2022-2023学年山东省青岛名校高二（下）期末数学试卷（word版含解析）

2022-2023学年山东省青岛名校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数，则的导数( )
A. B. C. D.
2. 若，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
3. 如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则( )
A. B. C. D.
4. 已知数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
5. 在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6. 某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数服从正态分布，且落在内的零件个数为，则可估计所抽取的零件中质量指数小于的个数为( )
附：若随机变量服从正态分布，则，，
A. B. C. D.
7. 已知离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则( )
A. B. C. D.
8. 甲、乙、丙人准备前往，，，这个景点游玩，其中甲和乙已经去过景点，本次不再前往景点游玩，若每个人都至少选择个景点但不超过个景点游玩，则人可组成的不同的游玩组合有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题正确的是( )
A. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
B. 在回归直线方程中，变量与正相关
C. 变量，的样本相关系数越大，表示它们的线性相关性越强
D. 在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
10. 在某次数学测试中，学生的成绩，则( )
A.
B. 若越大，则越大
C.
D.
11. 已知，则( )
A.
B.
C.
D. 的最大值为
12. 已知函数是奇函数，对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知某学校高二年级有男生人、女生人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取人，则抽取的女生人数为______．
14. 在的展开式中，含的系数为______ ．
15. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有道类试题，道类试题，道类试题，学生从中任选道试题作答，学生甲答对，，这类试题的概率分别为，，若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为______ ．
16. 已知对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某商场为提高服务质量，随机调查了位男顾客和位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到如表部分列联表：
满意 不满意
男顾客 ______
女顾客 ______
分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
18. 本小题分
设数列的前项和．
求的通项公式；
证明：．
19. 本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
20. 本小题分
某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得分，失败方得分，甲，乙两队相互打比赛已知甲队每一局获胜的概率均为．
求甲、乙两队局结束比赛的概率；
记比赛结束时甲队的得分为，求的分布列和期望．
21. 本小题分
为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量单位：与样本对原点的距离单位：的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．
表中，
Ⅰ利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？
Ⅱ根据Ⅰ的结果回答下列问题：
建立关于的回归方程；
样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？
Ⅲ已知该金属在距离原点米时的平均开采成本单位：元与，关系为，根据Ⅱ的结果回答，为何值时，开采成本最大？
参考公式：样本相关系数
对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个极值点，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用复合函数求导法则进行求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，或，解得或，
故选：．
利用组合数公式计算即可．
本题考查了组合数公式，是基础题目．
3.【答案】
【解析】解：一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，则“不成功”的概率为，
则完成次独立重复试验，符合“二项分布”，
即，
．
故选：．
本题为重伯努利试验，符合二项分布，根据二项分布的方差公式可求出结果．
本题考查二项分布的概念，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：，
令，
则，
数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
故选：．
根据已知条件，推得数列是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得 的系数为
．
故选：．
由题意可得 的系数为．
本题考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，得到的系数为
，是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
则所抽取的零件总数为，
故估计所抽取的零件中质量指数小于的个数为．
故选：．
根据题意，由原则可得，即可得到所抽取零件总数，然后代入计算，即可得到结果．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
由分布列的性质可得，，解得，
．
故选：．
根据已知条件，先对变形，再结合分布列的性质，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为甲和乙已经去过景点，本次不再前往景点游玩，
所以两人可以从，，这个景点中，选择个，个或个去游玩，
两人的选择方法均为：种；
而丙的选择方法有：种；
所以人可组成的不同的游玩组合有：种．
故选：．
先确定甲乙的选择，再确定丙的选择利用分步计数原理和组合知识可求答案．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，回归直线恒过样本点的中心，但可以不经过任何一个样本点，A错误；
对于，在回归直线方程中，，所以变量与正相关，B正确；
对于，变量，的样本相关系数越大，越靠近，表示它们的线性相关性越强，C正确；
对于，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．
故选：．
