2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）以下条件不可以判定 与 相似的是（ ）
A． B． ，且
C． ， D． ，且
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、因为 ，所以 ，即A选项可以判断 与 相似；
B、因为 ， ，所以，即B选项可以判断 与 相似；
C、因为 ， ，所以 ，即C选项可以判断 与 相似；
D、因为 ， ，所以 ，即D选项不可以判断 与 相似.
故答案为：D
【分析】利用三边对应成比例的两三角形相似，可对选项A作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对选项B、D作出判断；利用两组对应角相等的两三角形相似，可对选项C作出判断，继而可得出答案。
2．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】设第一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长
△ABC的各边分别为
△CDF的各边分别为
△EFG的各边分别为
△HMN的各边分别为
△HPQ的各边分别为
可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理分别求出各个三角形的三边长，再利用三边对应成比例的两三角形相似，可得出答案。
3．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据题意得：
∴
A. 三边之比为 ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似，不符合题意；
B. 三边之比为 图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似，符合题意；
C. 三边之比为 ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似，不符合题意；
D. 三边之比为 ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理分别求出选项A、B、C、D中的三角形的三边长，再通过计算，利用三边对应成比例的两三角形相似，判断即可解答。
4．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）．
A．有一个角是40°的两个等腰三角形；
B．两个等腰直角三角形；
C．有一个角为100°的两个等腰三角形；
D．两个等边三角形
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A. 若两个三角形内角分别为40°、40°、100°和40°、70°、70°，则两三角形不相似，符合题意.
B. 两个等腰直角三角形，有两组角对应相等，一定相似，不符合题意.
C. 有一个角为100°的两个等腰三角形，有两组角对应相等，一定相似，不符合题意.
D. 两个等边三角形，三边的比一定相等，相似，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】有一个角是40°的两个等腰三角形，40°的角可能是底角也可能是顶角，可对选项A作出判断；两个等腰直角三角形一定是相似形，可对选项B作出判断；有一个角为100°的两个等腰三角形，这里100°的角只能是顶角，因此一定相似，可对选项C作出判断；所有地等边三角形都相似，可对选项D作出判断，即可解答。
5．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】因为点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，
所以DE是△AOB的中位线，DF是△AOC的中位线，EF是△BOC的中位线，
所以DE//AB，DF//AC，EF//BC，
所以△DOE∽△AOD， △DOF∽△AOC， △EOF∽△BOC，
因为DE是△AOB的中位线，DF是△AOC的中位线，EF是△BOC的中位线，
所以
所以 ，
所以△DEF∽△ABC，
因此有四对相似三角形，
故答案为：D.
【分析】利用三角形中位线的定义，可证得DE是△AOB的中位线，DF是△AOC的中位线，EF是△BOC的中位线，利用中位线定理，可证得DE//AB，DF//AC，EF//BC，再利用平行得三角形相似，利用相似三角形的性质，可证得△DEF和△ABC的三边对应成比例，即可证得△DEF∽△ABC。综上所述，可得出答案。
6．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）△ABC与△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（ ）
A．AB＝1，BC＝1.5，AC＝2，DE＝8，EF＝12，DF＝16
B．AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，DE＝ ，EF＝3，DF＝3
C．AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝16
D．AB＝3，BC＝4，AC＝5，DE＝ ，EF＝2，DF＝
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】若使△ABC∽△DEF，则三边应满足 ，
A选项中 ，所以 ，所以△ABC∽△DEF，符合题意，
故答案为：A
【分析】观察各选项，可知已知两三角形三边的长，因此利用三边对应成比例的两三角形相似，得出答案。
7．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】将直角三角形的三边同时扩大3倍，根据相似三角形的判定可知，得到的三角形和原三角形相似，得到的三角形还是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定，可知将一个直角三角形三边扩大3倍，所得三角形和原三角形相似，即可得出答案。
8．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）下列所给四对三角形中，根据条件不能判断△ABC与△DEF相似的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、在 中，由 可得 则 和 分别与 中 和 相对应，故能判断两个三角形相似，不符合题意.
B、在两个三角形中，虽然都有一个角等于 但对应边不成比例，故不能判断两个三角形相似，符合题意.
