2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.4 相似多边形 同步练习
一、选择题：
1．已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则 为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
2．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠A=∠A′，∠B=∠B′
B．∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°
C．∠A=∠B，∠B′=∠A′
D．∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′
3．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2016九上·芦溪期中）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：
6．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为 ．
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为 ．
8．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形 ．(用相似符号连接)
9．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
10．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
三、解答题
11．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的 的最大边长为26，求 的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
13．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
14．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的长．
15．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似比=1；2，∴面积比=1：4．故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．若∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意；
B.∠C=∠C’=90°，∠A=12°，∠B’=78°，则∠A=12°，所以∠A=∠A’，∠C=∠C’，则可断定△ABC∽△A’B’C’，不符合题意.
C．若∠A=∠B，∠B′=∠A′，则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似，符合题意；
D．若∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A﹣∠B=∠A′﹣∠B′，则∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】（1）用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′；
（2）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A’，∠C=∠C’，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′；
（3）由已知条件只能说明△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似；
（4）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A′∠B=∠B′，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）由AB∥CD可得△ABC∽△CDE；（2）由AB∥EF可得△ABD∽△FED；（3）由CD∥EF可得△ACD∽△AEF；
综上所述，在图中可确定有3对三角形相似.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△CDE；△ABD∽△FED；△ACD∽△AEF。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）因为“有一个角为50°的两个等腰三角形”中，有可能是“一个等腰三角形的顶角为50°，另一个的底角为50°”，而此时这两个等腰三角形不相似，故①错误；（2）因为“有一个角为100°的两个等腰三角形”中，100°的角只能是顶角，因此这两个三角形此时三个角都对应相等，所以它们一定相似；故②正确；（3）因为“有一个锐角相等的两个直角三角形”中，加上“直角是相等的”，这样就有两个角相等了，因此这两个三角形一定相似，故③正确；（4）因为“两个等边三角形”中，三个角都是对应相等的，因此这两个三角形一定相似，故④正确；
综上所述，有3个说法都是正确的.
故答案为：C.
【分析】①由题意可知，已知的50度角可能是顶角，也可能是底角，而此时这两个等腰三角形不相似；
②由三角形内角和定理可得，底角不可能是100°的角，所以100°的角只能是顶角，因此这两个三角形此时三个角都对应相等，所以它们一定相似；
③由三角形内角和定理可得，有一个锐角相等再加上直角都相等，可根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得这两个三角形一定相似；
④根据等边三角形的性质可得每一个角都等于60度，所以根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得这两个三角形一定相似。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选B．
【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
6．【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2：3．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比可求解。
7．【答案】4：1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，
∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，
故答案为：4：1
【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高之比等于相似比，可得出结论。
8．【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)在△BDE和△CDF中
∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90
∴△BDE∽△CDF
( 2 )在△ABF和△ACE中
∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90
∴△ABF∽△ACE
【分析】答案不唯一。用有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】答案不唯一，如
可添加
故答案为：
【分析】答案不唯一。根据相似三角形的判定可得：①∠B=∠DEC，结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；②∠ACB=∠DFE，结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；③AC∥DF（或AB∥DE），结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；④，结合已知条件用有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF。
10．【答案】4或6
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故 = = ，
则 = ，
解得：MN=4，
如图2所示：当∠ANM=∠B时，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
解得：MN=6，
故答案为：4或6．
【分析】观察图形，结合已知条件，可知使截得的三角形与原三角形相似有两种情况：如图1，当MN∥BC时，如图2所示：当∠ANM=∠B时，分别可证得△AMN∽△ABC，分别得出对应边成比例，就可求出MN的长。
11．【答案】解：∵△ABC的相似三角形 的最大边长为26，即对应△ABC的对应最大边长13，所以对应边长的比值为2，所以另两边分别为10，24，故三角形的周长为10+24+26=60．
∵ ，∴三角形的最大角度为90°
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可求得△的另外两边长；根据三角形的周长=三边之和可求周长；根据勾股定理的逆定理可求得三角形的最大角度为90°。
12．【答案】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出AM=CM，利用等边对等角，可证得∠C=∠CAM，再根据同角的余角相等，可证得∠DAB=∠CAM，就可得出∠DAB=∠C，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
13．【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
14．【答案】（1）证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴ ∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－∠B．
∵ ∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴ ∠AFD＝180°－∠B，∴ ∠AFD＝∠C，∴ △ADF∽△DEC
（2）解：在□ABCD中，CD＝AB＝8，∵ △ADF∽△DEC， ∴ ，∴ ，∴ DE＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，∴ AE⊥AD．在Rt△AED中，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由题意易证∠ADF＝∠CED，∠AFD＝∠C，然后根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADF∽△DEC；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式，可求得DE的长，在Rt△AED中， 用勾股定理可求得AE的长。
15．【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册4.4 相似多边形 同步练习
一、选择题：
1．已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则 为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似比=1；2，∴面积比=1：4．故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
2．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠A=∠A′，∠B=∠B′
B．∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°
C．∠A=∠B，∠B′=∠A′
D．∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．若∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意；
B.∠C=∠C’=90°，∠A=12°，∠B’=78°，则∠A=12°，所以∠A=∠A’，∠C=∠C’，则可断定△ABC∽△A’B’C’，不符合题意.
