2018-2019学年数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故答案为：B
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝PD得出OP平分∠AOB，根据角平分线的定义即可得出结论。
2．（2017八上·丛台期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图
过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD= AB DE= ×10 DE=15，
解得DE=3．
故选A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=（ ）
A．4 B．10 C．8 D．不能确定
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD是角平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵S△ADC= AC DC= ×3×DC=6，∴DC=DE=4，
∴S△ABD= AB DE= ×5×4=10．
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DC，根据三角形的面积由S△ADC=6算出DC的长，最后根据三角形的面积计算方法即可算出答案。
4．如图，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=（ ）
A．130° B．150° C．100° D．140°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定
【解析】【解答】∵DB⊥AE，DC⊥AF，DB=DC，
∴∠GAD=∠BAD= ∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠GAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为：B.
【分析】根据到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由DB⊥AE，DC⊥AF，DB=DC得出AD平分∠FAE，根据角平分线的定义得出∠GAD=∠BAD= ∠BAC=20°，然后根据三角形的外角和定理即可得出结论。
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3，
∴DE=DC=3，
∴DQ最小=3.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DC=3，从而得出答案。
6．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（ ）
A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】如图，
∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故答案为：C
【分析】根据到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC得出点D在∠BAC的角平分线上，根据角平分线的定义即可得出∠1=∠2．
7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB= ∠DAB=35°，
故答案为：B．
【分析】作MN⊥AD于N，根据同旁内角互补两直线平行得出AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠DAB的度数，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出MN=MC，根据中点的定义得出MC=MB，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AM是∠DAB的角平分线，根据角平分线的定义即可得出答案。
8．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB= ×60°=30°，
∴ME= OM=3，
故答案为：C．
【分析】根据作图过程可知OP是∠AOB的角平分线，根据角平分线的定义得出∠POB=30°，然后滚局含30 的直角三角形的边之间的关系即可得出ME的长。
二、填空题
9．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到 的点，在这个角的平分线上．
【答案】角两边的距离相等
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据教材中知识可得：角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．
故答案为：角两边的距离相等
【分析】角平分线性质定理的逆定理，其实质就是叫平分线的判定定理，根据判定定理即可得出答案。
10．如图，已知点P是 角平分线上的一点， ， ，M是OP的中点， ，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为 cm．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 是 角平分线上的一点， ，
，
，M是OP的中点， ，
，
，
点C是OB上一个动点，
的最小值为P到OB距离，
的最小值 ，
故答案为：4．
【分析】根据角平分线的定义得出∠AOP= ∠AOB=30 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OP=2DM=8，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出PD=4，垂线段最短得出PC 的最小值为P到OB距离，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PC 的最小值=PD=4。
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是 ．
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD= AC DQ= ×10×3=15，
故答案为：15
【分析】由作图过程可知，射线CP是∠BCA的角平分线，如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DB=DQ=3，根据三角形的面积计算方法即可算出答案。
12．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10，则△EDB的周长是 ；
【答案】10
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．
又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．
又∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10．
故答案为：10
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD=DE，然后利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形对应边相等得出AC=AE，然后根据等量代换及三角形的周长计算方法即可算出答案。
13．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示)，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有 处.
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，故加油站只需要建在三条公路相交所组成的三角形的两内角角平分线的交点处，或建在相邻两外角角平分线的交点上即可，故这样的选址共有4种。
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝ ．
【答案】108°
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，
∵ ，AO为∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB=OC，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
在△OCE中，
故答案为：108°
【分析】如图，连接OB、OC，根据角平分线的定义得出∠BAO=∠BAC=×54 =27 ，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ABC=63°，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出OA=OB，由等边对等角得出∠ABO=∠BAO=27 根据角的和差得出∠OBC=∠ABC ∠ABO=36 ，然后利用SAS判断出△AOB≌△AOC，根据全等三角形对应边相等得出OB=OC，根据等边对等角得出OCB=∠OBC=36 ，根据折叠的性质得出∠COE=∠OCB=36 ，根据三角形的内角和即可算出答案。
15．如图， 于E， 于F，若 ， ，则下列结论： ； 平分 ； ； 中正确的是 ．
③④
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】在 和 中， ，
，故 正确；
又 ， ，
平分 ，故 正确；
在 和 中， ，
，
，
，
即 ，故 正确；＜
由垂线段最短可得 ，故 错误，
综上所述，正确的是 ，
故答案为：
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE Rt△CDF，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AD 平分 ∠BAC，然后再利用HL判断出Rt△ADF Rt△ADF，根据全等三角形对应边相等得出AE=AF，根据线段的和差及等量代换得出AC AB=2BE，由垂线段最短可得 AE
三、解答题
16．如图所示，已知 △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到AB，BC，CA的距离相等．
【答案】证明：如图，过P点分别作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G，∵BP平分∠ABC，∴PE＝PF，同理PF＝PG，∴PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】过P点分别作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G，根据角平分线上的点到角两边的距离相等由BM平分∠ABC，且PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F得出PE＝PF，同理PF＝PG，根据等量代换即可得出结论。