C、在两个三角形中，三条边对应成比例，故能判断两个三角形相似，不符合题意.
D、在两个三角形中 故能判断两个三角形相似，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的判定定理，对各选项逐一判断，可得出答案。
二、填空题
9．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）△ABC的三边长分别为2， ， ，△A1B1C1的两边长分别为1和 ，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC∽△A1B1C1.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】设第三边长为x，
∵ ，∴这两个三角形相似比为 ，
∴ = ，解得x= .
故答案为
【分析】要使△ABC∽△A1B1C1，就可得出三边对应成比例，可知这两个三角形的相似比为，即可求出结果。
10．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在大小为 的正方形网格中，是相似三角形的是 （请填上编号）．
【答案】①③
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵①中的三角形的三边分别是：2， ， ；
②中的三角形的三边分别是：3， ， ；
③中的三角形的三边分别是：2 ，2，2 ；
④中的三角形的三边分别是：3， ，4 ；
∵①与③中的三角形的三边的比为：1：
∴①与③相似．
故答案为：①③
【分析】利用勾股定理分别求出各个图形中的三角形的三边长，根据三边对应成比例的两三角形相似，就可得出答案。
11．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在 中， ，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得 与 相似，则线段AP的长为 ．
【答案】4或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时， ，即 ，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时， ，即 ，解得AP= ．
故答案为：4或
【分析】利用勾股定理及线段中点的定义求出AB、AD的长，再分情况讨论：当△ADP∽△ABC时；当△ADP∽△ACB时，利用相似三角形的性质，列出比例式，分别求出AP的值。
12．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）△ABC的三边长分别为 ， ，2，△A1B1C1的两边长为1， ，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由三边对应成比例的两个三角形相似，易得相似比为： ：1，
故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例，则第三边长为2÷ = ，
故答案为： .
【分析】根据两三角形已知边的长，可得出这两个三角形的相似比为：1，利用相似三角形的性质，就可得出△A1B1C1的第三边长。
13．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）一个铝质的三角形框架的三边长分别为24 cm，30 cm，36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形的框架，现有长27 cm，45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段(允许有余材)，则截法有 种．
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵两根铝材的长分别为27cm，45cm，若45cm为一边时，
则另两边的和为27cm，27＜45，不能构成三角形，
∴必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，
设另外两边长分别为x，y，则：
若27cm与24cm相对应时，
，
解得：x=33.75cm，y=40.5cm，
x+y=33.75+40.5=74.25cm＞45cm，故不成立，
若27cm与36cm相对应时，
，
解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm＜45cm，成立，
若27cm与30cm相对应时，
解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm＞45cm，故不成立，故只有一种截法.
【分析】利用三角形的三边关系定理可知，必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，设另外两边长分别为x，y，分情况讨论：若27cm与24cm相对应时；若27cm与36cm相对应时；若27cm与30cm相对应时，利用相似三角形的性质，分别求出x、y的值，再利用三角形三边关系定理确定截法。
14．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠CAE=∠CBE，AD：DE=3：5，AE=16，BD=8，则DC的长等于 ．
【答案】7.5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD：DE=3：5，AE=16，
∴DE=10，AD=6，
∵∠CAE=∠CBE，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴AD：BD=DC：DE，∴6：8=DC：10，
解得：DC=7.5；
故答案为：7.5
【分析】利用已知求出AD、DE的长，再利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得△ADC∽△BDE，然后利用相似三角形的性质，得出AD：BD=DC：DE，代入计算，求出DC的长。
15．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，等腰直角三角形 中， =4 cm.点 是 边上的动点，以 为直角边作等腰直角三角形 .在点 从点 移动至点 的过程中，点 移动的路线长为 cm.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】连接CE，如图：
∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AC= AB，AE= AD，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∵ ，
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ACE=∠ABC=90°，
∴点D从点B移动至点C的过程中，总有CE⊥AC，
即点E运动的轨迹为过点C与AC垂直的线段，AB= AB=4 ，
当点D运动到点C时，CE=AC= ，
∴点E移动的路线长为 cm
【分析】连接CE，利用等腰直角三角形的性质，可证明∠1=∠3，AC= AB，AE=AD，就可证得AC：AB=AE：AD，再利用相似三角形的判定定理证明△ACE∽△ABD，利用相似三角形的性质，可得出∠ACE=∠ABC=90°，就可得出点D从点B移动至点C的过程中，总有CE⊥AC，据此可知点E运动的轨迹为过点C与AC垂直的线段，求出AB的长，就可得出CE的长。
16．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝ ，AD＝2.当AB＝ 时，△ABC与△ACD相似．
【答案】3或3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠ACB=∠ADC=90°，AC= ，AD=2，
∴CD= ，设AB=x，
当AC：AD=AB：AC时，△ABC∽△ACD
∴ ，解得AB=3；
当AB：AC=AC：CD时，△ABC∽△CAD，
∴ ，解得AB=3
∴AB=3或3
【分析】利用勾股定理求出CD的长，设AB=x，由△ABC与△ACD相似，分情况讨论：当AC：AD=AB：AC时，△ABC∽△ACD；当AB：AC=AC：CD时，△ABC∽△CAD，分别建立关于x的方程，求解即可。