根据变量之间相关关系的有关概念，回归直线的特征，回归分析中相关系数和线性相关性的关系，残差平方和模型的拟合效果的关系即可判断．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，A正确；
当时，，当时，，不正确；
因为，所以，C正确；
根据正态曲线的对称性，不正确．
故选：．
根据正态曲线的对称性结合选项逐个分析可得答案．
本题考查正态分布曲线的相关知识，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项，根据二项展开式的通项，，选项正确；
选项，取代入等式，得到，选项正确；
选项，取代入等式，得到，
结合选项，
两式相加得，故C选项错误；
选项，根据二项展开式的通项，，令，即，
解得，又，故，即最大，选项正确．
故选：．
选项，根据二项展开式的通项求解，选项根据赋值法解决，选项根据不等式法结合组合数性质确定系数的最大项．
本题主要考查二项式定理，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：构造函数，则，
由已知有在单调递增，
又因为为奇函数，
故为偶函数，
故在单调递减，
所以，化简得：，故D正确；
由奇函数的性质可知，，选项A错误；
，化简得：，
又因为函数为奇函数，
故，则，故C正确．
，化简得，即，选项B错误．
故选：．
构造函数，利用的单调性进行判断即可．
本题主要考查利用构造函数判断函数单调性比较大小，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由等高堆积条形图可得喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人．
故喜欢徒步的总人数为人．
按分层抽样的方法抽取人，则抽取的女生人数为人．
故答案为：．
先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数，从而可得喜欢徒步的总人数，进一步根据分层抽样的定义可得抽取的女生人数．
本题考查了等高条形图，考查了利用分层抽样计算抽取的样本中各层的人数，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：把的展开式看成是个因式的乘积形式，
展开式中，含项的系数可以按如下步骤得到：
第一步，从个因式中任选个因式，这个因式取，有种取法；
第二步，从剩余的个因式中任选个因式，都取，有种取法；
第三步，把剩余的个因式中都取，有种取法；
根据分步相乘原理，得含项的系数是．
故答案为：．
把的展开式看成是个因式的乘积形式，按照分步相乘原理，求出含项的系数即可．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，
设学生答对试题为事件，则，，，
，，，
所以，
所以．
故答案为：．
利用全概率公式及条件概率公式计算可得．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则有对恒成立，
又，
令，
则，
所以当时，，单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以对上恒成立，
即对于上恒成立，
令，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，则单调递增，
所以的最大值为，
则，
所以正实数的取值范围为．
故答案为：．
根据题意可得对任意的，不等式恒成立，令，则有对恒成立，分析的单调性，即可得出对于上恒成立，令，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
17.【答案】
【解析】解：由题意可知，位男顾客对商场服务满意的有人，
所以男顾客对该商场服务满意的概率估计为，
因为位女顾客对商场服务满意的有人，
所以女顾客对该商场服务满意的概率估计为，
由题意可得列联表为
满意 不满意 合计
男顾客
女顾客
合计
所以，
所以没有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
根据已知条件得出相关数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即可估计所求的概率，
根据已知条件完成列联表，利用公式求出，再根据临界值表分析判断．
本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：已知数列的前项和，
则当时，，即，
当时，，
即，
即，
又，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
即，；
证明：由可得：，
则，
故命题得证．
【解析】由已知可得：，即，即数列是以为首项，为公比的等比数列，然后求通项公式即可；
由可得：，然后累加后放缩即可得证．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和法，属中档题．
19.【答案】解：因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，即，解得．
因为，又函数在上单调递增，
所以恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，所以当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，即，
所以，即实数的取值范围为．
【解析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程，解得即可；
依题意可得恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意可知，若甲、乙两队局结束比赛，则甲赢三局或甲输三局，
所以，
故甲、乙两队局结束比赛的概率为．
根据题意可知，的可能取值为，，，，，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
则．
【解析】由题意可知，分为甲连赢三局与或甲连输三局，即可得到结果；
根据题意可得的可能取值为，，，，，然后分别求出其对应的概率，然后由期望的计算公式即可得到期望．
本题主要考查离散型随机变量期望、分布列的求解，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：的线性相关系数，
的线性相关系数，
，
更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型．
，
，
，
关于的回归方程为．
当时，金属含量的预报值为．
，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值，
故为时，开采成本最大．
【解析】分别计算和的线性相关系数，再比较大小即可；
根据参考公式计算和，即可得关于的回归方程；
把代入中得到的回归方程，求得的值即可；
，令，利用导数求得在上的最大值，即可得解．
本题考查回归方程的求法与应用，相关系数的计算，还涉及利用导数求最值，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，
，设，，
当，，，
，函数在上递减，
当时，，可得，，
若可得，为增函数，
若，可得或，为减函数，
函数的减区间为，；增区间为；
由当，函数有两个极值点，，
，，
设，
，
所以在上递减，
，
所以；
【解析】先求出的定义域，对进行求导，求出的导数，令，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；
根据第一问知道函数的单调性，可得方程的两个根为，，代入，对其进行化简，可以求证的最小值大于即可；
本题主要考查利用导数研究函数的最值问题及其应用，第二问是一道证明题难度比较大，考查了学生的计算能力，是一道中档题；
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