17．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
【答案】证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，在Rt△OPE与Rt△OPF中， OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF， ∴OE＝OF，∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 PE＝PF，然后利用HL判断出Rt△OPE≌Rt△OPF，根据全等三角形的对应边相等得出OE＝OF，根据到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由OE＝OF，PE＝PF，得出点O，P都在线段EF的垂直平分线上，再根据过两点有一条而且只有一条直线，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出FQ＝EQ。
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长 请说明理由．
【答案】解：能．如图，过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．理由：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中， ，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△BDE的周长＝BD＋DE＋EB＝BD＋DC＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】能．如图，过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD＝DE，然后利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形对应边相等得出AC＝AE，又AC＝BC，故BC＝AE，根据三角形的周长计算方法及等量代换即可得出答案。
19．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程。现有两条高速公路和A． B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置。
【答案】解：如图所示，
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，故燃气中心站应该修在两线的交点处，从而作出两条高速公路夹角的角平分线，再作出线段AB的中垂线，找出两线的交点即可。
20．如图所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD＝CD．
（1）求证：D在∠BAC的平分线上；
（2）若将条件：BD＝CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗 试说明理由．
【答案】（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，∵ （对顶角相等），
∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），又BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E
∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
（2）解：成立．理由如下：∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，∵ ，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），
∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】 （1）根据垂直的定义得出∠BED＝∠CFD＝90°，然后利用AAS判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形对应边相等得出DE＝DF，又BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得出结论；
（2）成立．理由如下：根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，然后利用ASA判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的对应边相等得出结论。
21．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.
（1）若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB.
【答案】（1）解：连接AO．∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CEB=∠BDO=90°；
在△CEO和△BDO中，
∴△CEO≌△BDO（AAS），
∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），又∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵点O在∠BAC的平分线上，BE⊥AC，CD⊥AB， ∴OE=OD. ∠OEC=∠ODB=90°.在△OEC和△ODB中，
∴△OEC≌△ODB(ASA)，
∴OC=OD
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）连接AO根据垂直的定义得出∠CEB=∠BDO=90°；然后利用AAS判断出△CEO≌△BDO，根据全等三角形对应边相等得出OE=OD，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上从而得出结论；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OE=OD，然后利用ASA判断出△OEC≌△ODB，根据全等三角形对应边相等得出OC=OD。
1 / 12018-2019学年数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
2．（2017八上·丛台期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=（ ）
A．4 B．10 C．8 D．不能确定
4．如图，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=（ ）
A．130° B．150° C．100° D．140°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（ ）
A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC
7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
8．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
二、填空题
9．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到 的点，在这个角的平分线上．
10．如图，已知点P是 角平分线上的一点， ， ，M是OP的中点， ，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为 cm．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是 ．
12．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10，则△EDB的周长是 ；
13．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示)，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有 处.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝ ．
15．如图， 于E， 于F，若 ， ，则下列结论： ； 平分 ； ； 中正确的是 ．
③④
三、解答题
16．如图所示，已知 △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到AB，BC，CA的距离相等．
17．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长 请说明理由．
19．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程。现有两条高速公路和A． B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置。
20．如图所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD＝CD．
（1）求证：D在∠BAC的平分线上；
（2）若将条件：BD＝CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗 试说明理由．
21．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.
（1）若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故答案为：B
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝PD得出OP平分∠AOB，根据角平分线的定义即可得出结论。
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图
过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD= AB DE= ×10 DE=15，
解得DE=3．
故选A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD是角平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵S△ADC= AC DC= ×3×DC=6，∴DC=DE=4，
∴S△ABD= AB DE= ×5×4=10．
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DC，根据三角形的面积由S△ADC=6算出DC的长，最后根据三角形的面积计算方法即可算出答案。
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定
【解析】【解答】∵DB⊥AE，DC⊥AF，DB=DC，
∴∠GAD=∠BAD= ∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠GAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为：B.