三、解答题
17．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△ ，求△ 中的第三边长．
【答案】解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△ 的两边长分别为1，1.5，可以看出，△ 的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△ 需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】观察两三角形已知边的长的关系，利用相似三角形的判定，就可求出结果。
18．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．
【答案】解：∵四边形CDEF是正方形， ，DE=CF=EF=DC 设AD=3x，ED=2x ∴周长之比： 的周长： 的周长： 的周长=3：2：5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用正方形的性质，可证得DE∥BC，EF∥AC ，DE=CF=EF=DC，再根据相似三角形的判定定理证明△ADE △EFB △ACB ，再利用相似三角形的性质可证得对应边成比例，就可求出相似比，然后根据相似三角形的性质，即可解答。
19．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在正方形网格上有 ，这两个三角形相似吗 如果相似，求出 和 的面积比．
【答案】解：相似，相似比为2：1， 通过观察图形发现 设每个小方格的边长为 ，利用勾股定理可计算
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】观察图形，可知∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，利用勾股定理求出A1B1、A2B2、A1C1、A2C2的长，就可得出A1B1、A2B2、A1C1、A2C2对应成比例，就可证得△B1A1C1和△∠B2A2C2相似，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决问题。
20．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）已知：如图，∠1=∠2，AB AC=AD AE．求证：∠C=∠E．
【答案】证明：在△ABE和△ADC中，
∵AB AC=AD AE，
∴ ，
又∵∠1=∠2，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠C=∠E
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用有两组边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证△ABE∽△ADC，再利用相似三角形的性质，可证得结论。
21．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
【答案】解：设EF=x，则GF=2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ．
∵AH=6，BC=12，
∴ ．
解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设EF=x，则GF=2x，利用已知证明GF∥BC，再证明△AGF∽△ABC，利用相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，列出比例式，就可求出x的值。
22．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点， 并延长交BC的延长线于点G
（1）求证： ；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中， ∵∴ ，
∴ ，∴
（2）解：∵ AB=4，AE=2∴ ，
∴ ， ，∴ .
由AD∥BG，得 ，
∴ △ABE∽△EGB，
∴ ，∴
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可证得∠A=∠D=90°，再根据正方形的性质及已知证明AB：DE=AE：DF，利用两组边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
（2）先利用勾股定理求出BE的长，再证明∠AEB=∠EBG，就可证得 △ABE∽△EGB，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出BG的长。
23．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．
【答案】（1）证明：∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；∴AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形
（2）解：△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2 ，AC= ，BC=5，
DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ．
= = = = ，
∴△ABC∽△DEF
（3）解：如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5= ，P2P4= ，P4P5=2 ，
AB=2 ，AC= ，BC=5，
∴ = = = ，∴△ABC∽△P2P4P5．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB2+AC2、BC2的值，再利用勾股定理的逆定理，可得出结论。
（2）分别利用勾股定理求出△ABC和△DEF的三边的长，再根据两三角形三边的大小，判断三边是否对应成比例，即可判断两三角形是否相似。
（3）连接P2P5，P2P4，P4P5，利用勾股定理分别求出P2P5 ，P2P4，P4P5的长，再根据三边的大小关系列出比列式，就可作出判断。
1 / 12018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）以下条件不可以判定 与 相似的是（ ）
A． B． ，且
C． ， D． ，且
2．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
3．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）．
A．有一个角是40°的两个等腰三角形；
B．两个等腰直角三角形；
C．有一个角为100°的两个等腰三角形；
D．两个等边三角形
5．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）△ABC与△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（ ）
A．AB＝1，BC＝1.5，AC＝2，DE＝8，EF＝12，DF＝16
B．AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，DE＝ ，EF＝3，DF＝3
C．AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝16
D．AB＝3，BC＝4，AC＝5，DE＝ ，EF＝2，DF＝
7．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
8．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）下列所给四对三角形中，根据条件不能判断△ABC与△DEF相似的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）△ABC的三边长分别为2， ， ，△A1B1C1的两边长分别为1和 ，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC∽△A1B1C1.
