°，∠ADC=70°，求∠BAC、∠C的度数．
22．如图，在△ABC中，∠BAC=75°，AD、BE分别是BC、AC边上的高，AD=BD，求∠C和∠AFB的度数.
23．已知：如图， 是 内一点．求证： ．
24．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E．
（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；
（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．
25．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
26．如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① 的值不变，② 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的两边之和需大于第三边，两边之差需小于第三边。
2．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如下图，
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE=∠ABF=∠CDF=90°，
∵∠1=∠F=45°，
∴∠FCD=180°-90°-45°=45°，∠A=180°-90°-45°=45°，∠2=90°-45°=45°，
∴∠FCD=∠F=∠1=∠A=∠2=45°，即和∠FCD相等的角有4个.
故答案为：D.
【分析】根据角的运算可得出与∠FCD相等的角。
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠B的度数为：60°．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和以及三个角之比，求出三角形的度数。
4．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
故选D．
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠ABC=∠1=50°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°，
∴∠BCD=40°，
故答案为：A．
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠1=50°，根据垂直的定义及三角形的内角和得出∠BCD的度数。
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图：
∴
.
故答案为：C．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，计算∠1+∠2的和。
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】解：∵l1∥l2，∠1=50°，
∴∠4=∠1=50°，
∵∠4=∠2+∠3，∠2=23°20′，
∴∠3=26°40′，
故选A
【分析】由两直线平行内错角相等得到∠4=∠1，再利用三角形外角性质即可确定出所求角的度数．
8．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED
∴∠1+∠2
=∠A+∠ADE+∠A+∠AED
=∠A+(∠ADE+∠A+∠AED)
=60°+180°
=240°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可求出∠1+∠2的度数。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，
故答案为：C
【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，根据三角形的内角和得出2x+y=180°﹣120°=60°①，x+2y=180°﹣102°=78°②，根据等式的性质，由①+②得3x+3y=138°，最后根据三角形的内角和及整体代入即可算出答案。
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、由图可知，∠2=∠7+∠8，
∠4≠∠8，
所以，∠2=∠4+∠7不成立，故本选项不符合题意；
B、根据三角形的外角性质，∠3等于∠1、∠7的对顶角的和，
所以，∠3=∠1+∠7，故本选项符合题意；
C、∠4=∠1+∠6，
由图可知，∠4是钝角，
所以，∠1+∠4+∠6=180°不成立，故本选项不符合题意；
D、根据多边形的外角和定理，∠2+∠4+∠5=360°，
∵l3、l4不平行，
∴∠3≠∠4，
∴∠2+∠3+∠5=360°不成立，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据对顶角、内错角、同旁内角的定义，进行角的运算，得出正确的结论。
11．【答案】B
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边BC、AD上的中点，
∴S△ABD= S△ABC，S△ACD= S△ABC，
S△BDE= S△ABD，S△CDE= S△ACD，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE= S△ABD+ S△ACD= S△ABC，
∵点F是边CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= × S△ABC= S△ABC，
∵S△ABC=4，
∴S△BFF= ×4=1.
故答案为：B.
【分析】根据所给的三角形的面积以及中点的性质，可得出S△BFF。
12．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠C=135°，
∴∠BFC=180°﹣∠C=180°﹣135°=45°，
∴∠AFE=∠BFC=45°，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠AFE=45°，
∴∠E=180°﹣45°×2=90°
∴△AEF是等腰直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据同旁内角以及对顶角的定义，可得知△AEF是等腰直角三角形。
13．【答案】3【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵要与长为4、7的两根木条组成三角形，
∴7-4故答案为：3【分析】根据三角形的边长关系，可得出第三边的取值范围。
14．【答案】7
【知识点】三角形三边关系；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案是：7．
【分析】根据几个非负数之和为0，则每一个数都为0，求出a、b的值，再利用三角形的三边关系定理求出c的取值范围，由c为奇数，可求出c的值。
15．【答案】2b﹣2a
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．
故答案为：2b﹣2a.
【分析】根据三角形的三边关系以及绝对值的非负性可以化简原式。
16．【答案】15°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠CDF=60°，
∵∠CDF是△BDF的外角，∠B=45°，
∴∠BFD=∠CDF﹣∠B=60°﹣45°=15°．
故答案为：15°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
17．【答案】3
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
即 .
故答案为：3.
【分析】根据中线以及三角形面积的换算，可得出S△ADF-S△BEF的值。
18．【答案】
【知识点】角平分线的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：△ABC中，∵∠A=∠ACD ∠ABC，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴
同理可得，
…
依此类推， .
即∠An= .
故答案为： .
【分析】根据角平分线的性质，表示出 ∠ A1、∠ A2、∠A3的度数，以此类推表示出∠An的度数。
19．【答案】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
=a+b+c；
（2）解：当a=5，b=4，c=3时，
原式=5+4+3=12．
【知识点】代数式求值；三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据三角形三边长的关系以及绝对值的非负性化简原式。
（2）将a、b、c代入第（1）问化简得到的式子，求出代数式的值。
20．【答案】解：
，
平分 ，
，
， ，
，
.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，通过角的运算，求出∠FCE的度数。
21．【答案】解：∵∠B=50°，∠ADC=70°，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=70°﹣50°=20°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAD=2×20°=40°，
在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣50°﹣40°=90°．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质，可求得∠BAC、∠C的度数。
22．【答案】解：在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°.
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°.
在△ABC中，∠BAC=75°，
∴∠C=180°-（∠ABD+∠BAC）
=180°-(45°+75°)=60°.
在四边形DCEF中，
∠DFE=360°-(∠ADC+∠BEC+∠C)=360°-(90°+90°+60°)=120°.
∴∠AFB=∠DFE=120°.
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°，通过角的运算，得出∠C和∠AFB的度数。
23．【答案】证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①
在△PCD中，PC＜PD+CD②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，可通过换算得出AB+AC>PB+PC 。
24．【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．
（2）解：∠ADE+2∠DEB=180°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，
∴∠ABC=2∠DEB，
∴∠ADE+2∠DEB=180°．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求证出∠ADE=2∠DEB。
（2）根据角平分线的性质，得出∠ADE与∠DEB的关系。
25．【答案】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°.
（2）解：∠EFD= （∠C﹣∠B），理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C）=90°﹣ （∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣ （∠C+∠B）=90°+ （∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C），
∴∠EFD= （∠C﹣∠B）.
（3）解：∠EFD= （∠C﹣∠B），理由如下：
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C），
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+ （180°-∠B-∠C）=90°+ （∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）
∴∠EFD= （∠C﹣∠B）．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，进行角的运算，得出∠EFD的度数。
（2）根据角平分线以及外角的性质，通过角的运算，得出∠EFD与∠C﹣∠B数量关系。
（3）根据角平分线性质和三角形外角的性质，得出∠EFD与∠C﹣∠B数量关系。
26．【答案】（1）解：过B作BF∥AD，
则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE.
（2）解：∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，
则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC= （∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴ （∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+ ∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F.
（3）解：② 的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP= ∠ABP= ∠CBP= ∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC= ∠ABC，
即 的值为 ．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据同旁内角的和等于180°可得出两条线为平行线。
（2）根据角平分线的性质，通过角的运算，得出∠ABC=2∠F。
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和以及角平分线的性质，得出结论。
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