C．若∠A=∠B，∠B′=∠A′，则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似，符合题意；
D．若∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A﹣∠B=∠A′﹣∠B′，则∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】（1）用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′；
（2）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A’，∠C=∠C’，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′；
（3）由已知条件只能说明△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似；
（4）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A′∠B=∠B′，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′。
3．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）由AB∥CD可得△ABC∽△CDE；（2）由AB∥EF可得△ABD∽△FED；（3）由CD∥EF可得△ACD∽△AEF；
综上所述，在图中可确定有3对三角形相似.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△CDE；△ABD∽△FED；△ACD∽△AEF。
4．下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）因为“有一个角为50°的两个等腰三角形”中，有可能是“一个等腰三角形的顶角为50°，另一个的底角为50°”，而此时这两个等腰三角形不相似，故①错误；（2）因为“有一个角为100°的两个等腰三角形”中，100°的角只能是顶角，因此这两个三角形此时三个角都对应相等，所以它们一定相似；故②正确；（3）因为“有一个锐角相等的两个直角三角形”中，加上“直角是相等的”，这样就有两个角相等了，因此这两个三角形一定相似，故③正确；（4）因为“两个等边三角形”中，三个角都是对应相等的，因此这两个三角形一定相似，故④正确；
综上所述，有3个说法都是正确的.
故答案为：C.
【分析】①由题意可知，已知的50度角可能是顶角，也可能是底角，而此时这两个等腰三角形不相似；
②由三角形内角和定理可得，底角不可能是100°的角，所以100°的角只能是顶角，因此这两个三角形此时三个角都对应相等，所以它们一定相似；
③由三角形内角和定理可得，有一个锐角相等再加上直角都相等，可根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得这两个三角形一定相似；
④根据等边三角形的性质可得每一个角都等于60度，所以根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得这两个三角形一定相似。
5．（2016九上·芦溪期中）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选B．
【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
二、填空题：
6．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为 ．
【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2：3．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比可求解。
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为 ．
【答案】4：1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，
∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，
故答案为：4：1
【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高之比等于相似比，可得出结论。
8．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形 ．(用相似符号连接)
【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)在△BDE和△CDF中
∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90
∴△BDE∽△CDF
( 2 )在△ABF和△ACE中
∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90
∴△ABF∽△ACE
【分析】答案不唯一。用有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。
9．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】答案不唯一，如
可添加
故答案为：
【分析】答案不唯一。根据相似三角形的判定可得：①∠B=∠DEC，结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；②∠ACB=∠DFE，结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；③AC∥DF（或AB∥DE），结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；④，结合已知条件用有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF。
10．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
【答案】4或6
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故 = = ，
则 = ，
解得：MN=4，
如图2所示：当∠ANM=∠B时，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
解得：MN=6，
故答案为：4或6．
【分析】观察图形，结合已知条件，可知使截得的三角形与原三角形相似有两种情况：如图1，当MN∥BC时，如图2所示：当∠ANM=∠B时，分别可证得△AMN∽△ABC，分别得出对应边成比例，就可求出MN的长。
三、解答题
11．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的 的最大边长为26，求 的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．
【答案】解：∵△ABC的相似三角形 的最大边长为26，即对应△ABC的对应最大边长13，所以对应边长的比值为2，所以另两边分别为10，24，故三角形的周长为10+24+26=60．
∵ ，∴三角形的最大角度为90°
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可求得△的另外两边长；根据三角形的周长=三边之和可求周长；根据勾股定理的逆定理可求得三角形的最大角度为90°。
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
【答案】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出AM=CM，利用等边对等角，可证得∠C=∠CAM，再根据同角的余角相等，可证得∠DAB=∠CAM，就可得出∠DAB=∠C，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
13．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
14．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的长．
【答案】（1）证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴ ∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－∠B．
∵ ∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴ ∠AFD＝180°－∠B，∴ ∠AFD＝∠C，∴ △ADF∽△DEC
（2）解：在□ABCD中，CD＝AB＝8，∵ △ADF∽△DEC， ∴ ，∴ ，∴ DE＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，∴ AE⊥AD．在Rt△AED中，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由题意易证∠ADF＝∠CED，∠AFD＝∠C，然后根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADF∽△DEC；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式，可求得DE的长，在Rt△AED中， 用勾股定理可求得AE的长。
15．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
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