10．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在大小为 的正方形网格中，是相似三角形的是 （请填上编号）．
11．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在 中， ，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得 与 相似，则线段AP的长为 ．
12．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）△ABC的三边长分别为 ， ，2，△A1B1C1的两边长为1， ，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为 ．
13．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）一个铝质的三角形框架的三边长分别为24 cm，30 cm，36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形的框架，现有长27 cm，45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段(允许有余材)，则截法有 种．
14．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠CAE=∠CBE，AD：DE=3：5，AE=16，BD=8，则DC的长等于 ．
15．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，等腰直角三角形 中， =4 cm.点 是 边上的动点，以 为直角边作等腰直角三角形 .在点 从点 移动至点 的过程中，点 移动的路线长为 cm.
16．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝ ，AD＝2.当AB＝ 时，△ABC与△ACD相似．
三、解答题
17．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△ ，求△ 中的第三边长．
18．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．
19．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在正方形网格上有 ，这两个三角形相似吗 如果相似，求出 和 的面积比．
20．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）已知：如图，∠1=∠2，AB AC=AD AE．求证：∠C=∠E．
21．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
22．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点， 并延长交BC的延长线于点G
（1）求证： ；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
23．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、因为 ，所以 ，即A选项可以判断 与 相似；
B、因为 ， ，所以，即B选项可以判断 与 相似；
C、因为 ， ，所以 ，即C选项可以判断 与 相似；
D、因为 ， ，所以 ，即D选项不可以判断 与 相似.
故答案为：D
【分析】利用三边对应成比例的两三角形相似，可对选项A作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对选项B、D作出判断；利用两组对应角相等的两三角形相似，可对选项C作出判断，继而可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】设第一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长
△ABC的各边分别为
△CDF的各边分别为
△EFG的各边分别为
△HMN的各边分别为
△HPQ的各边分别为
可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理分别求出各个三角形的三边长，再利用三边对应成比例的两三角形相似，可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据题意得：
∴
A. 三边之比为 ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似，不符合题意；
B. 三边之比为 图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似，符合题意；
C. 三边之比为 ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似，不符合题意；
D. 三边之比为 ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理分别求出选项A、B、C、D中的三角形的三边长，再通过计算，利用三边对应成比例的两三角形相似，判断即可解答。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A. 若两个三角形内角分别为40°、40°、100°和40°、70°、70°，则两三角形不相似，符合题意.
B. 两个等腰直角三角形，有两组角对应相等，一定相似，不符合题意.
C. 有一个角为100°的两个等腰三角形，有两组角对应相等，一定相似，不符合题意.
D. 两个等边三角形，三边的比一定相等，相似，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】有一个角是40°的两个等腰三角形，40°的角可能是底角也可能是顶角，可对选项A作出判断；两个等腰直角三角形一定是相似形，可对选项B作出判断；有一个角为100°的两个等腰三角形，这里100°的角只能是顶角，因此一定相似，可对选项C作出判断；所有地等边三角形都相似，可对选项D作出判断，即可解答。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】因为点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，
所以DE是△AOB的中位线，DF是△AOC的中位线，EF是△BOC的中位线，
所以DE//AB，DF//AC，EF//BC，
所以△DOE∽△AOD， △DOF∽△AOC， △EOF∽△BOC，
因为DE是△AOB的中位线，DF是△AOC的中位线，EF是△BOC的中位线，
所以
所以 ，
所以△DEF∽△ABC，
因此有四对相似三角形，
故答案为：D.
