2023-2024学年四川省成都市石室天府中学高一（上）入学数学试卷（word版含解析）

2023-2024学年四川省成都市石室天府中学高一（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组对象不能构成集合的是( )
A. 上课迟到的学生 B. 年高考数学难题
C. 所有有理数 D. 小于的正整数
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. “不等式在上恒成立”的充要条件是( )
A. B. C. D.
5. 已知命题：，，下列形式正确的是( )
A. ：，使得
B. ：，使得
C. ：，
D. ：，
6. 已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 二次函数只有一个零点，则不等式的解集为( )
A. B.
C. ，或 D. ，或
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10. 下列命题中，是全称量词命题的有( )
A. 至少有一个使成立
B. 对任意的都有成立
C. 对任意的都有不成立
D. 矩形的对角线垂直平分
11. 如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是则下列图象不能大致反映与的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知关于的不等式，下列结论正确的是( )
A. 当时，不等式的解集为
B. 当，时，不等式的解集为
C. 不等式的解集恰好为，那么
D. 不等式的解集恰好为，那么
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知集合，若，则集合的子集有 个．
14. 设全集，集合，集合，则______．
15. 记函数在处的值为如函数也可记为，当时的函数值可记为已知，若且，，则的所有可能值为______ ．
16. 如图是一个数表，第行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第行第个数为______用具体数字作答．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知集合，．
若，求；
若是的充分条件，求实数的取值范围．
19. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点．
求直线的函数关系式；
动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
设在的条件下不考虑点与，点重合的情况，连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形能否为菱形？请说明理由．
20. 本小题分
已知某工厂生产机器设备的年固定成本为万元，每生产台还需另投入万元，设该公司一年内共生产该机器设备台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为万元，且．
求年利润万元关于年产量台的函数解析式；
当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润．
21. 本小题分
当时，设函数的最小值为，试求关于的表达式．
22. 本小题分
已知函数．
列表、描点、连线，画出该函数的简图；
在函数图象上取一个定点，一个动点，记直线的坡度为，试将化简为均为常数的形式；
当趋近于时，是否趋近于某常数？若是，为多少？试说明理由；
在函数图象上取一个定点，为正的常数，一个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当趋近于时，是否趋近于某常数．
坡度定义：若，，则直线的坡度为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，“上课迟到的学生”属于确定的概念，故能构成集合；
对于，“年高考数学难题”界定不明确，不能构成集合；
对于，任意给一个数都能判断是否为有理数，故能构成集合；
对于，小于的正整数分别为，，，能够组成集合．
故选：．
根据集合元素的“确定性”，可知项中的对象不符合集合的定义．而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项．
本题给出几组对象，要我们找出不能构成集合的对象，着重考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，
，
．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：“，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
4.【答案】
【解析】解：由不等式在上恒成立，可得，
解得，，
故是“不等式在上恒成立”的充分必要条件．
故选：．
由不等式在上恒成立，结合二次函数的图象可得，可解得的范围．
本题为充要条件的判断，正确解出的范围是解决问题的关键，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题，注意量词的变换．
全称量词命题的否定是存在量词命题，写出结果即可．
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
命题：，，则：，使得，
故选：．