【分析】根据到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由DB⊥AE，DC⊥AF，DB=DC得出AD平分∠FAE，根据角平分线的定义得出∠GAD=∠BAD= ∠BAC=20°，然后根据三角形的外角和定理即可得出结论。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3，
∴DE=DC=3，
∴DQ最小=3.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DC=3，从而得出答案。
6．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】如图，
∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故答案为：C
【分析】根据到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC得出点D在∠BAC的角平分线上，根据角平分线的定义即可得出∠1=∠2．
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB= ∠DAB=35°，
故答案为：B．
【分析】作MN⊥AD于N，根据同旁内角互补两直线平行得出AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠DAB的度数，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出MN=MC，根据中点的定义得出MC=MB，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AM是∠DAB的角平分线，根据角平分线的定义即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB= ×60°=30°，
∴ME= OM=3，
故答案为：C．
【分析】根据作图过程可知OP是∠AOB的角平分线，根据角平分线的定义得出∠POB=30°，然后滚局含30 的直角三角形的边之间的关系即可得出ME的长。
9．【答案】角两边的距离相等
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据教材中知识可得：角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．
故答案为：角两边的距离相等
【分析】角平分线性质定理的逆定理，其实质就是叫平分线的判定定理，根据判定定理即可得出答案。
10．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 是 角平分线上的一点， ，
，
，M是OP的中点， ，
，
，
点C是OB上一个动点，
的最小值为P到OB距离，
的最小值 ，
故答案为：4．
【分析】根据角平分线的定义得出∠AOP= ∠AOB=30 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OP=2DM=8，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出PD=4，垂线段最短得出PC 的最小值为P到OB距离，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PC 的最小值=PD=4。
11．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD= AC DQ= ×10×3=15，
故答案为：15
【分析】由作图过程可知，射线CP是∠BCA的角平分线，如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DB=DQ=3，根据三角形的面积计算方法即可算出答案。
12．【答案】10
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．
又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．
又∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10．
故答案为：10
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD=DE，然后利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形对应边相等得出AC=AE，然后根据等量代换及三角形的周长计算方法即可算出答案。
13．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，故加油站只需要建在三条公路相交所组成的三角形的两内角角平分线的交点处，或建在相邻两外角角平分线的交点上即可，故这样的选址共有4种。
14．【答案】108°
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，
∵ ，AO为∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB=OC，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
在△OCE中，
故答案为：108°
【分析】如图，连接OB、OC，根据角平分线的定义得出∠BAO=∠BAC=×54 =27 ，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ABC=63°，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出OA=OB，由等边对等角得出∠ABO=∠BAO=27 根据角的和差得出∠OBC=∠ABC ∠ABO=36 ，然后利用SAS判断出△AOB≌△AOC，根据全等三角形对应边相等得出OB=OC，根据等边对等角得出OCB=∠OBC=36 ，根据折叠的性质得出∠COE=∠OCB=36 ，根据三角形的内角和即可算出答案。
15．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】在 和 中， ，
，故 正确；
又 ， ，
平分 ，故 正确；
在 和 中， ，
，
，
，
即 ，故 正确；＜
由垂线段最短可得 ，故 错误，
综上所述，正确的是 ，
故答案为：
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE Rt△CDF，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AD 平分 ∠BAC，然后再利用HL判断出Rt△ADF Rt△ADF，根据全等三角形对应边相等得出AE=AF，根据线段的和差及等量代换得出AC AB=2BE，由垂线段最短可得 AE16．【答案】证明：如图，过P点分别作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G，∵BP平分∠ABC，∴PE＝PF，同理PF＝PG，∴PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】过P点分别作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G，根据角平分线上的点到角两边的距离相等由BM平分∠ABC，且PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F得出PE＝PF，同理PF＝PG，根据等量代换即可得出结论。
17．【答案】证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，在Rt△OPE与Rt△OPF中， OP＝OP，PE＝PF，∴Rt△OPE≌Rt△OPF， ∴OE＝OF，∴OC是线段EF的垂直平分线， ∴FQ＝EQ
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 PE＝PF，然后利用HL判断出Rt△OPE≌Rt△OPF，根据全等三角形的对应边相等得出OE＝OF，根据到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由OE＝OF，PE＝PF，得出点O，P都在线段EF的垂直平分线上，再根据过两点有一条而且只有一条直线，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出FQ＝EQ。
18．【答案】解：能．如图，过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．理由：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中， ，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△BDE的周长＝BD＋DE＋EB＝BD＋DC＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】能．如图，过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD＝DE，然后利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形对应边相等得出AC＝AE，又AC＝BC，故BC＝AE，根据三角形的周长计算方法及等量代换即可得出答案。
19．【答案】解：如图所示，
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，故燃气中心站应该修在两线的交点处，从而作出两条高速公路夹角的角平分线，再作出线段AB的中垂线，找出两线的交点即可。
20．【答案】（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，∵ （对顶角相等），
∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），又BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E
∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
（2）解：成立．理由如下：∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，∵ ，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），
∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】 （1）根据垂直的定义得出∠BED＝∠CFD＝90°，然后利用AAS判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形对应边相等得出DE＝DF，又BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得出结论；
（2）成立．理由如下：根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，然后利用ASA判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的对应边相等得出结论。
21．【答案】（1）解：连接AO．∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CEB=∠BDO=90°；
在△CEO和△BDO中，
∴△CEO≌△BDO（AAS），
∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），又∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵点O在∠BAC的平分线上，BE⊥AC，CD⊥AB， ∴OE=OD. ∠OEC=∠ODB=90°.在△OEC和△ODB中，
∴△OEC≌△ODB(ASA)，
∴OC=OD
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）连接AO根据垂直的定义得出∠CEB=∠BDO=90°；然后利用AAS判断出△CEO≌△BDO，根据全等三角形对应边相等得出OE=OD，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上从而得出结论；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OE=OD，然后利用ASA判断出△OEC≌△ODB，根据全等三角形对应边相等得出OC=OD。
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