【分析】利用三角形中位线的定义，可证得DE是△AOB的中位线，DF是△AOC的中位线，EF是△BOC的中位线，利用中位线定理，可证得DE//AB，DF//AC，EF//BC，再利用平行得三角形相似，利用相似三角形的性质，可证得△DEF和△ABC的三边对应成比例，即可证得△DEF∽△ABC。综上所述，可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】若使△ABC∽△DEF，则三边应满足 ，
A选项中 ，所以 ，所以△ABC∽△DEF，符合题意，
故答案为：A
【分析】观察各选项，可知已知两三角形三边的长，因此利用三边对应成比例的两三角形相似，得出答案。
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】将直角三角形的三边同时扩大3倍，根据相似三角形的判定可知，得到的三角形和原三角形相似，得到的三角形还是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定，可知将一个直角三角形三边扩大3倍，所得三角形和原三角形相似，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、在 中，由 可得 则 和 分别与 中 和 相对应，故能判断两个三角形相似，不符合题意.
B、在两个三角形中，虽然都有一个角等于 但对应边不成比例，故不能判断两个三角形相似，符合题意.
C、在两个三角形中，三条边对应成比例，故能判断两个三角形相似，不符合题意.
D、在两个三角形中 故能判断两个三角形相似，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的判定定理，对各选项逐一判断，可得出答案。
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】设第三边长为x，
∵ ，∴这两个三角形相似比为 ，
∴ = ，解得x= .
故答案为
【分析】要使△ABC∽△A1B1C1，就可得出三边对应成比例，可知这两个三角形的相似比为，即可求出结果。
10．【答案】①③
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵①中的三角形的三边分别是：2， ， ；
②中的三角形的三边分别是：3， ， ；
③中的三角形的三边分别是：2 ，2，2 ；
④中的三角形的三边分别是：3， ，4 ；
∵①与③中的三角形的三边的比为：1：
∴①与③相似．
故答案为：①③
【分析】利用勾股定理分别求出各个图形中的三角形的三边长，根据三边对应成比例的两三角形相似，就可得出答案。
11．【答案】4或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时， ，即 ，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时， ，即 ，解得AP= ．
故答案为：4或
【分析】利用勾股定理及线段中点的定义求出AB、AD的长，再分情况讨论：当△ADP∽△ABC时；当△ADP∽△ACB时，利用相似三角形的性质，列出比例式，分别求出AP的值。
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由三边对应成比例的两个三角形相似，易得相似比为： ：1，
故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例，则第三边长为2÷ = ，
故答案为： .
【分析】根据两三角形已知边的长，可得出这两个三角形的相似比为：1，利用相似三角形的性质，就可得出△A1B1C1的第三边长。
13．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵两根铝材的长分别为27cm，45cm，若45cm为一边时，
则另两边的和为27cm，27＜45，不能构成三角形，
∴必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，
设另外两边长分别为x，y，则：
若27cm与24cm相对应时，
，
解得：x=33.75cm，y=40.5cm，
x+y=33.75+40.5=74.25cm＞45cm，故不成立，
若27cm与36cm相对应时，
，
解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm＜45cm，成立，
若27cm与30cm相对应时，
解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm＞45cm，故不成立，故只有一种截法.