6.【答案】
【解析】解：，
，
当且仅当时，取得最小值．
故选：．
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：关于的一元二次不等式的解集为，
则，即，
解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
根据判别式列出不等式求得的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：二次函数只有一个零点，
，解得，
不等式即为不等式，等价于，
解得或，
故不等式的解集为或，
故选：．
先根据函数只有一个零点，求出，再解一元二次不等式即可．
本题考查了函数零点的问题和一元二次不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：当时，，成立；
对于：当时，，不成立；
对于：当时，，即，成立；
对于：，，，，即，不成立．
故选：．
利用不等式的性质判断，利用作差法判断．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，命题中含有存在量词至少有一个，故该命题为特称命题，所以A错误；
对于，命题中含有全称量词任意，故是全称量词命题，故BC正确；
对于，命题中的没有全称量词，但是隐含意思为：所有矩形的对角线垂直平分，故该命题为全称量词命题，所以D正确；
故选：．
根据全称量词命题的定义进行判断即可．
本题考查了全称量词命题和特称量词命题的判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，当点由点向点运动的过程中，、、三点共线，不能形成三角形，
当点由点向点运动的过程中，到的距离为，则，
当点由点向点运动的过程中，到的距离为，则，为定值，
当点由点向点运动的过程中，到的距离，则，
则与的函数关系与选项B对应，故不能大致反映与的函数关系的是、、．
故选：．
根据题意，分种情况讨论与的函数关系，可得与的大致图象，由此分析选项，可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的解析式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用二次函数的图象解对应不等式的取值范围和最值问题，考查了数形结合思想，是中档题．
：分析函数的最值与，进行比较即可；
：结合第一问只需解不等式即可；
：利用的图象与对应不等式的关系解答即可；
：利用结合对称性求解即可．
【解答】
解：设，，则；
对于，，
所以当时，不等式的解集为，所以A正确；
对于，当，时，不等式可化为，
解此不等式组得，所以的解集为，选项B正确；
作出函数的图象，如图所示：
由的图象知，若不等式的解集为连续不间断区间，则，且；
若解集为，
则，且，
因为，
所以，
解得或，
因为，所以，
所以，所以，
所以C错误、D正确．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
根据即可得出或，然后解出，求出集合，然后即可得出的子集个数．
本题考查了元素与集合的关系，集合中元素的互异性，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，
或，
或，
时，，不满足集合元素的互异性，应舍去；
时，，集合的子集有：个．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】解：集合，集合，
，
，
故答案为：．
先求出，，再结合补集，交集的运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
15.【答案】或
【解析】解：且，，
则，，或，，，
当，，时，
，
则，
当，，时，
，
则，
综上所述，的所有可能值为或．
故答案为：或．
根据已知条件，推得，，或，，，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，设第行的首项为，
，，，归纳可得：，所以，
再设第行的公差为，，，，，归纳可得，所以，
故第行的数组成的是一个首项为，公差为的等差数列，
所以第行的第个数为；
故答案为：．
根据题意，分析数表的变化规律，可得第行的数组成的是一个首项为，公差为的等差数列，由此计算可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
17.【答案】解：，时，，
或，；
或，且，
时，，解得；
时，，解得，
综上得，实数的取值范围为或．
【解析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算即可；
可求出或，根据即可讨论是否为空集：时，；时，，然后解出的范围即可．
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：不等式可化为，解得，
，
当时，，
．
集合，，
是的充分条件，，
当时，，解得，
当时，且，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】先求出集合，，再利用集合的并集运算求解即可．
由题意可知，分和两种情况讨论，分别求出的取值范围，最后取并集即可．
本题主要考查了集合间的基本运算，以及充分条件的定义，属于基础题．
19.【答案】解：抛物线与轴交于点，则，
又因为轴，垂足为点，
所以，所以，
设直线的解析式为，
则，解得，
所以直线的解析式为；
点从点移动到点共要秒，
所以，
秒时，点，所以，
，
；
若四边形为平行四边形，则有，
此时有，解得，，
所以当或时，四边形为平行四边形；
当时，，，故，
又在中，
，
故，此时四边形为菱形；
当时，，，故，
又在中，
，故，此时四边形不是菱形．
所以当或时，四边形为平行四边形；时，平行四边形为菱形．
【解析】由条件可得，，可求得直线的解析式；
由秒时，点，所以，，再根据得出答案；
若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，，再分别计算能否为菱形．
本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想，属于中档题．
20.【答案】解：当时，；
当时，．
；
当时，在上为增函数，
当时，万元；
当时，，
令，，
当，即时，万元．
综上，当年产量为台时，获得的年利润最大，最大为万元．
【解析】由分段写出函数解析式；
分类利用函数的单调性及换元法、配方法求最值，取最大值中的最大者得结论．
本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：根据题意，函数，是对称轴为，开口向上的二次函数，
当，即时，在上递减，，
当，即时，，
当时，在上递增，，
综合可得：．
【解析】根据题意，求出的对称轴，按的取值范围分种情况讨论，求出的表达式，综合可得答案．
本题考查函数的解析式，涉及函数的最值以及二次函数的性质，属于中档题．
22.【答案】解：列表：

描点、连线，得函数简图如下：
，
，，
．
时，，所以．
，
当时，．
【解析】列表、描点、连线，画函数简图即可；
化简后，运用极限思想求解即可；
化简后，运用极限思想求解即可．
本题考查函数的图象与性质，考查极限思想，属于中档题．
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