【分析】利用三角形的三边关系定理可知，必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，设另外两边长分别为x，y，分情况讨论：若27cm与24cm相对应时；若27cm与36cm相对应时；若27cm与30cm相对应时，利用相似三角形的性质，分别求出x、y的值，再利用三角形三边关系定理确定截法。
14．【答案】7.5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD：DE=3：5，AE=16，
∴DE=10，AD=6，
∵∠CAE=∠CBE，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴AD：BD=DC：DE，∴6：8=DC：10，
解得：DC=7.5；
故答案为：7.5
【分析】利用已知求出AD、DE的长，再利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得△ADC∽△BDE，然后利用相似三角形的性质，得出AD：BD=DC：DE，代入计算，求出DC的长。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】连接CE，如图：
∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AC= AB，AE= AD，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∵ ，
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ACE=∠ABC=90°，
∴点D从点B移动至点C的过程中，总有CE⊥AC，
即点E运动的轨迹为过点C与AC垂直的线段，AB= AB=4 ，
当点D运动到点C时，CE=AC= ，
∴点E移动的路线长为 cm
【分析】连接CE，利用等腰直角三角形的性质，可证明∠1=∠3，AC= AB，AE=AD，就可证得AC：AB=AE：AD，再利用相似三角形的判定定理证明△ACE∽△ABD，利用相似三角形的性质，可得出∠ACE=∠ABC=90°，就可得出点D从点B移动至点C的过程中，总有CE⊥AC，据此可知点E运动的轨迹为过点C与AC垂直的线段，求出AB的长，就可得出CE的长。
16．【答案】3或3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠ACB=∠ADC=90°，AC= ，AD=2，
∴CD= ，设AB=x，
当AC：AD=AB：AC时，△ABC∽△ACD
∴ ，解得AB=3；
当AB：AC=AC：CD时，△ABC∽△CAD，
∴ ，解得AB=3
∴AB=3或3
【分析】利用勾股定理求出CD的长，设AB=x，由△ABC与△ACD相似，分情况讨论：当AC：AD=AB：AC时，△ABC∽△ACD；当AB：AC=AC：CD时，△ABC∽△CAD，分别建立关于x的方程，求解即可。
17．【答案】解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△ 的两边长分别为1，1.5，可以看出，△ 的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△ 需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】观察两三角形已知边的长的关系，利用相似三角形的判定，就可求出结果。
18．【答案】解：∵四边形CDEF是正方形， ，DE=CF=EF=DC 设AD=3x，ED=2x ∴周长之比： 的周长： 的周长： 的周长=3：2：5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用正方形的性质，可证得DE∥BC，EF∥AC ，DE=CF=EF=DC，再根据相似三角形的判定定理证明△ADE △EFB △ACB ，再利用相似三角形的性质可证得对应边成比例，就可求出相似比，然后根据相似三角形的性质，即可解答。
19．【答案】解：相似，相似比为2：1， 通过观察图形发现 设每个小方格的边长为 ，利用勾股定理可计算
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】观察图形，可知∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，利用勾股定理求出A1B1、A2B2、A1C1、A2C2的长，就可得出A1B1、A2B2、A1C1、A2C2对应成比例，就可证得△B1A1C1和△∠B2A2C2相似，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决问题。
20．【答案】证明：在△ABE和△ADC中，
∵AB AC=AD AE，
∴ ，
又∵∠1=∠2，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠C=∠E
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用有两组边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证△ABE∽△ADC，再利用相似三角形的性质，可证得结论。
21．【答案】解：设EF=x，则GF=2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ．
∵AH=6，BC=12，
∴ ．
解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设EF=x，则GF=2x，利用已知证明GF∥BC，再证明△AGF∽△ABC，利用相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，列出比例式，就可求出x的值。
22．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中， ∵∴ ，
∴ ，∴
（2）解：∵ AB=4，AE=2∴ ，
∴ ， ，∴ .
由AD∥BG，得 ，
∴ △ABE∽△EGB，
∴ ，∴
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可证得∠A=∠D=90°，再根据正方形的性质及已知证明AB：DE=AE：DF，利用两组边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
（2）先利用勾股定理求出BE的长，再证明∠AEB=∠EBG，就可证得 △ABE∽△EGB，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出BG的长。
23．【答案】（1）证明：∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；∴AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形
（2）解：△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2 ，AC= ，BC=5，
DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ．
= = = = ，
∴△ABC∽△DEF
（3）解：如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5= ，P2P4= ，P4P5=2 ，
AB=2 ，AC= ，BC=5，
∴ = = = ，∴△ABC∽△P2P4P5．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB2+AC2、BC2的值，再利用勾股定理的逆定理，可得出结论。
（2）分别利用勾股定理求出△ABC和△DEF的三边的长，再根据两三角形三边的大小，判断三边是否对应成比例，即可判断两三角形是否相似。
（3）连接P2P5，P2P4，P4P5，利用勾股定理分别求出P2P5 ，P2P4，P4P5的长，再根据三边的大小关系列出比列式，就可作出判断。
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